3.2基本不等式（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

3.2 基本不等式 复习导入 不等式有下面的基本性质： 性质1(对称性) ； 性质2(传递性) ，； 性质3(可加性) 如果，那么； 性质4(可乘性) 如果，那么 如果，那么； 性质5(同向可加性) 如果，那么； 性质6（同向同正可乘性） 如果，那么 性质7（同乘方性） 如果，那么 复习导入 思考：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 .如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么 并非物体的实际质量. 不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为. 那么如何合理地表示物体的质量呢? 以 表示物体的质量. 这样的做法合理吗? 设天平的两臂长分别为 ，，物体实际质量为 ，根据力学原理有 ，. 将上述两个等式的两边分别相乘，得， 所以 . 复习导入 对于正数，我们把 称为的算术平均数， 称为 的几何平均数. 思考：两个正数 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系? 当时，我们可以尝试作出长度为 和 的两条线段，再比较这两条线段的长. 新知探究 思考：如图，是圆的直径，点是上一点， 过点作垂直于的弦，连接 半径，则 与大小关系怎么样？ 当且仅当点与圆心重合时取等. 几何意义： 半径不小于半弦长 新知探究 思考：你能用前面所学的知识尝试证明吗？ （分析法/逆推法） 要证 ，① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立. 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了. 新知探究 证明： （作差法） ， ,当且仅当时取得等号 思考：你能用前面所学的知识尝试证明吗？ 新知探究 基本不等式：对，，都有 当且仅当时，等号成立. 几何平均数 算术平均数 两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数 练习巩固 例1：设为正数，证明下列不等式成立： （1）＋ ≥； （2） 证明：（1）因为 为正数，所以 ， 也为正数. 由基本不等式，得 ＋ ≥2 ＝2， 当且仅当 ＝ ，即 时，取得等号. 所以原不等式成立. 练习巩固 例1：设为正数，证明下列不等式成立： （1）＋ ≥； （2） 证明：（2）因为 为正数，所以 ， 也为正数.由基本不等式，得 所以 ， 当且仅当 时，即时，取得等号. 因此，原不等式成立. 练习巩固 变式1-1：已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 证明： 当且仅当时，上式等号成立. 于是，当时，和有最小值. (2)当和等于定值时，∴ 当且仅当上式等号成立. 于是，当时，积有最大值 积定和最小 和定积最大 练习巩固 辨析1：已知求的最小值. 解：∵∴ ∴ 当且仅当即时，等号成立， 因此所求的最小值为2. 一正 二定 三相等 下结论 思考：想一想，当时，成立吗？ 这时能说是的最小值吗？ 练习巩固 例2：设 ，求的最小值. 解：因为，所以 . 由基本不等式，得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立. 因此，当 时，的最小值为. 练习巩固 例3：用长为 的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大? 解：设矩形长为，则宽为 ，面积为，. 由基本不等式，得 ≤＝. 上式当且仅当 ，即 时，等号成立. 由此可知，当时，取得最大值 . 答 ：将铁丝围成正方形时面积最大，最大面积为. 练习巩固 变式2：(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 篱笆的长度为 (1)由已知得 由，可得 ∴ 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短， 最短篱笆的长度为 练习巩固 变式2：(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：(2)由已知得矩形菜园的面积为 由 可得 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是. 练习巩固 例4：某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为 . 如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价为多少元? 解：设总造价为 元 (，池底的一边长为 ()， 则另一边长为，即 . 由题中条件可得 由题意知 ，及 (当且仅当 时，等号成立)， 所以 ，且时，取得等号. 练习巩固 变式3：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元. 根据题意，有 由容积为,可得 ∴ 当时，上式等号成立，此时 所以，将贮水池池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 练习巩固 练习1：已知，求的最小值 解：∵ ∴ 当且仅当，即时，“=”成立. ∴的最小值为4. 练习巩固 变式1-1：已知，求的最小值 解：∵，∴ ∴ 当且仅当，即时，“=”成立. ∴的最小值为0. 练习巩固 变式1-2：已知，求的最大值 解：∵，∴0. ∴ 当且仅当得或(舍去)，即等号成立. ∴的最大值为. 练习巩固 变式1-3：已知，求的最大值. 解：∵，∴0，0. ∴ 当且仅当得或(舍去)，即时等号成立. ∴的最大值为. 练习巩固 练习2：已知,求的最大值. 解：∵∴ ∴ 当且仅当即时，等号成立， 因此所求的最小值为. 一正 二定 三相等 下结论 练习巩固 变式2-1：已知，求的最大值. 解：∵， ∴， ∴ 当且仅当，即时，“”成立. ∴的最大值为. 练习巩固 练习3：已知，且求的最小值. 解：∵，且 ∴ 当且仅当即时，等号成立. ∴的最小值为. 练习巩固 变式3-1：已知，且求的最小值. 解：∵，且 ∴ ∴ 当且仅当即时，等号成立. ∴的最小值为. 小结 基本不等式：对，，都有 当且仅当时，等号成立. 一正二定三相等 积定和最小 和定积最大 $$