专题1.1 集合（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（河南专用）

专题1.1 集合 【考纲要求】 1. 理解集合的概念及其表示，理解元素与集合的关系及集合间的关系；掌握集合的表示方法. 2. 掌握集合间的关系（子集、真子集、相等），能准确应用“元素与集合关系”和“集合与集合关系”符号. 3. 掌握交集、并集、补集的含义，并能进行简单的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算. 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 1．集合的基本概念 (1)我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合． (2)集合中元素的三个特性：确定性，互异性，无序性. (3)集合常用的表示方法：列举法和描述法． (4)集合的分类：有限集和无限集. 2．常用数集的符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(N＋)　 Z Q R 3.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． (2)集合与集合之间的关系： 　　表示 关系　　 文字语言 符号语言 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A⊆B且B⊆A ⇔A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB或BA 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ∅⊆A，∅B (B≠∅) 结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 4．两个集合A与B之间的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集记为∁UA Venn图表示(阴影部分) 意义 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A} 5.集合运算中常用的结论 (1)①A∩B⊆A； ②A∩B⊆B； ③A∩A＝A； ④A∩∅＝∅； ⑤A∩B＝B∩A. (2)①A∪B⊇A; ②A∪B⊇B； ③A∪A＝A； ④A∪∅＝A； ⑤A∪B＝B∪A. (3)①∁U(∁UA)＝A； ②∁UU＝∅； ③∁U∅＝U； ④A∩(∁UA)＝∅； ⑤A∪(∁UA)＝U. (4)①A∩B＝A⇔A⊆B ⇔A∪B＝B； ②A∩B＝A∪B⇔A＝B. 考点一：集合的基本概念 【例1】下列各组对象中不能形成集合的是（       ） A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班全体学生家长 C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于1.7m的学生 【变式探究】判断下列元素的全体可以组成集合的是（       ） ①北京市所有的好学校； ②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点； ③n的近似值； ④不大于5的自然数． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【例2】若，则实数的值等于（       ） A． B．3 C． D．3或 【变式探究】已知集合，若，则（       ） A．-1 B．0 C．2 D．3 【例3】下列四组集合中表示同一集合的为（       ） A．， B．， C．， D．， 【变式探究】已知集合，则集合中元素的个数是（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二：集合间的基本关系 【例1】下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式探究】给出下列四个关系式：，其中正确的个数为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】集合的子集的个数是（       ） A．16 B．8 C．7 D．4 【变式探究】已知集合，则的子集个数为（       ） A．3 B． C．7 D．8 【例3】已知集合，且，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】集合，，若，则的值为__________. 考点三：集合的基本运算 【例1】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式探究】已知集合，，，则集合（       ） A． B． C． D． 【例2】已知集合则（ ） A． B． C． D． 【变式探究】设集合，，则（       ） A． B． C． D． 【例3】已知集合，，则=（ ） A． B． C． D． 【变式探究】设集合，，则（       ） A．⫋ B．⫋ C． D． 考点四：利用集合的运算求参数 【例1】已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是 . 【变式探究】已知集合，，且，则实数的取值范围是__________. 【例2】已知集合，集合.若，则实数m的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】已知集合，．若，则实数的取值范围是 ． 【例3】已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围 【变式探究】已知集合. （1）求，； （2），求实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合 【考纲要求】 1. 理解集合的概念及其表示，理解元素与集合的关系及集合间的关系；掌握集合的表示方法. 2. 掌握集合间的关系（子集、真子集、相等），能准确应用“元素与集合关系”和“集合与集合关系”符号. 3. 掌握交集、并集、补集的含义，并能进行简单的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算. 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 1．集合的基本概念 (1)我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合． (2)集合中元素的三个特性：确定性，互异性，无序性. (3)集合常用的表示方法：列举法和描述法． (4)集合的分类：有限集和无限集. 2．常用数集的符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(N＋)　 Z Q R 3.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． (2)集合与集合之间的关系： 　　表示 关系　　 文字语言 符号语言 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A⊆B且B⊆A ⇔A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB或BA 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ∅⊆A，∅B (B≠∅) 结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 4．