第4章 拓展课3 动态平衡、临界和极值问题（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理必修第一册（鲁科版2019）

拓展课三　动态平衡、临界和极值问题 核心素养 物理观念 科学思维 1.学会用解析法和图解法分析解决动态平衡问题．　 2．掌握解决临界问题和极值问题的方法． 体会数学知识在物体受力平衡问题中的应用． 探究点一　动态平衡　(科学思维之提升) ►要点归纳 1．动态平衡的定义 动态平衡是指物体在共点力的作用下保持匀速直线运动状态，或者通过控制某些物理量，使物体的运动状态缓慢地发生变化，而这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态． 2．平衡条件 物体所受共点力的合力为零． 3．解题思路 把“动”化为“静”，从“静”中求“动”． 4．基本方法：图解法、解析法和相似三角形法． (1)解析法： ①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式． ②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况． (2)图解法 ①适用情况：物体受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化． ②一般步骤：A．对物体进行受力分析，根据力的平行四边形定则将三个力的大小、方向放在同一个三角形中．B．依据题中的变化条件作出相应力的变化示意图，从而判断变力的情况．C．当大小、方向都可变的分力(设为F1)与方向不变、大小可变的分力垂直时，F1有最小值． (3)相似三角形法：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其他两个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题． ►对点例练 如图1所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设墙面对球的压力大小为FN1，木板对小球的支持力大小为FN2.以木板与墙连接点为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置．不计摩擦，在此过程中(　　) A．FN1始终减小，FN2始终增大 B．FN1始终减小，FN2始终减小 C．FN1先增大后减小，FN2始终减小 D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大 B　解析：解法一　解析法 对小球进行受力分析，如图甲所示，小球受重力G、墙面对小球的压力FN1、木板对小球的支持力FN2而处于平衡状态．从图中可以看出，FN1＝，FN2＝，从图示位置开始缓慢地转到水平位置过程中，θ逐渐增大，tan θ逐渐增大，sin θ逐渐增大，故FN1、FN2始终减小．选项B正确． 解法二　图解法 小球受重力G、墙面对球的压力FN1、木板对小球的支持力FN2而处于平衡状态．由平衡条件知FN1、FN2的合力与G等大反向，θ增大时，画出多个平行四边形，如图乙，由图可知在θ增大的过程中，FN1始终减小，FN2始终减小．选项B正确． [训练1] 质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点．凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块．用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是(　　) A．推力F先增大后减小 B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C．墙面对凹槽的压力先增大后减小 D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 C　解析：AB．对滑块受力分析，由平衡条件有 F＝mg sin θ N＝mg cos θ 滑块从A缓慢移动B点时，θ越来越大，则推力F越来越大，支持力N越来越小，所以A、B错误； C．对凹槽与滑块整体分析，有墙面对凹槽的压力为 FN＝F cos θ＝mg sin θcos θ＝mg sin (2θ) 则θ越来越大时，墙面对凹槽的压力先增大后减小，所以C正确；D．水平地面对凹槽的支持力为 N地＝(M＋m)g－F sin θ＝(M＋m)g－mg sin2θ 则θ越来越大时，水平地面对凹槽的支持力越来越小，所以D错误；故选C． 