1.2.1充分条件与必要条件（3知识点+3题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

2.1充分条件与必要条件 课程标准 学习目标 1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系: 2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系， 3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 1.准确理解充分条件、必要条件的意义;能判断是否是充分条件或必要条件. 2.通过对充分条件与必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性. 3.通过以学生为主体的教学方法，让学生自己建构相关概念，体验获取知识的动态过程; 知识点01 充分条件与必要条件 定义：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个__充分_条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_必要_条件． “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【即学即练1】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列命题中，p是q的充分条件的是 ． ①p：，q：； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根． 【即学即练2】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若q是p的充分条件，则p是q的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 知识点02 充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 【即学即练3】（20-21高一·江苏·课后作业）设a，b，，求关于x的方程有一个根为的一个充要条件.． 【即学即练4】（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假： (1)是的必要条件； (2)是的充分条件； (3)两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件； (4)是的充分而不必要条件． 知识点03 充分条件、必要条件与充要条件 如果p⇒q，则称p是q的_ 充分条件_____，q是p的_ 必要条件_____. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件 p是q的充分不必要条件 记作__ p⇒q _____且_qp__ p是q的必要不充分条件 记作__ pq____且__q⇒p ___ p是q的充分必要条件（简称充要条件） 记作__ p⇔q___ p是q的既不充分又不必要条件 记作_ pq ___且_ qp____ 【即学即练5】（24-25高一上·上海·随堂练习）若是的充分非必要条件，是的必要条件，则是的 条件. 【即学即练6】（24-25高一上·上海·假期作业）已知是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则是的 条件，是的 条件，是的 条件. （填“充分”或“必要”） 难点：数形结合的运用 示例1：（2023秋·云南红河·高一统考期末）集合，. (1)当时，求； (2)从下面条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m的取值范围 条件①：是的充分条件； 条件②：； 条件③：. 注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 难点：分类讨论思想的应用 示例2：（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？ (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 【题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断】 例1．（24-25高一上·上海·课后作业）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．即非充分又非必要条件 变式1．（2023高一下·吉林·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式2．（2024·天津·模拟预测）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 变式4．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）实数，满足“”是“”的 条件． 变式6．（24-25高一上·上海·课后作业）若集合，，则“”是“”的 条件． 变式7．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的 .（请从“充分不必要条件”､“必要不充分条件”､“充要条件”､“既不充分也不必要条件”中选一个填在横线上） 【方法技巧与总结】 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性 【题型2：由充分条件必要条件求参数】 例2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（多选）（23-24高一上·河南郑州·期中）若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 变式2．（24-25高一上·上海·期中）不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 变式3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 变式4．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ． 变式5．（23-24高一上·福建·期中）已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 变式6．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合或，. (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 变式7．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知，或． (1)若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围； (2)若p是的必要不充分条件，求实数k的最大值． 变式8．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知集合，. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的值； (2)从三个条件①，②，③中选出合适的一个，补充在下面问题中，并完成解答．已知__________，若集合C含有两个元素且满足，求集合 （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【题型3：充要条件的证明】 例3．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 变式1．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 变式3．（2024高三上·全国·专题练习）设是虚数， (1)求证为实数的充要条件为； (2)若，推测为实数的充要条件； (3)由上结论，求满足条件，及实部与虚部均为整数的复数． 变式4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 变式5．