专题3.2 函数的性质（考点精练）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题3.2 函数的性质 1．已函数f(x)在[－4,－2]上是增函数，则(　　) A．f(－2)>f(－3) B．f(－2)<f(－3) C．f(－2)＝f(－3) D．f(－2)与f(－3)的大小无法判断 【答案】A 【解析】∵－4<－3<－2且函数f(x)在区间[－4，－2]上是增函数，∴f(－3)<f(－2)，即f(－2)>f(－3)， 故选：A. 2. 下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为， 故函数为非奇非偶函数，故A不符题意； 对于B，函数的定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故B不符题意； 对于C，函数的定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故C不符题意； 对于D，函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数， 又因为函数在区间上都单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故D符合题意. 故选：D. 3. 函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则f(x2＋1)与f(1)的大小关系是(　　) A．f(x2＋1)>f(1) B．f(x2＋1)<f(1) C．f(x2＋1)≥f(1) D．f(x2＋1)≤f(1) 【答案】D 【解析】x2＋1≥1恒成立，∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数， ∴f(x2＋1)≤f(1)，故选：D. 4．下列函数中是偶函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝2x2＋1 C．f(x)＝x4＋x2，x∈[0，1] D．f(x)＝x3＋x2 【答案】B 【详解】A项中函数为奇函数，C项中函数定义域不关于原点对称，非奇非偶函数，D项中f(x)≠f(－x)，－f(x)≠f(－x)，是非奇非偶函数．故选：B. 5．下列命题中，正确的是(　　) A．奇函数的图像一定过原点 B．偶函数的图像关于y轴对称 C．奇函数的图像关于x轴对称 D．偶函数的图像一定与y轴相交 【答案】B 【解析】根据偶函数图像关于y轴对称的特性判断．故选：B. 6．在下列函数图像中，表示奇函数且在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) 【答案】A 【详解】由于函数是奇函数，图像关于原点对称，排除B，D项；又在(0，＋∞)上是增函数，排除C项，故选：A. 7．若函数在R上是增函数，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的单调性推理计算即得. 【详解】因函数在R上是严格增函数， 故，解得，. 故答案为：. 8．函数在区间上的最大值和最小值分别是 ． 【答案】1， 【分析】利用函数的单调性的定义证明函数在区间上是减函数，由此求得函数的值域． 【详解】解：任取，，且， ， ，，且， ， ，即． 所以函数在区间上是减函数， 故当时，函数有最大值为1，时，函数有最小值为． 所以函数的最大值是1，最小值是， 故答案为：1，． 9．一次函数为奇函数是的 条件． 【答案】充要 【分析】根据充要条件的定义判断可得答案. 【详解】由已知，且，定义域关于原点对称， 若一次函数为奇函数，则， 即，可得； 当时，，所以为奇函数， 所以一次函数为奇函数是的充要条件. 故答案为：充要. 10．证明：函数在定义域R上是奇函数． 【答案】证明见解析 【分析】求出的表达式，即可得出答案. 【详解】，都有， 且， 所以，函数在定义域R上是奇函数． 1．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件确定函数的单调性，进而比较函数值大小即可. 【详解】因为，当时；当时； 所以函数在实数上单调递增，又，所以. 故选：A 2．定义域为的函数是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，又，则 （    ）． A．在上是增函数且有最大值2 B．在上是减函数且有最大值2 C．在上是增函数且有最小值2 D．在上是减函数且有最小值2 【答案】B 【分析】利用偶函数的性质，结合函数的最值定义进行求解即可. 【详解】因为函数是实数集上偶函数，且在上是增函数，在上是减函数， 所以函数在上是减函数，在上是增函数， 则， 又因为上是增函数，所以有； 在上是减函数，所以有； 因此当时，有最大值，最大值为， 而函数是实数集上偶函数， 因此函数在实数集上有最大值2 故选：B 3．函数是偶函数且在上单调递减，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知函数在上为增函数，且有，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数是偶函数且在上单调递减，则该函数在上为增函数， 且， 由可得， 所以，，可得或，解得或. 因此，不等式的解集为. 故选：D. 4．已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数在各段单调递增且在断点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】二次函数的对称轴为， 因为函数在R上单调递增， 所以有，解得，即实数的取值范围是． 故选：C． 5．若是偶函数，则在区间上是 函数． 【答案】增 【分析】根据函数是偶函数列出恒等式求出的值，即得函数表达式，结合二次函数性质即可得解. 【详解】显然定义域是全体实数，它关于原点对称， 若是偶函数，则恒成立， 即恒成立，所以，， 二次函数开口向下，对称轴为， 所以在区间上是严格增函数. 故答案为：增. 6．已知函数的图象关于原点对称，且当时，，那么当时， . 【答案】 【分析】当时，，根据可得出函数在时的表达式. 【详解】由题意，函数为奇函数，且当时，， 则当时，，则. 故答案为：. 7.设是定义在上的奇函数且当时，，求的表达式． 