1.2 第2课时 矩形的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

null1.2 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定 第一章 特殊的平行四边形 九年级上册数学（北师版） 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 复习回顾 对角线相等的平行四边形是矩形 1 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. 点击视频 开始播放 探究新知 （1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？ （2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = DC，AB∥DC. 又∵ BC = BC， AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC = ∠DCB. ∵ AB∥CD，∴∠ABC + ∠DCB = 180°. ∴ ∠ABC = 90°. ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 已知：如图，在□ ABCD中，AC，DB 是它的两条对角线，且 AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形. A B C D 证一证 矩形的判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形 ABCD 中， ∵ AC = BD， ∴平行四边形 ABCD 是矩形. A D C B 知识要点 理由 对角线相等的平行四边形是矩形. 你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形? 如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查? 请说明检查方法的合理性，并与同伴交流. 议一议 1.先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形. 2. 再用绳子测量对角线是否相等. 　例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数． 　 A　 B　 C　 D　 O 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC = AC， OB = OD = BD. 又∵ OA = OD， ∴ AC = BD. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. ∴∠BAD = 90°. 又∵∠OAD = 50°， ∴∠OAB = 40°. 典例精析 1. 如图，在▱ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ▱ABCD 是矩形的是 （　　） A．AC = BD B．AC = BC C．AD = BC D．AB = AD A A D C B O 练一练 2. 如图，□ABCD 中，∠1 = ∠2，此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？ A B C D O 1 2 解：四边形 ABCD 是矩形. 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO = CO，DO = BO. 又∵∠1 = ∠2， ∴ AO = BO. ∴ AC = BD. ∴ □ABCD 是矩形. 10 想一想 至少有一个角是直角的四边形是矩形吗？ (1) 有一个角是直角的四边形是矩形吗？ (2) 有两个角是直角的四边形是矩形吗？ (3) 有三个角是直角的四边形是矩形吗？ 不是矩形 不是矩形 矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 2 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°. ∴ AD∥BC，AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 证一证 矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵∠A =∠B =∠C = 90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 知识要点 思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形. 例2 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形． 证明：在□ ABCD 中，AD∥BC， ∴∠DAB +∠ABC = 180°. ∵ AE 与 BG 分别为∠DAB、 ∠ABC 的平分线， A B D C H E F G ∴ 四边形 EFGH 为矩形． 同理可得∠FEH =∠EHG = 90°， ∴∠AFB = 90°. ∴∠GFE = 90°. ∴∠BAF +∠ABF = ∠DAB + ∠ABC = 90°. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 当堂小结 1.下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形； （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形； × × × × √ √ √ √ （8）一组对角互补的平行四边形是矩形. 课堂练习 2.如图，直线 EF∥MN，PQ 交 EF、MN 于 A、C 两点，AB、CB、CD、AD 分别是∠EAC、∠MCA、∠ ACN、∠CAF 的平分线，则四边形 ABCD 是 （ ） D E F M N Q P A B C C A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定 18 3.如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，AB = 5，BC = 12，AC = 13．求证：四边形 ABCD 是矩形． 证明：四边形 ABCD 中，∵ AB∥CD，∠BAD = 90°， ∴∠D = 90°. 在△ABC 中，∵ AB = 5，BC = 12，AC = 13， ∴ AB2 + BC2 = AC2. ∴△ABC 是直角三角形，且∠B = 90°. ∴ 四边形 ABCD 是矩形． A B C D 4. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，延长 OA 到 N，使 ON＝OB，再延长 OC 至 M，使 CM＝AN. 求证：四边形 NDMB 为矩形． 证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ OA＝OC，OD＝OB. ∵ AN＝CM，ON＝OB， ∴ ON＝OM＝OD＝OB. ∴ 四边形 NDMB 为平行四边形，且 MN＝BD. ∴ 平行四边形 NDMB 为矩形． $$