（12-13高二·福建福州·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 变式6．（2023高一·全国·专题练习）设a，b，c分别是△ABC的三条边，且．则△ABC为直角三角形的充要条件是．试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明． 变式7．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，非空集合 (1)证明：的充要条件是； (2)若，求的取值范围. 变式8．（23-24高一上·陕西·阶段练习）判断下列命题的真假，并说明理由. (1)“”是“”的必要不充分条件； (2)“”是“”的充要条件. 【方法技巧与总结】 从条件到结论是充分性，从结论到条件是必要性 一、单选题 1．（2024高一·全国·专题练习）若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 2．（23-24高二下·天津和平·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列说法不正确的是（　　） A．“”是“”的必要非充分条件 B．“且”是“”的充分非必要条件 C．当时，“”是“方程有解”的充要条件 D．若是的充分非必要条件，则是的必要非充分条件 4．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河南·期末）已知甲、乙、丙三人的年龄均为正整数，且甲的年龄大于乙的年龄，则“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高一下·江西·期末）已知集合，则“”是“集合M仅有1个真子集”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（22-23高一上·广东湛江·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，，均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，且，．那么“”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 二、多选题 9．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·山东威海·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）是的 条件． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）设条件：，：，若是的充分条件，则的最大值为 ，若是的必要条件，则的最小值为 ． 14．（23-24高一下·北京·期末）已知集合、．若是的必要不充分条件，则的取值范围为 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 16．（23-24高一上·河南驻马店·期末）在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合． (1)当时，求和； (2)若________，求实数的取值范围． 17．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 18．（23-24高一上·山东济南·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 19．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1充分条件与必要条件 课程标准 学习目标 1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系: 2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系， 3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 1.准确理解充分条件、必要条件的意义;能判断是否是充分条件或必要条件. 2.通过对充分条件与必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性. 3.通过以学生为主体的教学方法，让学生自己建构相关概念，体验获取知识的动态过程; 知识点01 充分条件与必要条件 定义：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个__充分_条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_必要_条件． “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【即学即练1】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列命题中，p是q的充分条件的是 ． ①p：，q：； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根． 【答案】③ 【分析】根据充分条件定义判断各个选项即可. 【详解】①,则或，不能推出. ∴p不是q的充分条件．     ② ∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件． ③则 ∴方程无实根，∴p是q的充分条件． 故答案为：③. 【即学即练2】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若q是p的充分条件，则p是q的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】若q是p的充分条件，则， 所以p是q的必要条件. 故选：B. 知识点02 充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 【即学即练3】（20-21高一·江苏·课后作业）设a，b，，求关于x的方程有一个根为的一个充要条件. 【答案】. 【分析】先根据题意得，再证明即可. 【详解】解:因为关于x的方程有一个根为， 所以代入得，下证明充要性. 充分性：，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为，满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 【即学即练4】（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假： (1)是的必要条件； (2)是的充分条件； (3)两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件； (4)是的充分而不必要条件． 【答案】(1)假命题 (2)假命题 (3)真命题 (4)假命题 【分析】根据充分性和必要性判断真假即可. 【详解】（1）当，时，，但是，所以不是的必要条件，是的必要条件为假命题. （2）当，时，，但是，所以不是的充分条件，是的充分条件为假命题. （3）两个三角形的两组对应角分别相等可以推出三角形相似， 三角形相似也可以推出两个三角形的两组对应角分别相等， 所以两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件为真命题. （4），解得或0，所以是的必要不充分条件，故是的充分而不必要条件为假命题. 知识点03 充分条件、必要条件与充要条件 如果p⇒q，则称p是q的_ 充分条件_____，q是p的_ 必要条件_____. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件 p是q的充分不必要条件 记作__ p⇒q _____且_qp__ p是q的必要不充分条件 记作__ pq____且__q⇒p ___ p是q的充分必要条件（简称充要条件） 记作__ p⇔q___ p是q的既不充分又不必要条件 记作_ pq ___且_ qp____ 【即学即练5】（24-25高一上·上海·随堂练习）若是的充分非必要条件，是的必要条件，则是的 条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，而 ， 因为是的必要条件，所以， 所以， ， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 【即学即练6】（24-25高一上·上海·假期作业）已知是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则是的 条件，是的 条件，是的 条件. （填“充分”或“必要”） 【答案】 必要 必要 必要 【分析】根据充分、必要条件的定义判断可得答案. 