【答案】 【分析】运用奇函数的定义和性质求解即可. 【详解】解：∵是定义在上的奇函数，∴． 任取，则，． ∵为奇函数，∴， ∴，∴ 8.已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增；证明见解析 (2) 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 因为，， 任取，可知， 因为，所以，，， 所以，即， 故在上单调递增； （2）由（1）知在上单调递增， 所以，可得，解得 故实数的范围是． 1.（2021年山东职教高考）已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系正确的是(　　) A．f(1)＜f(0)＜f(－1) B．f(0)＜f(－1)＜f(1) C．f(－1)＜f(0)＜f(1) D．f(0)＜f(1)＜f(－1) 【答案】A 【解析】∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴由函数单调性可知当x越大，f(x)反而越小． ∵－1<0<1，∴f(1)<f(0)<f(－1). 故选：A. 2.（2021年山东职教高考）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ax2－2x，且f(4)＝8.求： (1)实数a的值； (2)该函数的解析式． 【答案】（1）a＝1.（2）f(x)＝ 【解析】(1)∵f(4)＝8，∴16a－8＝8，则a＝1. (2)设x<0，则－x>0，f(－x)＝x2＋2x. ∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴－f(x)＝f(－x)， 即f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. 综上所述，f(x)＝ 3.（2022年山东职教高考）已知函数是奇函数，则实数a的值是( ) A.3 B. 4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】∵函数是奇函数，∴， 即，故，∴. 故选：C. 4. （2022年山东职教高考）已知且，若函数上具有单调性，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【解析】若函数在上是减函数，则解得；若函数在上是增函数，则解得 .综述，或. 故答案为：. 5.（2022年山东职教高考）已知函数，且. （1）求实数k的值； （2）证明函数在上是减函数. 【答案】 【解析】（1）因为 ,所以k=2. 证明:由(1)可知. 设是上任意两个不相等的实数，设 ， 则 ， 又因为，所以， 故函数 在上是减函数. 6.（2023年山东职教高考）若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 函数的性质 1．已函数f(x)在[－4,－2]上是增函数，则(　　) A．f(－2)>f(－3) B．f(－2)<f(－3) C．f(－2)＝f(－3) D．f(－2)与f(－3)的大小无法判断 2. 下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3. 函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则f(x2＋1)与f(1)的大小关系是(　　) A．f(x2＋1)>f(1) B．f(x2＋1)<f(1) C．f(x2＋1)≥f(1) D．f(x2＋1)≤f(1) 4．下列函数中是偶函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝2x2＋1 C．f(x)＝x4＋x2，x∈[0，1] D．f(x)＝x3＋x2 5．下列命题中，正确的是(　　) A．奇函数的图像一定过原点 B．偶函数的图像关于y轴对称 C．奇函数的图像关于x轴对称 D．偶函数的图像一定与y轴相交 6．在下列函数图像中，表示奇函数且在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) 7．若函数在R上是增函数，则实数k的取值范围为 ． 8．函数在区间上的最大值和最小值分别是 ． 9．一次函数为奇函数是的 条件． 10．证明：函数在定义域R上是奇函数． 1．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 2．定义域为的函数是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，又，则 （    ）． A．在上是增函数且有最大值2 B．在上是减函数且有最大值2 C．在上是增函数且有最小值2 D．在上是减函数且有最小值2 3．函数是偶函数且在上单调递减，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若是偶函数，则在区间上是 函数． 6．已知函数的图象关于原点对称，且当时，，那么当时， . 7.设是定义在上的奇函数且当时，，求的表达式． 8.已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)若，求实数的取值范围． 1.（2021年山东职教高考）已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系正确的是(　　) A．f(1)＜f(0)＜f(－1) B．f(0)＜f(－1)＜f(1) C．f(－1)＜f(0)＜f(1) D．f(0)＜f(1)＜f(－1) 2.（2021年山东职教高考）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ax2－2x，且f(4)＝8.求： (1)实数a的值； (2)该函数的解析式． 3.（2022年山东职教高考）已知函数是奇函数，则实数a的值是( ) A.3 B. 4 C.5 D.6 4. （2022年山东职教高考）已知且，若函数上具有单调性，则实数a的取值范围是_______. 5.（2022年山东职教高考）已知函数，且. （1）求实数k的值； （2）证明函数在上是减函数. 6.（2023年山东职教高考）若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$