1.2 第3课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

1.2 矩形的性质与判定 第3课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合 第一章 特殊的平行四边形 九年级上册数学（北师版） 问题1：矩形有哪些性质？ A B C D O ①是轴对称图形； ②四个角都是直角； ③对角线相等且互相平分. ①定义：有一个角是直角的平行四边形； ②有一组邻边相等的矩形； ③有一个角是直角的菱形. 问题2：矩形的判定方法有哪些？ 复习回顾 A B C D O E 例1 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC， CE∥BD. 求证：四边形 OCED 是菱形. 证明：∵ DE∥AC，CE∥BD， ∴ 四边形 OCED 是平行四边形. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD = 2OC = 2OD. ∴ OC = OD. ∴ 四边形 OCED 是菱形． 矩形的性质、判定与其他知识的综合运用 1 探究新知 例2 如图，在矩形 ABCD 中，AD = 6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE⊥BD，垂足为 E，ED = 3BE，求 AE 的长. 分析：在矩形 ABCD 中，OA = OB，又 AE⊥BD 于 E，ED = 3BE，易证得△OAB 是等边三角形，继而求得∠ABE 和∠ADE 的度数，又由 AD = 6，可求得 AE 的长. ∴∠BAD = 90° (矩形的四个角都是直角)， AO = CO = AC，BO = DO = BD (矩形的对角线互相平分). AC = BD (矩形的对角线相等)， 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ OA = OB = DO = BD. ∵ED = 3BE，∴ BE = OE. 又∵ AE⊥BD，∴ AB = AO. ∴∠ADE = 90° -∠ABD = 30°. ∴ OA = AB = OB， 即△OAB 是等边三角形. ∴∠ABD = 60°. ∴ AE = AD = =3. 例3 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是△ABC 的一条角平分线，AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点 E． （1）求证：四边形 ADCE 为矩形； （2）连接 DE 交 AC 于点 F，请判断 四边形 ABDE 的形状，并证明； （3）线段 DF 与 AB 有怎样的关系？ 请直接写出你的结论. 证明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM， （1）求证：四边形 ADCE 为矩形； 在△ABC 中，∵ AB = AC，AD 是角平分线， 又∵ CE⊥AN，∴∠CEA = 90°. ∴∠CAD = ∠BAC，∠CAN = ∠CAM. ∴∠DAE =∠CAD +∠CAN = (∠BAC + ∠CAM ) = ×180° = 90°. ∴ 四边形 ADCE 为矩形. ∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°. 解：四边形 ABDE 是平行四边形，证明如下： 由（1）知，四边形 ADCE 为矩形， 则 AE = CD，AC = DE. 又∵ AB = AC，AD 是△ABC 的角平分线， ∴ AB = DE，BD = CD. ∴ AE = BD. ∴ 四边形 ABDE 是平行四边形. （2）连接 DE ，交 AC 于点 F，请判断四边形 ABDE 的形状，并证明你的结论； 解：DF∥AB，DF = AB．理由如下： ∵ 四边形 ADCE 为矩形，∴ AF = CF. 又 BD = CD，∴ DF 是△ABC 的中位线， ∴ DF∥AB，DF = AB. (3) 线段 DF 与 AB 有怎样的关系？请证明你的结论. 【点评】此题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的三线合一以及三角形中位线的性质．注意数形结合思想的运用． 例4 如图所示，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F，且 AF＝BD. 连接 BF. (1) BD 与 DC 有什么数量关系？请说明理由； (2) 当△ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由． 解：(1) BD＝CD. 理由如下： ∵ AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE. ∵ E 是 AD 的中点，∴ AE＝DE. 在△AEF 和△DEC 中， ∴△AEF≌△DEC (AAS). ∴ AF＝DC. ∵ AF＝BD，∴ BD＝DC. (2) 当△ABC 满足 AB＝AC 时，四边形 AFBD 是矩形. 理由如下： ∵ AF∥BD，AF＝BD， ∴ 四边形 AFBD 是平行四边形． ∵ AB＝AC，BD＝DC， ∴∠ADB＝90°. ∴ 四边形 AFBD 是矩形． 【方法总结】本题综合考查了全等三角形和矩形的判定，明确“有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解题的关键． 与全等三角形、等腰三角形的结合 矩形的性质与判定 与平面直角坐标系的结合 折叠问题 当堂小结 1. 如图，四边形ABCD 和四边形 AEFC 是两个矩形，点 B 在 EF 边上，若矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面积分别是 S1，S2，则 S1，S2 的大小关系是 ( ) A．S1＞S2　　　　 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2 B 课堂练习 2. 如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点，AH⊥BC 于点 H，连接 EH，若 DF＝10 cm，则 EH 等于 (　　) A．8 cm　　 B．10 cm C．16 cm　　 D．24 cm B 3. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝____°． 75 4. 如图，O 是菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点，CD＝5 cm，OD＝3 cm. 过点 C 作 CE∥DB，过点 B 作 BE∥AC，CE 与 BE 相交于点 E. (1) 求 OC 的长； 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. 在 Rt△OCD 中， ∵ CD＝5 cm，OD＝3 cm， ∴ 由勾股定理得 OC＝4 cm. (2) 求四边形 OBEC 的面积． 解：∵ CE∥DB，BE∥AC， ∴ 四边形 OBEC 为平行四边形. 又∵ AC⊥BD，∴∠COB＝90°. ∴ 平行四边形 OBEC 为矩形. ∵ OB＝OD＝3 cm，OC＝4 cm， ∴ S矩形OBEC＝OB·OC＝3×4＝12 (cm2). $$