【详解】是的必要条件，则，是的充分条件，则， 是的充分条件，，所以， 则是的必要条件，是的必要条件，是的必要条件. 故答案为：①必要；②必要；③必要. 难点：数形结合的运用 示例1：（2023秋·云南红河·高一统考期末）集合，. (1)当时，求； (2)从下面条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m的取值范围 条件①：是的充分条件； 条件②：； 条件③：. 注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的定义求解； （2）根据相关的定义求解. 【详解】（1）当时， ， 则； （2）若选①，则有，即； 若选②，则有； 若选③，则有. 难点：分类讨论思想的应用 示例2：（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？ (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在满足条件的，理由见解析 (2)若选①，问题中的存在，且的取值集合，若选②，问题中的存在，且的取值集合. 【分析】（1）转化为，根据两个集合相等列式可求出结果； （2）若选①，根据是的真子集列式可求出结果；若选②，根据是的真子集列式可求出结果. 【详解】（1）当横线部分内容为“充要条件”时，则，则且，方程组无解. ∴不存在满足条件的. （2）若选①，则是的真子集，则且（两等号不同时取），且，解得， ∴问题中的存在，且的取值集合. 选②，则是的真子集， 当时，，即，满足是的真子集； 当时，，即，由是的真子集，得且（两等号不同时取），解得； 综上所述：. 所以问题中的存在，且的取值集合. 【题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断】 例1．（24-25高一上·上海·课后作业）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．即非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】利用绝对值的性质证明充分性，举反例否定必要性即可. 【详解】若，则，故充分性成立， 当时，满足，但不满足，故必要性不成立，故A正确. 故选：A 变式1．（2023高一下·吉林·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为可以推出，即充分性成立； 但不能推出，例如，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 变式2．（2024·天津·模拟预测）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则，即充分性成立； 若，例如，可得，满足题意， 但，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据两不等式的推出关系得到结论. 【详解】，但， 故“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 变式4．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）实数，满足“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】根据两个方程的解集作判断即可. 【详解】由，得此时，充分性成立； 由，得或，此时不一定成立，必要性不成立. 故答案为：充分不必要. 变式6．（24-25高一上·上海·课后作业）若集合，，则“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】利用集合的性质证明充分性，举反例否定必要性即可. 【详解】由题意得，故充分性成立， 易得当时，满足，但不满足，故必要性不成立. 故答案为：充分不必要 变式7．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的 .（请从“充分不必要条件”､“必要不充分条件”､“充要条件”､“既不充分也不必要条件”中选一个填在横线上） 【答案】必要不充分条件 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，， 所以， 则由推不出，故充分性不成立， 由推得出，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件 【方法技巧与总结】 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性 【题型2：由充分条件必要条件求参数】 例2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 变式1．（多选）（23-24高一上·河南郑州·期中）若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】AB 【分析】根据必要不充分条件的定义求解. 【详解】由，解得或，所以p：或， 因为p是q的必要不充分条件，所以方程一定有解，则， 所以或，解得或， 故选:AB. 变式2．（24-25高一上·上海·期中）不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据成立的充分非必要条件是，列不等式组求解即可. 【详解】由题知是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 变式3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用给定条件得到，，再转化为子集问题求解即可. 【详解】若是的充分不必要条件，则， ， 故有，解得，又，故. 故答案为： 变式4．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断在上的单调性，可求得集合A，进而由“”是“”的充分不必要条件，可得，求解即可． 【详解】函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上递增， 当时，；当时，．所以． ，由于“”是“”的充分不必要条件， 所以，，解得或， 所以m的取值范围是． 故答案为：． 变式5．（23-24高一上·福建·期中）已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 变式6．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合或，. (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或， (2)或 【分析】（1）根据交集，并集，补集的概念进行求解； （2）根据题目条件得到是的真子集，分与两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，，故或， ，或， 故； （2）由题意得是的真子集， 若，则，解得， 若，则或， 解得， 故的取值范围是或 变式7．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知，或． (1)若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围； (2)若p是的必要不充分条件，求实数k的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先解不等式，再把充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式即可求解； （2）先求的取值范围，再把必要不充分条件转化为真子集关系，列出不等式组即可求解. 