第6章 拓展课3 水平、竖直面内的圆周运动（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理必修第二册（人教版2019）

拓展课3　水平、竖直面内的圆周运动 物理观念 科学思维 科学态度与责任 1.知道物体在水平方向做圆周运动的条件，结合实际问题分析临界点； 2．理解竖直方向圆周运动的两种模型，知道两种模型的临界点和条件。 1.根据所学的圆周运动的规律推导出临界条件； 2．通过实例分析建立运动模型。 通过生活、生产实例的分析，体会物理规律来源于生产生活而又服务于生产生活。 [对应学生用书P54] 探究点一 水平面内的圆周运动 1．绳模型 如图所示，绳子的一端系在光滑水平面上的O点，绳子另一端系一个小球，使小球在光滑桌面上做匀速圆周运动。 F＝ma＝m＝mω2r＝mr。 2．圆锥摆模型 物体受重力、斜向上的拉力(或其他力)在水平面内做匀速圆周运动。例如圆锥摆、圆锥筒内的小球、汽车(火车)在外高内低的弯道上无侧向摩擦力(弹力)转弯等，重力和斜向上的拉力(弹力)的合力提供向心力。 F合＝mg tan θ＝mω2r＝m＝man an＝g tan θ，an大小与θ有关。 【例1】 如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω匀速转动(均未发生相对滑动)。物体A、B、C的质量分别为3m、2m、m，物体B与转台间、物体C与转台间的动摩擦因数都为μ，物体A与物体B间的动摩擦因数也为μ，物体B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。以下说法正确的是(　　) A．物体B对物体A的摩擦力有可能为3μmg B．物体C与转台间的摩擦力大于物体A与物体B间的摩擦力 C．转台的角速度ω有可能恰好等于 D．若角速度ω缓慢增大，则物体A与物体B将最先发生相对滑动 C　解析：对物体A、B整体，有(3m＋2m)ω2r≤μ(3m＋2m)g，对物体C，有mω2(1.5r)≤μmg，对物体A，有3mω2r≤μ(3m)g，联立解得ω≤，即不发生相对滑动时，转台的角速度ω≤，可知物体A与物体B间的静摩擦力最大值Ffm＝3m·r·ω ＝2μmg，若角速度ω缓慢增大，则物体C将最先发生相对滑动，A、D错误，C正确；由于物体A与物体C转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力，有m·1.5rω2<3mrω2，即物体C与转台间的摩擦力小于物体A与物体B间的摩擦力，B错误。 [练1] 如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为m的小物体A、B；A、B间用细线沿半径方向相连，它们到转轴距离分别为RA＝20 cm，rB＝30 cm，A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4，求： (1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω0。 (2)当A开始滑动时，圆盘的角速度ω。 答案：(1)3.65 rad/s　(2)4 rad/s 解析：(1)研究物体B，绳子开始出现张力时，摩擦力达到最大。 kmg＝mωrB 可得：ω0≈3.65 rad/s (2)当A开始滑动时，物体A、B受力情况如图所示： 研究物体A可得：kmg－FT＝mω2rA 研究物体B可得：kmg＋FT＝mω2rB 联立可得：ω＝4 rad/s。 探究点二 竖直面内的圆周运动 1．绳模型(外管、无支撑、水流星模型) (1)受力特点：轻绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力，圆形轨道对小球只能产生垂直于轨道向内的弹力。 (2)临界问题 ①临界条件：小球在最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好为零，则：mg＝m ，解得： v0＝； ②v≥v0能过最高点； ③v＜v0不能过最高点，实际上小球在到达最高点之前就已经脱离了圆轨道。 2．杆模型(双管，有支撑) (1)受力条件：轻杆对小球既能产生拉力又能产生支持力，圆形管道对内部的小球能产生垂直于轨道向内和向外的弹力。 (2)临界问题： ①临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度v临＝0，此时 FN－mg＝0。 ②当0＜v＜时，轻杆或轨道内侧对小球有向上的支持力FN，其取值范围是 0＜FN＜mg。 ③当v＝时，重力刚好提供向心力，即mg＝m，轻杆或轨道对小球无作用力。 ④当v＞时，轻杆对小球施加向下的拉力F或轨道外侧对小球施加向下的弹力FN，且v越大F(或FN)越大。 3．两种模型对比 项目 “轻绳模型” “轻杆模型” 情景图示 弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 临界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg v＝的意义 物体能否过最高点的临界点 FN表现为拉力还是支持力的临界点 【例2】 (2024·山东青岛高一期中)如图所示，水流星是中国传统杂技的保留项目，是中华文化的重要传承。结实的绳子系着装有水的水桶，使水桶在竖直平面内做圆周运动，为了研究问题方便，可以把水桶当作质点，设桶内水的质量为0.5 kg，水桶做圆周运动的半径R＝0.4 m，重力加速度g取10 m/s2。 (1)若在最高点时水不流出，求此时水桶的最小速率； (2)若在最高点时水桶的速率为4 m/s，求此时水对桶底的压力； (3)若在最低点时桶底承受的压力为桶内水重力的6倍，求此时水桶的速率。 答案：(1)2 m/s　(2)15 N，方向竖直向上 (3)2 m/s 解析：(1)水跟着水桶一起做圆周运动，要让水不掉出水桶，则在最高点处有：mg≤m 解得：vmin＝＝2 m/s。 (2)设在最高点时桶底对水的压力为FN1，由牛顿第二定律有：mg＋FN1＝m，解得：FN1＝15 N，由牛顿第三定律知水对桶底的压力为15 N，方向竖直向上。 (3)在最低点时桶底承受的压力为桶内水重力的6倍，则桶底对水的支持力为桶内水的重力的6倍，桶底对水的支持力为FN2，由牛顿第二定律有：FN2－mg＝m，解得：v2＝2 m/s。 【例3】 (多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一个小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F-v2图像如图乙所示。则下列说法正确的是(　　) A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上 D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等 AD　解析：对小球在最高点进行受力分析，速度为零时F－mg＝0，结合题图可知a＝mg，当F＝0时，由牛顿第二定律可得mg＝，结合题图可知mg＝，联立解得g＝，m＝，A正确，B错误；由题图可知b<c，当v2＝c时，根据牛顿第二定律有F＋mg＝，则杆对小球有向下的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的弹力方向向上，C错误；当v2＝2b时，由牛顿第二定律可得F′＋mg＝，解得F′＝mg，D正确。 [练2] 如图所示，长为L＝0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球，g取10 m/s2。 (1)如果小球的速度为3 m/s，求在最低点时杆对小球的拉力为多大。 (2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 N，求杆旋转的角速度为多大。 答案：(1)56 N　(2)4 rad/s 解析：(1)小球在最低点受力如图甲所示： 合力等于向心力： FA－mg＝m 解得：FA＝56 N。 (2)小球在最高点受力如图乙所示：则： mg－FB＝mω2L 解得：ω＝4 rad/s。 [练3] (2024·浙江杭州高一期中)如图所示，甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)，把轨道车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R，下列说法正确的是(　　) A．图甲中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给游客向上的力 B．