1.2.1命题与量词（同步课件）数学人教B版2019必修第一册

《人教B版2019高中数学必修第一册》 第1章 集合与常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 学习目标 新知探究1——命题 命题是可以判断真假的陈述句. “命题”这个词在新闻报道中经常可以见到，例如:“从最直接的生态保护方式之一植树造林，到多种更具创新性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保'新命题’” (2017年12月21日《中国青年报》)我们在数学中也经常接触到“命题”这两个字，你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗? 新知构建 1.命题 （1）以上新闻报道中的“命题”往往是“命制的题目”的简写； （2）数学中的“命题”如类似“对顶角相等”这样的可供真假判断的陈述语句； 再如，命题“9的算术平方根是3”可表示为“=3”； （3）判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题； （4）一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题. 尝试练习 1.下列命题中， 是真命题， 是假命题: (1)102=100; (2)所有无理数都大于零 (3)平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行; (4)一次函数y=2x+l的图象经过点(0，1); (5)设a，b，c是任意实数，如果a>b，则ac>bc; (6)Z ⊊Q (1)(3)(4)(6) (2)(5) 新知探究2——全称量词与存在量词 在数学中，有很多命题都是针对特定集合而言的，例如: (1)任意给定实数，2≥0; (2)存在有理数，使得3-2-0; (3)每一个有理数都能写成分数的形式; (4)所有的自然数都大于或等于零: (5)实数范围内，至少有一个使得有意义; (6)方程2=2在实数范围内有两个解; (7)每一个直角三角形的三条边长都满足勾股定理. 不难看出，命题(1)(3)(4)(7)陈述的是指定集合中的所有元素都具有特定性质，命题(2)(5)(6)陈述的是指定集合中的某些元素具有特定性质. 新知构建 2.全称量词与存在量词 （1） 一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示.含有全称量词的命题，称为全称量词命题.因此，全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x，r(x)”的命题，可简记为 （2）“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“”表示.含有存在量词的命题，称为存在量词命题，因此，存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x，s(x)”的命题，可简记为 例如，“任意给定实数x，x≥0”是一个全称量词命题，可简记为x∈R, x2≥0. 例如，“存在有理数x，使得3x-2=0”是一个存在量词命题，可简记为x∈Q,3x-2=0. 尝试练习 2.如果记 p(x):x2-1=0，q(x):5x-1是整数，则通过指定x所在的集合和添加量词，就可以构成命题，例如: p1 : x∈Z，p(x); q1 : x∈Z，q(x); p2 : ヨx∈Z，p(x); q2 : ヨx∈Z，q(x). (1)上述4个命题p1 ，q1 ，p2 ，q2中，真命题是 ; (2)你能总结出判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法吗？ q1 ，p2 ，q2 方法总结 全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧 事实上，要判定全称量词命题x∈M，r(x)是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x，验证r(x)成立；但要判定其是假命题，却只需举出集合M中的一个元素xo，使得r(xo)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). 要判定存在量词命题ヨx∈M，s(x)是真命题，只要在限定集合M中找到一个元素xo，使得s(xo)成立即可(这就是通常所说的“举例说明”)；但要判定其是假命题，却需要说明集合M中每一个，都使得s(x)不成立. 典例精讲 题型一　全称量词命题与存在量词命题的判断 × × × √ √ 典例精讲 例2 判断下列命题的真假: (1)x∈R，x2+1>0; (2)x∈N，≥l; (3)ヨx∈Z，x3<1; (4)ヨx∈Q，x2=3. 【解】(1)由于x∈R，都有x2≥0，因而有x2+1≥1>0.因此命题“x∈R，x2+1>0”是真命题. (2)由于0∈N，而日当x=0时，≥1不成立，因此命题“x∈N，≥1”是假命题. (3)由于-1∈Z，而且当x=-1时，有(-1)³<1.因此命题“ヨx∈Z，x3<1”是真命题.. (4)由于使x2=3成立的数只有和-，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3.因此命题“ヨx∈Q，x2=3”是假命题. 题型二　全称量词命题和存在量词命题的真假判断 典例精讲 题型三　由含量词的命题求参数 新知运用 解决问题 小组研讨 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. （1）矩形有一个外接圆； （2）非负实数有两个平方根； （3）有一对实数 <m></m> ，使 <m></m> 成立． [解析] （1）可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题． （2）可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题． （3）可以改写为“ ， ，使 成立”，是存在量词命题． 