课时梯级训练(12) 圆周运动中的多解问题和临界问题（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理必修第二册（人教版2019）

课时梯级训练(12)　圆周运动中的多解问题和临界问题 1．如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为(　　) A． B．2 C． D． C　解析：小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，C正确。 2．如图所示，一汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h。已知水面能对汽艇提供的径向阻力最大为重力的20%，重力加速度g取10 m/s2，若要使汽艇安全转弯，则最小转弯半径为(　　) A．50 m B．100 m C．150 m D．200 m A　解析：汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h，就是10 m/s，径向阻力最大为重力的20%，则f＝0.2mg，根据圆周运动公式，径向阻力提供向心力，即f＝，代入数据解得最小转弯半径R＝＝ m＝50 m，A正确。 3．(多选)(2023·河南南阳高一检测)如图所示，半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转动，质量相同的小物块A、B随容器转动且相对器壁静止，A、B和球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α和β，α>β，α＝60°，此时物块A受到的摩擦力恰好为零，重力加速度为g，则(　　) A．转台转动的角速度大小为 B．B受到的摩擦力可能为零 C．B受到沿容器壁向上的摩擦力 D．若ω增大，在B滑动之前，B受到的摩擦力增大 AD　解析：对物块A受力分析，因为此时物块A受到的摩擦力恰好为零，则有mg tan 60°＝mω2R sin 60°，解得ω＝＝，A正确；同理可求当B所受到的摩擦力为0时，ωB＝<ω＝，所以A受到的静摩擦力为零时，B有沿容器壁向上滑动的趋势，即B受到沿容器壁向下的摩擦力，B、C错误；B所受摩擦力沿容器壁向下，若ω增大，则所需的向心力变大，B受到的摩擦力一定增大，D正确。 4．(多选)如图所示，金属环M、N用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，当整个装置以竖直杆为轴以不同大小的角速度匀速转动时，两金属环一直相对杆不动，下列判断正确的是(　　) A．转动的角速度越大，细线中的拉力越大 B．转动的角速度越大，环M与水平杆之间的弹力不变 C．转动的角速度越大，环N与竖直杆之间的弹力不变 D．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的摩擦力大小可能相等 BCD　解析：对N受力分析，知绳子的拉力在竖直方向的分力恒等于重力，即F cos θ＝mNg，所以只要角度不变，绳子的拉力不变，环N与竖直杆之间的弹力FN＝F sin θ不变，A错误，C正确；对M受力分析知竖直方向FN′＝F cos θ＋mg＝mNg＋mg，与角速度无关，B正确；当转动的角速度较小时，绳子的拉力可提供向心力，此时的摩擦力方向水平向右；当转动的角速度较大时，绳子的拉力不足以提供向心力，此时的摩擦力方向水平向左，两种情况摩擦力大小可能相等，D正确。 5．一个圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M和m(M>m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L(L<R)的轻绳连在一起，两物体均看作质点，重力加速度为g。如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，则圆盘旋转的角速度最大为(　　) A． B． C． D． D　解析：以最大角速度转动时，以甲为研究对象，有FT＝μMg，以乙为研究对象，有FT＋μmg＝mLω2，联立解得ω＝，D正确。 6．(多选)如图所示，圆弧半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置在水平地面上，两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内(小球直径略小于半圆管横截面直径)，A通过最高点C时，对管壁上部压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁上下部均无压力，则关于小球A通过最高点C时的速度vA及A、B两球落地点间的距离x，下列选项正确的是(重力加速度大小为g) (　　) A．x＝R B．x＝2R C．vA＝ D．