探究点二　临界问题和极值问题　(科学思维之提升) ►要点归纳 1．临界问题 当某物理量发生变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，这类问题的描述中经常出现“刚好”“恰好”等词语．处理这类问题的最有效方法是假设推理法，也就是先假设，再根据平衡条件及有关知识列平衡方程，最后求解． 2．极值问题 也就是指平衡问题中，力在变化过程中的最大值和最小值问题． 3．解决极值问题和临界问题的方法 (1)极限法 首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依次做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论． (2)数学分析法 通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)，但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论和说明． (3)物理分析方法 根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，利用图解法或解析法进行分析确定最大值与最小值． ►对点例练 (2021·河北邯郸高一期末)擦黑板是同学们的日常活动，某学校教室内黑板面为竖直平面，所用板擦的质量为m，板擦与黑板间的动摩擦因数为μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g. (1)若使板擦能静止贴在黑板面上，则需对板擦施加垂直板面的压力至少为多大？ (2)如图所示，现某同学对板擦施加斜向上且与竖直方向成37°角的推力F′，使板擦静止在黑板面上，求力F′的大小应满足什么条件？(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 答案：(1)2mg；(2)mg≤F′≤2mg 解析：(1)板擦恰好不下滑时满足μFN＝mg 解得FN＝＝2mg (2)当板擦恰好不下滑时，受力如图所示： 水平方向上F′sin 37°＝FN 竖直方向上mg＝F′cos 37°＋f 又因为f＝μFN 可得F′＝mg 当板擦恰好不上滑时，受力如图所示： 水平方向上F′sin 37°＝FN 竖直方向上mg＋f＝F′cos 37° 又因为f＝μFN 可得F′＝2mg 综上可知，使板擦静止在黑板面时F的大小满足mg≤F′≤2mg [训练2] (2021·河南高一期末)如图所示，某同学通过三段轻绳提起一质量为m1＝1 kg的物体A，三段轻绳的结点为O，轻绳OQ水平且Q端与放在水平桌面上一质量为m2＝4 kg的物体B相连，轻绳OP与竖直方向的夹角θ＝37°，该同学和物体A、B均处于静止状态，(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，物体B与水平桌面之间的动摩擦因数μ＝0.3，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力).求： (1)求轻绳OP受到的拉力大小和物体B受到的摩擦力大小； (2)欲使物体B在水平桌面上不滑动，物体A的质量mA最大不能超过多少． 答案：(1)12.5 N，7.5 N；(2)1.6 kg 解析：(1)以结点O为研究对象进行受力分析如图所示 由平衡条件，竖直方向 FOPcos θ－m1g＝0 解得FOP＝12.5 N. 水平方向FOPsin θ－FOQ＝0 解得FOQ＝7.5 N，物体B水平方向受到OQ绳的拉力F′OQ和水平桌面的静摩擦力Ff作用，且F′OQ＝FOQ，由平衡条件得物体B受到的摩擦力大小Ff＝F′OQ＝7.5 N (2)当物体B刚要滑动时静摩擦力达到最大值Ffmax，由题意，最大静摩擦力等于滑动摩擦力Ffmax＝μm2g 又FOQmax＝Ffmax FOQmax＝mAmaxg tan θ 解得mAmax＝1.6 kg. 探究点三　解决实际问题　(科学态度与责任) [训练3] (体育情境)体操运动员在进行自由体操比赛时，有如图所示的比赛动作：运动员两手臂对称支撑在水平地面上，竖直倒立并保持静止．若运动员两手间距离增大，地面对每只手臂的作用力FT及地面对运动员的合力F的大小变化情况为(　　) A．FT增大，F不变 B．FT增大，F减小 C．FT减小，F不变 D．