图乙中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给游客向上的力 C．图丙中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅给人的力一定小于重力 D．图丁中，若轨道车过最高点的速度大于，安全带一定给游客向上的力 B　解析：在题图甲中，当速度比较小时，根据牛顿第二定律得mg－N＝m，即座椅给游客施加向上的力，当速度比较大时，根据牛顿第二定律得mg＋F＝m，即座椅给游客施加向下的力，A错误；在题图乙中，因为合力指向圆心，重力竖直向下，所以安全带一定是给游客向上的力，B正确；在题图丙中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，合力方向向上，重力竖直向下，则座椅给游客的作用力一定竖直向上，N－mg＝m，座椅给游客的力一定大于重力，C错误；设竖直向下为正方向，根据牛顿第二定律mg＋N＝m，当v>时，N>0，可知安全带一定给游客向下的力，D错误。 探究点三 解决实际问题 [练4] (生活情境)(2024·广东江门高一检测)如图所示，餐桌上的水平玻璃转盘匀速转动时，其上方的物品相对于转盘静止，则以下说法正确的是(　　) A．越靠近圆心的物品线速度越大 B．越靠近圆心的物品加速度越小 C．越靠近圆心的物品角速度越小 D．越靠近圆心的物品摩擦力越小 B　解析：玻璃转盘相当于同轴转动，即角速度相等，由关系式v＝ωR可知，当角速度相同时，线速度与半径成正比，A、C错误；由关系式a＝ω2R可知，当角速度相同时，加速度与半径成正比，B正确；由f＝mω2R可知，当角速度相同时，摩擦力的大小与物品的质量以及半径有关，D错误。 [练5] (生活情境)(2024·黑龙江双鸭山高一检测)图甲所示的“太极球”是比较流行的健身器材。现将太极球拍和球简化成如图乙所示的平板和球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图中的四个位置时球与板间无相对运动趋势。A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高。设球的质量为m，不计球拍的质量和球与球拍间的摩擦。下列说法正确的是(　　) A．球运动到最高点A时的最小速度为零 B．球在C处对板的作用力比在A处对板的作用力大2mg C．增大球的运动速度，当球运动到B点时板与水平面的夹角θ变小 D．球运动到B点，θ＝45°时，板对球的作用力大小F＝2mg B　解析：当球恰好能做圆周运动时，在最高点A处有mg＝m，可得球的最小速度vmin＝，A错误；设球做匀速圆周运动的速度为v，根据牛顿第二定律可知在A处时有F＋mg＝m，在C处时有F′－mg＝m，得ΔF＝F′－F＝2mg，B正确；当球运动到B点时，受力分析如图所示，有FN＝mg tan θ＝m，增大球的运动速度，板与水平面的夹角θ应变大，C错误；球运动到B点，θ＝45°时，板对球的作用力大小F＝＝mg，D错误。 [练6] (生活情境)(2024·湖南长沙高一检测)杂技演员骑着摩托车沿着光滑的内璧进行“飞车走壁”表演，演员和摩托车的总质量为m，演员骑着摩托车(视为质点)在不同平面做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　) A．演员骑着摩托车经过C处的角速度大于D处的角速度 B．演员骑着摩托车经过C处的角速度小于D处的角速度 C．演员骑着摩托车经过C处受到的侧壁弹力小于D处受到的弹力 D．演员骑着摩托车经过C处受到的侧壁弹力等于D处受到的弹力 A　解析：演员骑着摩托车(视为质点)做匀速圆周运动，设圆的半径与竖直方向夹角为α，受力如图所示，根据牛顿第二定律有mg tan α＝mω′2R sin α，解得ω′＝，侧壁弹力为N′＝，半径和竖直方向的夹角α在C处大于D处，演员骑着摩托车经过C处的角速度大于D处的角速度，经过C处受到的侧壁弹力大于D处受到的弹力，A正确，B、C、D错误。 [对应学生用书P58] 1．(多选)在如图所示的水平转盘上，沿半径方向放着质量分别为m、2m的两物块A和B(均视为质点)，它们用不可伸长的轻质细线相连，与圆心的距离分别为2r、3r，A、B两物块与转盘之间的动摩擦因数分别为μ、，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。现缓慢加快转盘的转速，当两物块相对转盘将要发生滑动时，保持转盘的转速不变，下列说法正确的是(　　) A．