【详解】（1）：，故：， 又因为是的充分不必要条件，所以或， 解得或， 故实数的取值范围为或. （2）:，又是的必要不充分条件， 因为，所以对应的集合不是空集， 所以，解得， 故实数的最大值为. 变式8．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知集合，. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的值； (2)从三个条件①，②，③中选出合适的一个，补充在下面问题中，并完成解答．已知__________，若集合C含有两个元素且满足，求集合 （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据必要不充分条件列方程来求得. （2）根据所选条件以及求得集合. 【详解】（1）若“”是“”的必要不充分条件，则B是A的真子集， 或，解得或1或2， 或1时，不满足集合元素的互异性，应舍去，， 存在实数使得. （2）若选择条件①，则，不满足集合元素的互异性，不符合题意； 若选择条件②，则， 或或； 若选择条件③，则， 或或或或或． 【题型3：充要条件的证明】 例3．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 【答案】证明见解析. 【分析】利用充分性和必要性的定义证明即可. 【详解】证明：充分性： 若，，，， 则等式自然恒成立． 必要性： 由于等式恒成立，分别令、1、、，并代入上式， 得 由此，可得，，，． 故，，，是等式恒成立的充要条件. 变式1．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】先证明充分性，再证明必要性即可． 【详解】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】利用充分性和必要性的定义求解即可. 【详解】充分性：当时，， 则； 必要性：若，则， 所以，即； 综上，“”是“”的充要条件． 变式3．（2024高三上·全国·专题练习）设是虚数， (1)求证为实数的充要条件为； (2)若，推测为实数的充要条件； (3)由上结论，求满足条件，及实部与虚部均为整数的复数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或． 【分析】（1）（必要性）设，带入中，化简为标准形式，再由实数的定义即可得到；（充分性）由，得出，带入中即可得到为实数. （2）设带入中，再由实数的定义可知虚部为零，得到，即可知为实数的充要条件是. （3）由题设知，为虚数，由（2）知，设，带入中，可得由题意即可求得的取值范围，进而求得实部与虚部均为整数的复数. 【详解】（1）（必要性）设，知 为实数，则，即易得． （充分性）反之，若， ∴ 为实数． （2）设为实数． 易得，即． 反之，由得为实数． ∴为实数的充要条件是． （3）由题设知，为虚数，否则不等式不成立，且为实数． 由（2）知，， 设，则由 知．取或2或3，及，易得相应的． ∴或． 变式4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解. 【详解】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 变式5．（12-13高二·福建福州·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合一元二次方程的性质证明即可. 【详解】充分性： ，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为， 满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 变式6．（2023高一·全国·专题练习）设a，b，c分别是△ABC的三条边，且．则△ABC为直角三角形的充要条件是．试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明． 【答案】△ABC为锐角三角形的充要条件为．证明见解析 【分析】根据勾股定理易得△ABC为锐角三角形的充要条件是．再分别证明充分与必要性即可． 【详解】设a，b，c分别是△ABC的三条边，且，△ABC为锐角三角形的充要条件是． 充分性：在△ABC中，若，则不是直角， 假设为钝角，如图①，作，交BC延长线于点D， 则由勾股定理得， ， 即，与“”矛盾， 故为锐角，即△ABC为锐角三角形，故充分性成立； 必要性：在△ABC，是锐角，作，D为垂足，如图②， 则由勾股定理得， ， 即，故必要性成立． 故△ABC为锐角三角形的充要条件为． 变式7．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，非空集合 (1)证明：的充要条件是； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）首先证明充分性：当时可求得集合，对参数是否为零进行分类讨论，可得集合中至少含有中的所有元素；再证明必要性：若可得方程的所有实数根都是方程的实根，即，得出证明； （2）根据（1）的结论可知，然后对于参数是否为零进行分类讨论，易知当时符合题意，当时，对于方程的根的个数结合判别式进行讨论，并利用集合间的包含关系求得的取值范围是. 【详解】（1）充分性：若，则； 当时，可得 若，可得或； 当时，；即可得 所以可得集合中至少含有两个元素，可知， 当时，可得；此时当时，即可得； 此时，满足；综上可知充分性成立； 必要性：因为为非空集合，所以可知当时， 可知方程的所有实数根都是方程的实根， 即可得， 即，可得，所以必要性成立； 综上可得，的充要条件是； （2）若时，满足； 由（1）中的结论可得， 此时； 当时，可得，此时，符合题意； 当时，可得，此时； 为使可知，集合； 对于方程，令 ①当时，即时，，符合题意； ②当时，即时，此时，但且，不合题意； ③当时，即或时，， 为使，需满足或，即，解得； 这与大前提矛盾，不合题意；综合①②③可得符合题意； 综上可知，满足题意的的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题在求解参数的取值范围时，要结合（1）的结论将代入计算，并根据将集合转化成集合的子集，再对参数进行分类讨论后再利用判别式进行讨论计算可得结果. 变式8．（23-24高一上·陕西·阶段练习）判断下列命题的真假，并说明理由. (1)“”是“”的必要不充分条件； (2)“”是“”的充要条件. 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 【分析】（1）通过判定命题的充分性与必要性即可得出结论； （2）通过判定命题的充分性与必要性即可得出结论. 【详解】（1）该命题是假命题.理由如下， 充分性：当时，，充分性成立， 必要性：由，得，，必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件，故该命题是假命题. （2）该命题是真命题.理由如下， 充分性：若，则，充分性成立， 必要性：若，则，必要性成立. 故该命题是真命题. 【方法技巧与总结】 从条件到结论是充分性，从结论到条件是必要性 一、单选题 1．（2024高一·全国·专题练习）若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分析题干所提供非空集合A，B，C条件，对三者关系进行判断． 【详解】解：由题意知，，且B中一定含有不属于A的元素，所以， “”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 2．（23-24高二下·天津和平·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式，显然， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列说法不正确的是（　　） A．“”是“”的必要非充分条件 B．“且”是“”的充分非必要条件 C．当时，“”是“方程有解”的充要条件 D．若是的充分非必要条件，则是的必要非充分条件 【答案】C 【分析】对于AC，由一元二次方程的相关知识结合必要、充分条件的概念即可判断；对于B，由不等式的性质以及必要、充分条件的概念即可判断；对于D，直接由必要、充分条件的概念即可判断. 