FT减小，F增大 A　解析：以运动员为研究对象，运动员受到重力G、地面对每只手臂的作用力FT，根据平行四边形法则将地面对每只手臂的作用力FT进行合成，如图所示； 由于地面对每只手臂的作用力FT的合力与运动员重力大小相等方向相反，故夹角增大时合力F不变； 竖直方向根据平衡条件可得 2FTcos θ＝G 解得FT＝ 其中θ为每只手臂与竖直方向的夹角，手臂间距增大时，FT与竖直方向的夹角θ增大，则FT增大，故A正确，B、C、D错误．故选A． [训练4] (生活情境)(2021·浙江温州高二期末)如图甲所示为自动炒菜机，其电动铲子可以推动炒菜也可以翻动炒菜．将其炒菜原理简化为如图乙所示模型，内壁光滑的半球形容器开口向上固定在水平面上，一个大小可忽略的小球放在容器的底部，竖直光滑挡板与其接触，挡板的上端刚好与圆心O重合，若将挡板缓慢水平向右推，在推动过程中挡板始终保持竖直使小球到达容器口的P点，挡板对小球的作用力大小为F1，内壁对小球的弹力为N1；若让挡板绕O点缓慢转动，也使小球运动到P点，挡板对小球的作用力大小为F2，内壁对小球的弹力为N2；则在运动过程中，下列判断不正确的是(　　) A．F1不断增大 B．N1不断减小 C．F2不断增大 D．N2不断减小 B　解析：对小球受力分析，构建力的矢量三角形，当挡板保持竖直推小球时，如图所示 由平衡条件可得F1＝mg tan α N1＝ 随着α的增大，F1、N1均增大； 当挡板转动推小球时，如图所示 由平衡条件可得 F2＝mg sin α N2＝mg cos α 随着α的增大，F2增大、N2减小，A、C、D正确，不符合题意，B错误，符合题意．故选B． A组 学业基础练 1．(2021·安徽高三期末)倾角为30°的斜面固定在水平面上，一物块在与斜面成30°角的拉力F作用下恰好在斜面上不上滑．已知物块的质量m＝1 kg，与斜面间动摩擦因数μ＝，g＝10 m/s2.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则F的大小为(　　) A． N　　　　　　B．3 N C．5 N D．7 N C　解析：物块受力分析如图，沿斜面方向和垂直斜面方向建立平面直角坐标系，正交分解拉力F、重力mg Fcos 30°－mgsin 30°－Ff＝0 Fsin 30°＋FN－mgcos 30°＝0 Ff＝μFN 代入数值解得F＝5 N 故选C． 2．(2021·邵东市第一中学高二期中)如图所示，一名登山爱好者正在沿着崖壁(可视为竖直)缓缓下降，下降过程中可以把人近似看作一根直杆，人的腿部保持与崖壁成60°夹角．绳的一端固定在较高处，另一端拴在人的腰间(重心处)，某时刻绳与竖直方向的夹角为45°.则在人下降到绳与竖直方向的夹角为15°的过程中(　　) A．人的脚与崖壁的摩擦力逐渐增大 B．人的脚与崖壁的弹力在逐渐增大 C．绳子对人的拉力逐渐增大 D．绳子承受的拉力先减小后增大 D　解析：登山爱好者缓缓下降，受力平衡，受力如图所示 T是绳的拉力，F是崖壁对腿的作用力，由图可以看出，F 逐渐减少，T先减少后增大；崖壁对人的弹力和摩擦力为N＝Fsin 60°，f＝Fcos 60°，崖壁对人的弹力和摩擦力也减少，故A、B、C错误，D正确．故选D． 3．(2021·天津高一期末)在一次学校的升旗仪式中，小明观察到拴在国旗上端和下端各有一根绳子，随着国旗的徐徐升起，上端的绳子与旗杆的夹角在变大，下端的绳子几乎是松弛的，如图所示．设风力水平，两绳重力忽略不计，由此可判断在国旗升起的过程中(　　) A．上端的绳子的拉力先减小后增大 B．上端的绳子的拉力在逐渐增大 C．风力恒定不变 D．风力在先减小后增大 B　解析：由题知下端的绳子几乎是松弛的，则该段绳子没有拉力，将国旗看做质点对其做受力分析有 随着国旗的徐徐升起，上端的绳子与旗杆的夹角在变大，根据图解法有 由上图可看出随着上端的绳子与旗杆的夹角在变大，风力F风也逐渐增大、上端绳子的拉力FT也逐渐增大．故选B． B组 等级提升练 4．如图所示，足够长的直轨道AO和OB底端平滑对接，将它们固定在同一竖直平面内，两轨道与水平面间的夹角分别为α和β.可视为质点的滑块在水平外力F的作用下静止在AO上．已知AO光滑，滑块与OB间的动摩擦因数为μ，滑块的质量为m，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力． (1)求水平外力F的大小； (2)撤去外力F，若要使滑块能停在OB上，求μ和β应满足的关系． 答案：(1)F＝mg tan α；(2)μ≥tan β 解析：(1)滑块静止在AO上时，对其进行受力分析如图所示： tan α＝ 得F＝mg tan α (2)滑块恰好静止在OB上时，对其受力分析如图： mg sin β＝Ff Ff＝μFN FN＝mg cos β 得μ＝tan β 则θ与μ需满足的关系为μ≥tan β 学科网（北京）股份有限公司 $$