专题1.2 充要条件（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（河南专用）

专题1.2 充要条件 【考纲要求】 1. 理解充分条件和必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判断方法. 2. 掌握充要条件和集合关系的转化，并会利用充要条件求参数的范围. 【考向预测】 1.充分、必要条件的判断 2.利用充要条件求参数 1．充分条件和必要条件的概念 (1)如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． (3)如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． (4)如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． (5)如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 3．充要条件的传递性 1．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． 2．若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 考点一：充分条件、必要条件的判断 【例1】“”是“”的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式探究】“”是“”的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【例2】设，则“”是“”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】“”是“”的_____条件． 【例3】已知，，则是的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】设，则“”是“”的（       ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4】在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【变式探究】设，是两条不同的直线，，两个不同的平面.若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二： 充要条件与集合的关系及求范围 【例1】集合，的关系如图所示，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】设，已知两个非空集合，，满足，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 【例2】已知命题或，命题或，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【变式探究】已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 【例3】设集合，集合．若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围； 【变式探究】已知集合，且，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【例4】已知，若是的必要而不充分条件，则可以是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知集合，.若的充分非必要条件为，求实数的取值范围. 考点四：充要条件的综合应用 【例1】在中，“”是“”的(       ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】在中，“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【例2】是直线与直线平行且不重合的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式探究】“”是“直线与直线平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】已知向量和，则“”是“”的（       ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】“向量”是 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【例4】“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】“”是“方程表示椭圆”的 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 充要条件 【考纲要求】 1. 理解充分条件和必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判断方法. 2. 掌握充要条件和集合关系的转化，并会利用充要条件求参数的范围. 【考向预测】 1.充分、必要条件的判断 2.利用充要条件求参数 1．充分条件和必要条件的概念 (1)如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． (3)如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． (4)如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． (5)如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 3．充要条件的传递性 1．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． 2．若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 考点一：充分条件、必要条件的判断 【例1】“”是“”的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据小范围能够推出大范围，大范围推不出小范围可知： 能推出，但推不出， 所以“”是“”的充分条件， 故选：A. 【变式探究】“”是“”的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】由，可得或，则由“”可以得到“”； 由“” 不能得到“” 则“”是“”的充分非必要条件， 故选：A. 【例2】设，则“”是“”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，即，得， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式探究】“”是“”的_____条件． 【答案】充要 【解析】充分性：由于指数函数为上的增函数，由，可得，充分性成立； 必要性：由于指数函数为上的增函数，由，可得，必要性成立， 综上所述，“”是“”的充要条件， 故答案为：充要. 【例3】已知，，则是的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，，则，即， 取，满足，而有，即有pq， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 【变式探究】设，则“”是“”的（       ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由且且， 故选：A． 【例4】在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】D 【解析】因为空间中两直线垂直，分为相交垂直，异面垂直两种， 所以两直线互相垂直不能推出两直线相交. 反过来，两直线相交所成的角的范围是，不一定是垂直， 即两直线相交不能推出两直线垂直. 所以“两直线互相垂直”是“两直线相交”的既非充分又非必要条件. 故选：. 【变式探究】设，是两条不同的直线，，两个不同的平面.若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意得，当，且时，则必有； 反之，当，时，则必有， 所以当，时，则“”是“”的充要条件． 故选：C． 考点二： 充要条件与集合的关系及求范围 【例1】集合，的关系如图所示，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由韦恩图知：，∴是的充分不必要条件， 故选：A. 【变式探究】设，已知两个非空集合，，满足，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 【答案】A 【解析】因为，非空集合，满足， 所以是的子集，即， 所以是的充分条件， 故选：A. 【例2】已知命题或，命题或，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，所以， 故答案为：. 【变式探究】已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】是的必要条件，， ，解得：，即的取值范围为， 故答案为：. 【例3】设集合，集合．若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围； 【答案】 【解析】解：若“”是“”的必要条件，则，， ①当时，，此时，即； ②当时，，有成立； ∴综上所述，所求的取值范围是． 【变式探究】已知集合，且，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】解：由题知得，所以，解得， 所以实数的取值范围为：． 【例4】已知，若是的必要而不充分条件，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若是的必要而不充分条件，只需找一个集合，使是其真子集， 因为是的一个真子集， 故选：C． 【变式探究】已知集合，.若的充分非必要条件为，求实数的取值范围. 【答案】或． 【解析】解：由已知， 的充分非必要条件为，则是的真子集． 当即时，满足题意， 当时，由题意，等号不同时取得，解得， 综上的取值范围是或． 考点四：充要条件的综合应用 【例1】在中，“”是“”的(       ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】在中，，则或， ∴在中，“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 【变式探究】在中，“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】在中，，则，必有， 而，满足，此时是直角三角形，不是等腰三角形， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【例2】是直线与直线平行且不重合的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】充分性：时，直线与直线可化为： 直线与直线，此时两直线平行.故充分性满足； 必要性：因为直线与直线平行， 所以，解得：m=1，故必要性满足， 故选：C. 【变式探究】“”是“直线与直线平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若直线：与直线：平行，则，， 当时，直线：与直线：，两直线重合，舍． 所以“直线：与直线：平行”等价于“”， 所以“”是“直线：与直线：平行”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 【例3】已知向量和，则“”是“”的（       ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】显然当时，成立，满足必要性； 当成立，若向量和其中有一个为零向量满足题意， 此时和不一定相等，充分性不满足； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C． 【变式探究】“向量”是 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】两向量相加为零向量，说明两向量是相反向量，模的大小相等方向相反， 所以能推出，但推不出， 故选：A. 【例4】“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当，则且或且， 此时方程表示的曲线一定为双曲线，则充分性成立； 若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立， 故选：. 【变式探究】“”是“方程表示椭圆”的 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】方程表示椭圆，即且， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$