两个集合A与B之间的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集记为∁UA Venn图表示(阴影部分) 意义 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A} 5.集合运算中常用的结论 (1)①A∩B⊆A； ②A∩B⊆B； ③A∩A＝A； ④A∩∅＝∅； ⑤A∩B＝B∩A. (2)①A∪B⊇A; ②A∪B⊇B； ③A∪A＝A； ④A∪∅＝A； ⑤A∪B＝B∪A. (3)①∁U(∁UA)＝A； ②∁UU＝∅； ③∁U∅＝U； ④A∩(∁UA)＝∅； ⑤A∪(∁UA)＝U. (4)①A∩B＝A⇔A⊆B ⇔A∪B＝B； ②A∩B＝A∪B⇔A＝B. 考点一：集合的基本概念 【例1】下列各组对象中不能形成集合的是（       ） A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班全体学生家长 C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于1.7m的学生 【答案】A 【解析】对A，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合； 对BCD，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合， 故选：A. 【变式探究】判断下列元素的全体可以组成集合的是（       ） ①北京市所有的好学校； ②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点； ③n的近似值； ④不大于5的自然数． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【解析】①“好学校”不具有确定性，因此①不能组成集合； ②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，满足集合的元素的特征，因此能组成集合； ③n的近似值不具有确定性，因此③不能组成集合； ④不大于5的自然数，满足集合的元素的特征，因此④能组成集合． 故选：C． 【例2】若，则实数的值等于（       ） A． B．3 C． D．3或 【答案】A 【解析】当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，即或（舍），此时， 故选：A. 【变式探究】已知集合，若，则（       ） A．-1 B．0 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，所以或，而无实数解，所以， 故选：C. 【例3】下列四组集合中表示同一集合的为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确， 故选：B． 【变式探究】已知集合，则集合中元素的个数是（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】由集合，，根据， 所以，所以中元素的个数是3， 故选：C. 考点二：集合间的基本关系 【例1】下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误； ②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确； ③空集是任意集合的子集，故，正确； ④空集没有任何元素，故，错误； ⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误； ⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误； ∴②③正确， 故选：B. 【变式探究】给出下列四个关系式：，其中正确的个数为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为是无理数，所以正确， 因为是有理数，所以不正确， 因为空集是集合，所以与不是属于关系，所以不正确， 因为是负整数，所以正确， 故选：C. 【例2】集合的子集的个数是（       ） A．16 B．8 C．7 D．4 【答案】B 【解析】集合，集合A含有3个元素， 所以集合A的子集个数是， 故选：B. 【变式探究】已知集合，则的子集个数为（       ） A．3 B． C．7 D．8 【答案】B 【解析】由题意得：， 则的子集个数为个， 故选：B. 【例3】已知集合，且，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，解得， 故选：C. 【变式探究】集合，，若，则的值为__________. 【答案】0 【解析】因为，所以，显然， 若，则与集合元素的互异性矛盾，舍去； 若，则或（舍去），综上，， 故答案为：0． 考点三：集合的基本运算 【例1】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得，所以， 故选：C． 【变式探究】已知集合，，，则集合（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴， ∵，， ∴.∴. 故选：C. 【例2】已知集合则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由解得，所以， 又因为，所以， 故选:D. 【变式探究】设集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解不等式得：，即有， 而，所以， 故选：C. 【例3】已知集合，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，； ∴A∩B＝{x|1＜x≤2}， 故选:C． 【变式探究】设集合，，则（       ） A．⫋ B．⫋ C． D． 【答案】A 【解析】，所以，所以， 所以，所以⫋， 故选：A. 考点四：利用集合的运算求参数 【例1】已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】在数轴上表示出集合A，B， 由于，如图所示，则， 故答案为：. 【变式探究】已知集合，，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】∵集合，，且，∴， 故答案为：. 【例2】已知集合，集合.若，则实数m的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，则，符合，排除B，D两个选项. 若，则，符合，排除A选项， 故选：C. 【变式探究】已知集合，．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为集合，且， 所以，即， 故答案为：. 【例3】已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围 【答案】(1)； (2). 【解析】解：(1)当时，， ； (2)由，则有：，解得：，即， 实数的取值范围为． 【变式探究】已知集合. （1）求，； （2），求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解析】解：(1)由已知得； ∵，∴； （2）∵，∴， 当集合时，，即； 当集合时，，即， 综上所述，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$