3.2 函数的单调性与奇偶性(45页)-2025年江西省“三校生”对口升学考试中职数学一轮复习课件

3.2 函数的单调性与奇偶性 专题三 函数 知识整合 二. 函数的单调性： 增函数的定义： 设函数 y=f(x)的定义域为D，区间 I⊆D， (1). 如果对于区间 I 上的任意两点 x1和x2 ，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)， 那么称函数 y=f(x)在区间 I 上是增函数， 区间I称为函数y=f(x)的增区间. 如右图所示： 2 减函数的定义： 设函数 y=f(x)的定义域为D，区间 I⊆D， (1). 如果对于区间 I 上的任意两点 x1和x2 ，当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)， 那么称函数 y=f(x)在区间 I 上是减函数， 区间 I 称为函数y=f(x)的减区间. 如右图所示： 知识整合 知识整合 单调性的定义： 如果函数 y=f(x)在区间 I 上是增函数或减函数，那么称函数 y=f(x)在区间 I 上具有单调性，区间 I 称为单调区间，增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间. 知识整合 自变量的大小与函数值的大小之间的关系： 1. 若f(x)在区间[a,b]上单调递增,且a<x1<x2<b,则f(x1)<f(x2) 2. 若f(x)在区间[a,b]上单调递减,且a<x1<x2<b,则f(x1)>f(x2) 若f(x)是增函数，则自变量的大小关系与函数值的大小关系一致 若f(x)是减函数，则自变量的大小关系与函数值的大小关系相反 5 知识整合 例1. 根据下图写出函数的单调区间： ①. 单调增区间为__________________. ②. 单调减区间为__________________. (-5,-3)，(0,5) (-3,0)和(5,+∞) 1. 看图写单调区间： 练1. f(x)的定义域为[-2,6]，则f(x)的 ①. 单调增区间为__________________. ②. 单调减区间为__________________. [2,4] [-2,2]，[4,6] 6 知识整合 2. 利用定义证明函数的单调性： ①. 设a<x1<x2<b， 证明f(x)在区间[a,b]上的单调性的步骤： ②. 作差法比较f(x1)与f(x2)的大小 ③. 若f(x1)<f(x2)，则f(x)在[a,b]上是增函数； 若f(x1)>f(x2)，则f(x)在[a,b]上是减函数. 7 知识整合 例1. 判断f(x)=x2-2在区间[0,+∞)上的单调性并证明。 f(x)=x2-2在区间[0,+∞)上单调递增。 8 知识整合 f(x)在区间(-1,+∞)上单调递减。 9 知识整合 f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增。 10 知识整合 3. 利用单调性确定大小及参数范围： 例1. 已知y=f(x)在R上是减函数： ①. 比较f(-2)与f(-3)的大小， ②. 若f(m)<f(n)，比较m，n的大小。 ①. f(-2)<f(-3) ②. m>n 11 知识整合 练1. ①已知y=f(x)在R上是增函数，若f(x-1)>f(2x)，求x的范围。 (-∞,1) 12 知识整合 练1. ②已知y=f(x)在R上是减函数，若f(m2)>f(2m+3)，求m的范围。 (-1,3) 13 知识整合 练1. ③已知y=f(x)在(0,+∞)上是减函数，则( ) A. f(2)>f(π)>f(e) B. f(e)>f(π)>f(2) C. f(2)>f(e)>f(π) D. f(e)>f(2)>f(π) C 14 知识整合 例2. 若f(x)在定义域(-2,2)上是减函数，且f(a-1)>f(3-2a)，求实数a的取值范围。 括号内的数要符合定义域的范围 15 知识整合 练2. ①若f(x)在定义域(-1,1)上是减函数，且f(1-a)<f(2a-1)，求实数a的取值范围。 函数问题首先考虑定义域。 16 知识整合 练2. ②若f(x)在[-2,2]上是增函数，且f(m-1)-f(2-m)>0，求实数m的取值范围。 17 知识整合 三. 函数的奇偶性： 如果一个函数的图像关于原点成中心对称，则这个函数是奇函数，即： 如果一个函数的图像关于y轴成轴对称，则这个函数是偶函数，即： 设函数 y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的 x∈D，都有-x∈D，且 f(-x)=f(x)，则称 y=f(x)是偶函数. 设函数 y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的 x∈D，都有-x∈D，且 f(-x)=-f(x)，则称 y=f(x)是奇函数. 18 知识整合 奇偶性概念的注意事项： ①. 单调性可以描述函数的局部性质，但是奇偶性描述的是函数的整个定义域内的性质。 ②. 函数具有奇偶性的前提是：___________________。 定义域关于原点对称 ③. f(-x)≠-f(x)，且f(-x)≠f(x)，则f(x)是______________。 非奇非偶函数 19 知识整合 例1. 下列函数中，奇函数是_______，偶函数是_______。 ① ② ③ ④ ②④ ①③ 奇函数关于_______对称，是______对称图形； 偶函数关于_______对称，是_____对称图形。 原点 y轴 1. 奇偶函数的图像定义： 中心 轴 20 知识整合 练1. 补全下列函数的图像，并求出相应的函数值。 21 知识整合 练1. ②下列函数中，奇函数是_______，偶函数是_______。非奇非偶函数是_______。 ② ① ③ 22 例1. 若f(x)在R上是奇函数，且f(-3)=2，则f(3)=______. 知识整合 -2 2. 奇偶函数的代数定义： 23 练1. ①. 若f(x)是偶函数，且f(-2)=3，则f(2)=______； ②. 若f(x)是奇函数，且f(2)=-3，则f(-2)=______； ③. 若f(x)是偶函数，且f(-1)+f(1)=2，则f(-1)=______； ④. 若f(x)是奇函数，且f(-2)-f(2)=4，则f(2)=______. 知识整合 3 3 1 -2 24 知识整合 3. 