新知运用 解决问题 小组研讨 2.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假. （1） <m></m> ， <m></m> ； （2）每一个三角形的内角和都是 <m></m> ； （3）钝角三角形的高有的在三角形外部； （4）对任意的 <m></m> ， <m></m> ，都有 <m></m> ． [解析] （1）存在量词命题.由于使 成立的实数只有 ，且它们都不是有理数,因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以该命题是假命题． （2）全称量词命题.由三角形的内角和定理可知，该命题是真命题． （3）存在量词命题.钝角三角形的高有可能在三角形外部，所以该命题是真命题． （4）全称量词命题.因为 ，所以该命题是假命题. 新知运用 解决问题 小组研讨 3.是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由． 课堂小结 一．易错提醒 1.注意全称量词命题和存在量词命题的自然语言与符号语言的转化. 2.注意省略量词的命题的真假判断. 3.对于“至多”“至少”型的命题，多采用逆向思维的方法处理. 二．判断全称、存在量词命题真假的方法 1.若全称量词命题为真，则给定集合中每一个元素x使p(x)为真，若为假命题，则只需举一反例即可. 2.若存在量词命题为真，则给定集合中只要有一个元素x使p(x)为真即可，否则为假命题. 课堂练习A 1.判断下列命题的真假: (1)2+2是有理数; (2)1+1>2; (3)奇数的平方仍是奇数; (4)两个集合的交集还是一个集合; (5)每一个素数都是奇数; (6)方程2x2+1=0有实数根; (7)sin45°=(8)如果x>2，那么x>3. 2.将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假: (1)所有实数的平方都是正数; (2)任何一个实数除以1，仍等于这个实数 假 假 真 真 假 假 真 假 x∈R，x2>0 x∈R，x÷1=x 假 真 课堂练习A 3.判断下列命题的真假: (1)x∈R，x2-3x-2=0; (2)x∈R，x2+1=0; (3)ヨx∈Q，|x|+x≥0; (4)x∈R，4x2>2x-1+3x2; (5)x∈(-7,3)，x∈[-7，3); (6)ヨx∈(一∞，2]，x2=1. 真 假 假 假 真 真 课堂练习B 1.判断下列命题的真假: (1)存在两个无理数，它们的乘积是有理数; (2)如果实数集的非空子集A是有限集，则A中的元素一定有最大值; (3)没有一个无理数不是实数; (4)如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形; (5)集合A是集合AUB的子集; (6)集合A∩B是集合A的子集, 真 真 真 假 真 真 课堂练习B 2.判断下列命题的真假: (1)ヨx∈R，x2+1<0; (2)x∈[0，+∞)，=+1; (3)ヨx∈R，x2≤0; (4)x∈R，是有理数; (5)ヨx∈[0，+∞)，=+1. 假，因为x2≥0 假，当x=1时，≠2 假，当x=π时，不成立 真，当x=0时成立 真，当x=0时成立 课堂练习B 3.判断下列命题的真假: (1)ヨx，y∈Z，3x-2y=10; (2)ヨa，b∈R，(a-b)2=a2-b2; (3)a，b∈R， a3 -b3=(a-b)(a²+ab+b²). 4.分别求满足下列条件的实数a的取值范围: (1)“x∈[a，+∞)，x2≥1”是真命题; (2)“ヨx∈(-∞，a]，x2=1”是假命题. 真，当x=4，y=1时成立 真，当a=1，b=0时成立 真，立方差公式 （1）∵x2≥1，即x≥1或x≤-1，又∵原命题为真命题，∴a∈[1，+∞) （2）∵x2=1，即x=±1，又∵原命题为假命题，∴a∈(-∞，-1） 感 谢 例1 思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(　　) (2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．(　　) (3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．(　　) (4) “有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　 　) (5)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( 　) 例3 已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围． 解　∵“∀1≤x≤2，x2－m≥0”成立， ∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立． 又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大， ∴y＝x2－m的最小值为1－m. ∴1－m≥0.解得m≤1. ∴实数m的取值范围是{m|m≤1}． 解：不等式m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可． 故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立， 此时需m>－4. $$