此时转盘的角速度大小为 B．此时细线中的张力大小为2μmg C．此时烧断细线后的瞬间，B的加速度大小为μg D．此时烧断细线后的瞬间，A、B两物块的加速度大小相等 AB　解析：A、B两物体相比，根据向心力公式：F＝mrω2可知，B物体所需要的向心力较大，当转速增大时，B先有滑动的趋势，此时B所受的静摩擦力沿半径指向圆心，A所受的静摩擦力沿半径背离圆心；当刚要发生相对滑动时，以B为研究对象，有T＋·2mg＝2m·3r·ω2 ，以A为研究对象，有T－μmg＝m·2rω2 ，由以上两式得T＝2μmg，ω＝，A、B正确；此时烧断细线后的瞬间，A、B都相对圆盘滑动，由牛顿第二定律知二者加速度分别为aA＝＝μg，aB＝＝g，C、D错误。 2．如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的可视为质点的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动。在转动的过程中，忽略空气的阻力，重力加速度为g。若球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，则下列说法正确的是(　　) A．球B在最高点时速度为零 B．此时球A的速度也为零 C．球B转到最高点时，杆对水平轴的作用力为1.5mg D．球B转到最高点时，杆对水平轴的作用力为3mg C　解析：球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，mg＝m，解得v＝，A错误；球A、B的角速度相等，由v＝ωr，得vA＝，B错误；球B转到最高点时，对杆无作用力，对球A，由牛顿第二定律有FT－mg＝m，解得FT＝1.5mg，C正确，D错误。 3．如图所示，水平面上有一半球形碗，O1为球心，在半径为R的半球形碗口(位置1)处放一个可视为质点的小木块，木块与碗的动摩擦因数为μ。小木块随碗一起绕竖直轴O1O2匀速转动，碗转动角速度大小至少为 。若换一个光滑可视为质点的小木块放在位置2，小木块到圆心O1的竖直距离为h＝R，小木块仍随碗一起绕竖直轴O1O2匀速转动，则碗转动的角速度大小为 。(已知重力加速度为g) 答案：　 解析：小木块在位置1时，由牛顿第二定律可得FN＝mω2R， 小木块在竖直方向平衡，则有mg＝μFN， 解得角速度大小至少为ω＝， 小木块在位置2时，受重力和支持力，如图所示，对小木块，在竖直方向则有F cos θ＝mg， 由牛顿第二定律可得F sin θ＝mω′2R′， 其中R′＝＝＝R， 联立解得角速度大小为ω′＝。 4．(多选)小球质量为m，用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方处有一个钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬时，设线没有断裂，则下列说法正确的是(　　) A．小球的线速度突然增大到原来的2倍 B．小球的角速度突然增大到原来的2倍 C．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍 D．细线对小球的拉力突然增大到原来的2倍 BC　解析：当细线碰到钉子的瞬间，小球的线速度沿水平方向，此时水平方向外力为零，不存在加速度，线速度不会发生突变，A错误；根据ω＝可知，当细线碰到钉子的瞬时，r突然变为原来的，小球的角速度突然增大到原来的2倍，B正确；根据a＝可知，当细线碰到钉子的瞬时，r突然变为原来的，小球的加速度突然增大到原来的2倍，C正确；在最低点时，设细线对小球的拉力大小为F，根据牛顿第二定律得F－mg＝m，解得F＝mg＋m，当细线碰到钉子的瞬时，r突然变为原来的，F会突然增大，但不会达到原来的2倍，D错误。 5．一个光滑的半径为R的半圆形轨道放在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，然后小球从轨道口B处飞出，最后落在水平面上，已知小球落地点C距B处的距离为3R。则小球对轨道口B处的压力为多大？ 答案：mg 解析：设小球经过B点时的速度为v，小球平抛运动的水平位移x＝＝R， 竖直方向上2R＝gt2 故v＝＝＝ 在B点根据牛顿第二定律：F＋mg＝m 所以F＝mg，根据牛顿第三定律： 小球对轨道口B处的压力F′＝F＝mg。 学科网（北京）股份有限公司 $$