函数奇偶性的判定与证明： 解：f(x)是奇函数，证明如下： f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， ∴ f(x)是奇函数. 25 知识整合 函数奇偶性的证明步骤： ①. 写出f(x)的定义域：说明是否关于原点对称； (这一步一定要有，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，所以一定要说明，若定义域不关于原点对称，则f(x)是非奇非偶函数。) ②. 计算f(-x)：对比f(-x)与f(x)的关系； ③. 下结论：若f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数， 若f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数， 若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)，则f(x)是非奇非偶函数。 26 练1. ①判断并证明函数f(x)=x2-|x|+1的奇偶性。 知识整合 解：f(x)是偶函数，证明如下： f(x)的定义域为R，关于原点对称， f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1=f(x) ∴ f(x)是偶函数. 27 练1. ②判断并证明函数f(x)=2x3-x2+x的奇偶性。 知识整合 解：f(x)是非奇非偶函数，证明如下： f(x)的定义域为R，关于原点对称， f(-x)=2(-x)3-(-x)2+(-x)=-2x3-x2-x≠-f(x)，且f(-x)≠f(x) ∴ f(x)是非奇非偶函数. 28 知识整合 总结：①. 若定义域不关于原点对称，则是非奇非偶函数； ③. 若自变量的指数都为偶数，则是偶函数； ④. 若自变量的指数有奇数也有偶数，则是非奇非偶函数。 解：f(x)是非奇非偶函数，证明如下： f(x)的定义域为[0,+∞），不关于原点对称， ∴ f(x)是非奇非偶函数. ②. 若解析式中自变量的指数都为奇数，则是奇函数； 29 知识整合 ① ②⑤⑥ ③④ 30 例2. 若 f(x)=2x3+(a-2)x2-ax 是奇函数，则a=_______。 知识整合 2 -1 31 4. 四则运算的奇偶性： 知识整合 ①. f(x)=x+x3 奇函数+奇函数=________________. 奇函数 ②. f(x)=x2+x4 偶函数+偶函数=______________. 偶函数 ③. f(x)=x+x2 奇函数+偶函数=________________. 非奇非偶函数 ④. f(x)=x·x3 奇函数×奇函数=________________. 偶函数 ⑤. f(x)=x2·x4 偶函数×偶函数=________________. 偶函数 ⑥. f(x)=x·x2 奇函数×偶函数=________________. 奇函数 口诀：把奇函数当做负数，偶函数当正数，运算的结果是负数，则是奇函数，运算的结果是正数，则是偶函数. 32 知识整合 例1. 下列函数是偶函数的是( ) A. y=sinx+tanx B. y=x2+e|x| C. y=xcosx D. y=ln|x|-sinx B 33 知识整合 练1. 下列函数是奇函数的是( ) A. y=sinx+cosx B. y=x2e|x| C. y=x3-1 D. y=x3cosx D 34 知识整合 ①. 奇函数 ②. 奇函数 函数相除的奇偶性与相乘一致。 35 变式. f(x)的定义域为R，则”f(x)是奇函数”是”f(0)=0”的( )条件。 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 知识整合 练3. ”f(x)是奇函数”是”f(0)=0”的( )条件。 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 若0在一个奇函数的定义域内，则必有f(0)=0 奇偶性是函数的整体性质。 D A 36 知识整合 5. 奇偶性与单调性结合： 例1. 若函数f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数，则f(x)在(-∞,0)上是( ) A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 B 37 知识整合 变式. 若函数f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，则f(x)在(-∞,0)上是( ) A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 A 奇函数在原点两侧有相同的单调性， 偶函数在原点两侧有相反的单调性。 38 知识整合 练1. 若函数f(x)是奇函数，且在(1,3)上是增函数，则f(x)在(-3,-1)上是( ) A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 A 39 知识整合 例2. 若函数f(x)是偶函数，且在[1,3]上是增函数，且f(3)=5，则f(x)在[-3,-1]上( ) A. 有最小值5 B. 有最小值-5 C. 有最大值5 D. 有最小值-5 C 40 知识整合 练2. ①若函数f(x)是奇函数，且在[1,4]上单调递增，比较f(-e)与f(-π)的大小 f(-e)>f(-π) 41 知识整合 练2. ②若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，解不等式f(x)<f(2) (-2,2) 42 知识整合 练2. ③若偶函数f(x)满足f(1)<f(2),则下列说法正确的是( ) A. f(x)在[1,2]上单调递增 B. f(-1)>f(-2) C. f(x)在[-2,-1]上单调递增 D. f(-1)<f(-2) D 43 知识整合 6. 奇偶函数图像上的点： 例1. 若(1,2)是偶函数f(x)图像上的点，则下列各点在此图像上的是( ) A. (1,-2) B. (-1,2) C. (-1,-2) D. (2,1) B 关于谁对称谁不变。 44 知识整合 练1. 若(1,2)是奇函数f(x)图像上的点，则下列各点在此图像上的是( ) A. (1,-2) B. (-1,2) C. (-1,-2) D. (2,1) C 关于原点对称的点的横、纵坐标都变号。 45 $$