2.2.1 不等式及其性质（讲义，7大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第一册）

2.2.1 不等式及其性质 1、会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系； 2、会用比较法比较两实数的大小； 3、掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 知识点1 不等式的概念 1、不等式的定义 用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． 2、文字语言与数学符号间的常见转换 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 知识点2 实数大小比较的依据 1、实数的特征 （1）任何实数的平方都不小于0； （2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的数一定是实数． 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 知识点3 不等式的性质 1、不等式的性质 性质1：如果，那么（可加性） 性质2：如果，，那么（可乘性） 性质3：如果，，那么（可乘性） 性质4：如果，，那么（传递性） 性质5：，（对称性） 2、不等式性质的推论 推论1：如果，则（不等式的移项法则） 推论2：如果，，那么（同向可加性） 推论3：如果，，那么（同向同正可乘性） 推论4：如果，那么（可乘方性） 推论5：如果，那么（可开方性） 【注意事项】 （1）推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号，从不等式的一边移到另一边； （2）推论2表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向； （3）推论3表明，个两百年都是正数的同向不等式分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向． 3、不等式性质的拓展——倒数法则 （1）如果，，那么；． （2）如果，则． （3）如果，则． 【常用方法技巧】 1、比较大小的方法 （1）作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． （2）介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． （3）平方法：对两式先平方，再比较大小． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意应用函数的有关性质． 2、利用不等式的性质求取值范围的一般思路 （1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解． 拓展：已知两个关于线性关系的取值范围，求另一个关于线性关系的取值范围． 根据条件，确定的取值范围，一般采用待定系数法求解，即令，然后通过比较系数建立方程组求得的值． 3、不等式的证明方法 （1）作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小； （2）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法 （3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立； （4）分析法：从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需的条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立． 题型一 用不等式（组）表示不等式关系 【例1】（22-23高一上·西藏林芝·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高一上·黑龙江双鸭山·期中）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·浙江台州·月考）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母的不等式表示出来（    ） A． B． C． D． 题型二 作差法比较大小 【例2】（23-24高一上·浙江·期中）设，，则有（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【变式2-2】（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知，且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式2-3】（23-24高一上·陕西榆林·月考）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 题型三 作商法比较大小 【例3】（23-24高一上·北京·月考）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【变式3-1】（23-24高一上·上海·期中）如果，，那么，，从小到大的顺序是 【变式3-2】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知，，试比较与的大小； 【变式3-3】（23-24高三上·山西晋中·月考）已知，试比较与的大小. 题型四 利用不等式的性质判断命题 【例4】（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·河南安阳·月考）设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·宁夏固原·月考）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·吉林延边·期末）（多选）已知实数，则下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型五 利用不等式的性质求取值范围 【例5】（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·河北张家口·期中）若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·四川成都·月考）（多选）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【变式5-3】（23-24高一上·贵州·月考）（多选）已知，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六 利用不等式的性质证明不等式 【例6】（22-23高一上·陕西榆林·月考）若，，求证：. 【变式6-1】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【变式6-2】（22-23高一上·河南·月考）（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 【变式6-3】（22-23高一上·内蒙古呼和浩特·期中）证明不等式． (1)，bd＞0，求证：； (2)已知a＞b＞c＞0，求证：． 题型七 糖水不等式及其应用 【例7】（23-24高一上·广东广州·期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23高一上·湖南邵阳·月考）（多选）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：，称之为“糖水不等式”，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与大小关系不随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式7-2】（22-23高一上·江苏苏州·月考）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 【变式7-3】（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1 不等式及其性质 1、会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系； 2、会用比较法比较两实数的大小； 3、掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 知识点1 不等式的概念 1、不等式的定义 用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． 2、文字语言与数学符号间的常见转换 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 知识点2 实数大小比较的依据 1、实数的特征 （1）任何实数的平方都不小于0； （2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的数一定是实数． 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 知识点3 不等式的性质 1、不等式的性质 性质1：如果，那么（可加性） 性质2：如果，，那么（可乘性） 性质3：如果，，那么（可乘性） 性质4：如果，，那么（传递性） 性质5：，（对称性） 2、不等式性质的推论 推论1：如果，则（不等式的移项法则） 推论2：如果，，那么（同向可加性） 推论3：如果，，那么（同向同正可乘性） 推论4：如果，那么（可乘方性） 推论5：如果，那么（可开方性） 【注意事项】 （1）推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号，从不等式的一边移到另一边； （2）推论2表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向； （3）推论3表明，个两百年都是正数的同向不等式分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向． 3、不等式性质的拓展——倒数法则 （1）如果，，那么；． （2）如果，则． （3）如果，则． 【常用方法技巧】 1、比较大小的方法 （1）作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． （2）介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． （3）平方法：对两式先平方，再比较大小． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意应用函数的有关性质． 2、利用不等式的性质求取值范围的一般思路 （1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解． 拓展：已知两个关于线性关系的取值范围，求另一个关于线性关系的取值范围． 根据条件，确定的取值范围，一般采用待定系数法求解，即令，然后通过比较系数建立方程组求得的值． 3、不等式的证明方法 （1）作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小； （2）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法 （3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立； （4）分析法：从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需的条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立． 题型一 用不等式（组）表示不等式关系 【例1】（22-23高一上·西藏林芝·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【答案】B 【解析】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为，A错误； 对于B，变量y不超过a可表示为，B正确； 对于C，变量x至少为a可表示为，C错误； 对于D，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，D错误.故选：B. 【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，故选：D． 【变式1-2】（22-23高一上·黑龙江双鸭山·期中）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，请工人满足的关系式是，即，故选：D 【变式1-3】（23-24高一上·浙江台州·月考）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母的不等式表示出来（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积． 图（2）是一个矩形，面积． 可得：．故选：A 题型二 作差法比较大小 【例2】（23-24高一上·浙江·期中）设，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故，故选：C. 【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【解析】由，且，即， 可得，即，故选：A. 【变式2-2】（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知，且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】已知，且，，则， 所以， 因此，.故选：A. 【变式2-3】（23-24高一上·陕西榆林·月考）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， . （2）， ，， 则，. 题型三 作商法比较大小 【例3】（23-24高一上·北京·月考）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【解析】∵，即. 又，. 故答案为：>. 【变式3-1】（23-24高一上·上海·期中）如果，，那么，，从小到大的顺序是 【答案】 【解析】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以； 同理，所以。 综上： 【变式3-2】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知，，试比较与的大小； 【答案】（当且仅当时取等号） 【解析】由题意，由立方和公式， 可得分子， 将其代入原式得， 进一步对其分子利用基本不等式可得，且等号成立当且仅当， 将其代入原式得， 综上所述（当且仅当时取等号）. 【变式3-3】（23-24高三上·山西晋中·月考）已知，试比较与的大小. 【答案】 【解析】， ，. 两数作商， . 题型四 利用不等式的性质判断命题 【例4】（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误.故选：C. 【变式4-1】（23-24高一上·河南安阳·月考）设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，当时，，A错误； B选项，， 因为，所以，则， 故，，B错误； C选项，两边同乘以得， 两边同乘以得，故，C正确； D选项，因为，所以， 两边同除以得，D错误.故选：C 【变式4-2】（23-24高一上·宁夏固原·月考）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】依题意，，， A选项，，所以，所以A选项正确. B选项，由两边乘以得，所以B选项正确. C选项，由于，所以，所以C选项错误. D选项，，所以D选项正确.故选：ABD 【变式4-3】（23-24高一上·吉林延边·期末）（多选）已知实数，则下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，故，则，故B正确； 对于C，若则， 所以，故C错误； 对于D，因为，取， 则，，此时，故D错误.故选：ACD. 题型五 利用不等式的性质求取值范围 【例5】（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 因为，所以，则.故选：D 【变式5-1】（23-24高一上·河北张家口·期中）若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 又，，所以 所以，故，故选：C 【变式5-2】（23-24高一上·四川成都·月考）（多选）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ABC 【解析】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对； 由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对； 设，则，解得， 所以，， 因为，由不等式的可加性可得，C对D错.故选：ABC. 【变式5-3】（23-24高一上·贵州·月考）（多选）已知，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，即，，，正确， 对于B，，即，，正确， 对于C，，即，，，错误， 对于D，，，又即，， ，，正确.故选：ABD. 题型六 利用不等式的性质证明不等式 【例6】（22-23高一上·陕西榆林·月考）若，，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】因为，则， 又因为，则， 可得，则， 且，所以． 【变式6-1】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 【变式6-2】（22-23高一上·河南·月考）（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】证明：（1）由，且， 所以，且 所以，所以， 即；所以，即． （2）要证， 只需证， 即证； 即证， 即证；即证，显然成立； 所以． 【变式6-3】（22-23高一上·内蒙古呼和浩特·期中）证明不等式． (1)，bd＞0，求证：； (2)已知a＞b＞c＞0，求证：． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】（1）证明：， 因为，，所以，， 又bd＞0，所以，，即. （2）证明：因为a＞b＞c＞0， 所以有，，， 则，即有成立； 因为，所以， 又，所以成立. 所以有. 题型七 糖水不等式及其应用 【例7】（23-24高一上·广东广州·期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即.故选：B. 【变式7-1】（22-23高一上·湖南邵阳·月考）（多选）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：，称之为“糖水不等式”，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与大小关系不随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【解析】对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A正确； 对于B，，因为，， 所以，故，即，故B错误； 对于C，若，则， 根据“糖水不等式”， ，即，故C正确； 对于D，若，则， 所以， 所以，即，故D正确.故选：ACD 【变式7-2】（22-23高一上·江苏苏州·月考）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 【答案】(1)；证明见解析；(2)证明见解析； 【解析】（1）由题可得，； 证明：因为，，， 所以，，，从而，即 （2）由三角形三边关系，可得，而函数，为单调递增函数， ， ，， 故，所以 【变式7-3】（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【答案】(1)(其中a，b，m为正实数，且)（答案形式不唯一） (2) (其中)（答案形式不唯一） 【解析】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖， 即证明不等式 (其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立． 不妨用作差比较法，证明如下：＝. ∵，，为正实数，且，， ∴，即. （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克， 糖水浓度为，且，求证： (其中). 证明：，且，， ，即， ，即， ，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$