vA＝2 BD　解析：在最高点，对A球有3mg＋mg＝m，解得vA＝2，C错误，D正确；对B球有mg＝m，解得vB＝，离开圆管后两球均做平抛运动，由平抛运动规律可得落地时A、B的水平分位移分别为xA＝vAt＝vA＝4R，xB＝vBt＝vB＝2R，则x＝xA－xB＝2R，A错误，B正确。 7．(2023·全国甲卷)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：由题可知，F∝rn，T∝，设F＝k1rn，T＝，由向心力公式有F＝m()2r，联立解得n＝3，C正确。 8．(多选)(2024·河南安阳高一检测)光滑圆环竖直放置，可绕竖直直径OO′在水平面内转动，轻绳的一端固定在圆环的顶端，另一端拴住套在圆环上的质量为m的小球A(可视为质点)，且小球恰好与圆环的圆心等高，现使圆环绕OO′转动的角速度ω由零逐渐增加到某一数值，则轻绳的拉力及圆环对小球的弹力变化情况为(　　) A．轻绳的拉力一直增大 B．轻绳的拉力大小不变 C．圆环对小球的弹力可能先增加后减小 D．圆环对小球的弹力可能先减小后增加 BD　解析：当圆环静止时，小球在轻绳拉力T、重力mg和圆环支持力N的作用下保持平衡，在圆环绕OO′转动的角速度ω由零逐渐增加到某一数值ω0的过程中，由于小球在竖直方向受力始终平衡，且T与竖直方向夹角不可能变化，所以T大小不变，在水平方向上，取指向圆心为正方向，根据牛顿第二定律有T cos 45°＋N＝mω2R，若ω0较小，使得小球所需向心力小于T cos 45°，则角速度从0逐渐增大到ω0的过程中，N减小；若ω0较大，使得小球所需向心力大于T cos 45°，则角速度从0逐渐增大到ω0的过程中，N先减小后增大，综上所述可知A、C错误，B、D正确。 9．如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2。求： (1)小球刚好通过最高点时的速度大小； (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小； (3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球速度大小的最大值。 答案：(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s 解析：(1)小球刚好通过最高点时，重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得v1＝＝2 m/s。 (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N。 (3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得FT′－mg＝，将FT′＝45 N代入解得v3＝4 m/s，即小球的速度不能超过4 m/s。 10．如图所示，小球Q在竖直平面内逆时针做匀速圆周运动，当Q球转到与O在同一水平线上时，有另一小球P从距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，重力加速度为g。求： (1)Q球转动的角速度ω； (2)Q球做匀速圆周运动的周期及其最大值。 答案：(1)2π(n＝0，1，2，3，…) (2)(n＝0，1，2，3，…)　4 解析：(1)小球P做自由落体运动，有h＝gt2 解得t＝ Q球运动到最高点的时间 t′＝＋nT(n＝0，1，2，3，…) 由于T＝，t＝t′ 解得ω＝2π(n＝0，1，2，3，…)。 (2)根据公式T＝ 解得T＝(n＝0，1，2，3，…) 当n取0时，周期最大，最大值Tmax＝4。 11．如图中给出了一段“S”形单行盘山公路的示意图。弯道1、弯道2可看作同一水平面上的圆弧，圆心分别为O1、O2，弯道中心线半径分别为r1＝10 m，r2＝20 m，有一直道与弯道1、弯道2两弯道圆弧相切。质量m＝1 200 kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的125%，行驶时要求汽车不打滑。(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2) (1)若汽车以一恒定的速率沿弯道中心、直道中心线(图中虚线所示)行驶，求通过盘山公路的最大速率v(可用根式表示)； (2)汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道。设路宽d＝10 m，求此最短时间(A、B两点都在轨道的中心线上，计算时视汽车为质点，保留2位有效数字)。 答案：(1)5 m/s　(2)1.8 s 解析：(1)由静摩擦力提供向心力kmg＝m 解得：v1＝＝5 m/s 由静摩擦力提供向心力kmg＝m 解得：v2＝＝5 m/s 比较v1、v2 大小，则通过盘山公路的最大速率v＝5 m/s。 (2)用时最短路线应为过A、B两点且与路内侧边相切的圆弧，如图所示 则有R2＝r＋ 解得R＝12.5 m 由kmg＝m可得vm＝＝12.5 m/s sin θ＝＝ 解得θ＝53° 线路长度s＝·2πR≈23.1 m 解得：tmin＝≈1.8 s。 学科网（北京）股份有限公司 $$