【详解】对于A，“”等价于“或”，所以“”是“”的必要非充分条件，故A不符合题意； 对于B，一方面：若“且”，则“”，另一方面：若，仍满足，但此时， 所以“且”是“”的充分非必要条件，故B不符合题意； 对于C，当时，“”是“方程有解”的既不充分也不必要条件，故C符合题意； 对于D，若是的充分非必要条件，则是的必要非充分条件，故D不符合题意. 故选：C. 4．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 5．（23-24高一下·河南·期末）已知甲、乙、丙三人的年龄均为正整数，且甲的年龄大于乙的年龄，则“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由甲、乙、丙三人的年龄均为正整数，甲的年龄大于乙的年龄，易判断“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于”的充分不必要条件. 【详解】若乙的年龄大于丙的年龄，则乙与丙的年龄之差不小于1．因为甲的年龄大于乙的年龄， 所以甲与乙的年龄之差不小于1，所以甲与丙的年龄之差不小于2，反之不成立． 故“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于”的充分不必要条件． 故选：C. 6．（23-24高一下·江西·期末）已知集合，则“”是“集合M仅有1个真子集”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】由集合M仅有1个真子集的条件，结合充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】集合仅有1个真子集，即集合M只有一个元素， 若，方程等价于，解得，满足条件； 若，方程要满足，有， 则集合仅有1个真子集，有或， 则时满足集合M仅有1个真子集， 集合M仅有1个真子集时不一定有， 所以“”是“集合M仅有1个真子集”的充分不必要条件. 故选：B. 7．（22-23高一上·广东湛江·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解方程，进而根据充要条件的定义即可求解. 【详解】当时，则，∴充分性不成立， 当时，则，∴必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8．（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，，均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，且，．那么“”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：因为，， 所以， 当时，等价于， 所以不成立，故不充分； 当时，，故必要， 故选：B． 二、多选题 9．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】ABD 【分析】根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，再分情况讨论即可得到的可能取值. 【详解】因为的两个根为3和5，所以， 是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或或， 当时，满足即可， 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是0，，. 故选：ABD. 10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由成立的充要条件求出对应的参数的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】当且仅当是的子集，当且仅当，即， 对比选项可知使得成立的充分不必要条件有，. 故选：CD. 11．（23-24高一上·山东威海·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由已知结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，则. 故选：AB 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）是的 条件． 【答案】充要 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求出结果. 【详解】由得到，即， 当时，则，所以， 所以是的充要条件， 故答案为：充要. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）设条件：，：，若是的充分条件，则的最大值为 ，若是的必要条件，则的最小值为 ． 【答案】 1 4 【分析】先化简条件，再根据充分条件、必要条件的定义计算得解． 【详解】因为，所以 ①由是的充分条件，得， 解得，所以的最大值为1， ②由是的必要条件，得， 解得，所以的最小值为4． 故答案为：；. 14．（23-24高一下·北京·期末）已知集合、．若是的必要不充分条件，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】因为是的必要不充分条件，所以B是A的真子集，再根据集合之间的真包含关系求解. 【详解】因为是的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据交集定义直接求解即可； （2）根据必要条件定义可得，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当时，，. （2）“”是“”的必要条件，， 又，，解得：，即实数的取值范围为. 16．（23-24高一上·河南驻马店·期末）在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合． (1)当时，求和； (2)若________，求实数的取值范围． 【答案】(1)， ； (2)答案见解析 【分析】（1）先求出集合，再求出，进而可得集合； （2）分情况处理，若选择①，考虑的情形即可，要分和两种情况分析；若选择②，考虑且的情形即可；若选择③，考虑的情形即可，要分和两种情况分析. 【详解】（1）当时，集合， 所以 ， 又因为 ，所以 . （2）若选择①，，则， 当时，，解得：， 当时，又， 所以，得， 所以实数a的取值范围是． 若选择②，““是“”的充分不必要条件， 则且， 因为， 或，解得：， 由于无解，不成立， 所以实数a的取值范围是．（不检验扣1分） 若选择③，， 当时，，解得：， 当时，又，则， 解得：或， 所以实数a的取值范围是． 17．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求得集合，，由交集运算即可得出结果. （2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，讨论，两种情况，求解即可. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 所以； （2）由题知，集合A是集合B的真子集， 当时，，即，符合题意， 当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为． 18．（23-24高一上·山东济南·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）解不等式确定集合A，根据集合的交集以及并集运算，即可求得答那； （2）由题意可得⫋，列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）解可得， 故可知， 当时，， 所以，； （2）因为是的充分不必要条件， 所以⫋，则， 解得. 19．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，求出集合，利用集合的并集运算从而可求解. （2）由题意可知集合是集合的真子集，再分类讨论，从而可求解. 【详解】（1）由题意知，当，得， 因为，所以. （2）由“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 当时，即，解得； 当时，即，解得 综上实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$