第4章 拓展课6 图像和临界、极值问题（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理必修第一册（人教版2019）

拓展课6　图像和临界、极值问题 [对应学生用书P126] 探究点一___图像问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．常见的图像形式 在动力学与运动学问题中，常见、常用的图像是位移图像(x-t图像)、速度图像(v-t图像)和力的图像(F-t图像)等，这些图像反映的是物体的运动规律、受力规律，而不是物体的运动轨迹。 2．解决图像问题的基本步骤 (1)看清坐标轴所表示的物理量，明确因变量(纵轴表示的量)与自变量(横轴表示的量)的制约关系； (2)看图线本身，识别两个相关量的变化趋势，从而分析具体的物理过程； (3)看交点，分清两个相关量的变化范围及给定的相关条件，明确图线与坐标轴的交点、图线的斜率、图线与坐标轴围成的“面积”的物理意义； (4)在看懂以上三个方面后，进一步弄清“图像与公式”“图像与图像”“图像与物体”之间的联系，以便对有关的物理问题作出准确的判断。 【例1】 (2023·北京东城高一检测)放在水平地面上的物块，受到方向不变的水平推力F的作用，F的大小与时间t的关系和物块速度v与时间t的关系如图甲、乙所示。取重力加速度g＝10 m/s2，由两图像可以求得物块的质量m和物块与地面之间的动摩擦因数μ分别为(　　) A．m＝0.5 kg，μ＝0.4 B．m＝1.5 kg，μ＝ C．m＝0.5 kg，μ＝0.2 D．m＝1 kg，μ＝0.2 A　解析：根据速度—时间图像可知，2～4 s内物块做匀加速直线运动，图像的斜率表示加速度，加速度为a＝2 m/s2，在2～4 s内F2＝3 N，此过程中物块在水平方向上受到推力以及摩擦力作用，根据牛顿第二定律可得F2－μmg＝ma，4～6 s内物块做匀速直线运动，即推力与摩擦力平衡，故有F3＝μmg，又因为F3＝2 N，联立解得m＝0.5 kg，μ＝0.4，A正确。 解决图像综合问题的关键 (1)把图像与具体的题意、情境结合起来，明确图像的物理意义，明确图像所反映的物理过程； (2)特别注意图像中的一些特殊点，如图线与横、纵坐标轴的交点，图线的转折点，两图线的交点等，弄清这些特殊点表示的物理意义。 [练1] 风洞实验可以模拟高空跳伞情况下人体所承受气流的状态。已知物体受到的空气阻力F与物体相对空气的速度v满足F＝CρSv2(S为物体迎风面积，C为风阻系数，ρ为空气密度)。图甲中风洞竖直向上匀速送风，一个质量为m的物体从A处由静止下落，一段时间后在B处打开降落伞，相对速度的平方v2与加速度大小a的关系图像如图乙所示，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．开伞前物体加速度向下，且越来越大 B．开伞后物体加速度向上，且越来越大 C．开伞前物体迎风面积为S1＝ D．开伞后物体迎风面积为S2＝ C　解析：物体从A处由静止下落，开伞前加速度向下，物体所受合力为F合＝mg－F，F＝CρSv2，F不断增大，加速度减小，图乙中右侧图线与此过程相符合，有mg－F＝ma1，解得S1＝，A错误，C正确；左侧图线为开伞后的图线，有F2＝CρS2v2，当v＝v1时，有mg＝F2＝CρS2v，解得S2＝，且当v减小时，a减小，B、D错误。 【例2】 如图甲所示，质量为m＝2 kg的物体在水平面上向右做直线运动。过A点时给物体一个水平向左的恒力F并开始计时，选水平向右为速度的正方向，通过速度传感器测出物体的瞬时速度，所得v-t图像如图乙所示。取重力加速度g＝10 m/s2。求： (1)力F的大小和物体与水平面间的动摩擦因数μ； (2)10 s内物体的位移； (3)物体再次回到A点时的速度大小。 答案：(1)3 N　0.05　(2)2 m，方向水平向左　 (3)4 m/s 解析：(1)设物体向右做匀减速直线运动的加速度大小为a1，向左做匀加速直线运动的加速度大小为a2，由v-t图像得 a1＝2 m/s2，a2＝1 m/s2 由牛顿第二定律有F＋μmg＝ma1，F－μmg＝ma2 联立解得F＝3 N，μ＝0.05。 (2)物体减速阶段即0～4 s内发生的位移大小 x1＝v0t1－a1t＝16 m，方向水平向右 物体从4～10 s内反向做加速运动，发生的位移大小 x2＝a2t＝18 m，方向水平向左 所以10 s内物体的位移x＝x2－x1＝2 m，方向向左。 (3)由运动学公式v2＝2a2x1，代入数据解得v＝4 m/s。 探究点二___临界、极值问题 1．对临界问题和极值问题的认识 (1)临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的问题。 (2)极值问题：在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的问题。 (3)在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。 2．常见临界条件 (1)接触与脱离的临界条件：两物体间的弹力FN＝0。 (2)相对静止与相对滑动的临界条件：两物体间的静摩擦力达到最大值。 (3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断裂的临界条件是张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。 (4)加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，加速度最大；合外力最小时，加速度最小。当出现加速度为零时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值。 3．处理临界问题的三种方法 【例3】 (多选)(2024·四川成都高一检测)如图所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端叠放着两个物体A、B，系统处于静止状态。现用大小为22 N的恒力竖直向上拉物体A。已知物体A的质量m＝2 kg，物体B的质量M＝10 kg，弹簧的劲度系数为80 N/m，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A．恒力作用瞬间，A、B即分离 B．物块A上升12.5 cm时，A、B开始分离 C．恒力作用瞬间，A的加速度大小为1 m/s2 D．物块A、B分离前，物块B最大加速度的大小为 m/s2 BD　解析：恒力作用瞬间，假设A、B没有分离，对A、B整体有F＝(M＋m)a1，解得a1＝ m/s2，对A分析有F＋N1－mg＝ma1，解得N1＝ N>0，可知假设成立，即恒力作用瞬间，A、B不会分离，此时两者的加速度均为 m/s2，A、C错误；没有施加恒力时，弹簧处于压缩状态，对A、B有kΔx1＝(M＋m)g，解得Δx1＝1.5 m，当A、B刚刚分离时，两者加速度相等，两者之间的弹力恰好为0，则对A分析有F－mg＝ma2，解得a2＝1 m/s2，对B分析有kΔx2－Mg＝Ma2，解得Δx2＝ m，可知A、B开始分离时，物块A上升的距离为Δx＝Δx1－Δx2，解得Δx＝12.5 cm，B正确；物块A、B分离前，对A、B分析有F＋kΔx－(M＋m)g＝(M＋m)a，分离前，弹簧的压缩量逐渐减小，可知加速度逐渐减小，则恒力开始作用的瞬间加速度最大，由上述分析可知该最大加速度的大小为 m/s2，D正确。 [练2] (2023·黑龙江牡丹江高一期末)如图所示，小车内沿竖直方向的一根轻质弹簧和一条与竖直方向成α角的细绳拴接一小球。当小车与小球相对静止，一起在水平面上运动时，下列说法正确的是(　　) A．细绳一定对小球有拉力 B．细绳不一定对小球有拉力，轻弹簧也不一定对小球有弹力 C．细绳不一定对小球有拉力，但是轻弹簧一定对小球有弹力 D．轻弹簧一定对小球有弹力 B　解析：当小车匀速运动时，弹簧弹力F＝mg，细绳拉力FT＝0；当小车向右匀加速运动时，若有FTsin α＝ma，FTcos α＝mg，即a＝g tan α，则FT≠0，而弹簧弹力F＝0，即弹簧弹力F、细绳拉力FT与小车的运动状态有关，B正确。 【例4】 如图所示，长木板放置在水平面上，一个小物块置于长木板的中央，长木板和物块的质量均为m，物块与长木板间的动摩擦因数为μ，长木板与水平面间的动摩擦因数为，已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g。现对物块施加一水平向右的拉力F，则长木板加速度a的大小可能是(　　) A．μg B．μg C．μg D．－μg D　解析：若物块和长木板之间不发生相对滑动，物块和长木板一起运动，对物块和长木板的整体，根据牛顿第二定律可得F－μ·2mg＝2ma，解得a＝－μg；若物块和长木板之间发生相对滑动，对长木板，水平方向受两个摩擦力的作用，根据牛顿第二定律，有μmg－μ·2mg＝ma，解得a＝μg，A、B、C错误，D正确。 探究点三___解决实际问题 [练3] (生活情境)如图所示，一夹子夹住木块，在力F作用下向上提升。夹子和木块的质量分别为m、M，夹子与木块两侧间的最大静摩擦力均为Ff。若木块不滑动，力F的最大值是(　　) A． B． C.－(m＋M)g D．＋(m＋M)g A　解析：当F达到最大值时，以夹子和木块整体为研究对象，竖直方向上由牛顿第二定律可得F－(m＋M)g＝(m＋M)a，再以木块为研究对象，F最大时木块刚好不滑动，静摩擦力为最大值，在竖直方向上由牛顿第二定律可得2Ff－Mg＝Ma，两式联立解得F＝，A正确。 [练4] (生活情境)如图所示，解放军战士在水平地面上拉着轮胎进行负荷训练，运动过程中保持绳子与水平面间的夹角恒为θ，轮胎质量为m，重力加速度为g。 (1)若地面对轮胎的阻力大小为f，当轮胎做匀速直线运动时，求绳中的拉力T； (2)若训练的过程中，为确保轮胎不飞离地面，求绳中拉力的最大值Tm； (3)若地面与轮胎间的动摩擦因数为μ，战士以(2)中的最大拉力由静止拉动轮胎，经过时间t后松开绳子，求轮胎停止运动前通过的总路程 s。 答案：(1)　(2)　(3)＋ 解析：(1)轮胎匀速运动，水平方向有T cos θ＝f，解得T＝。 (2)轮胎刚好不离开地面，竖直方向有Tmsin θ＝mg，解得Tm＝。 (3)以最大拉力拉动轮胎加速运动，设加速度为a1，则＝ma1 设经过时间t轮胎的速度为v，位移为x1，则v＝a1t＝，x1＝a1t2＝ 松开后轮胎做匀减速运动，设加速度大小为a2，位移为x2，则a2＝μg，x2＝＝ 总路程s＝x1＋x2＝＋。 [对应学生用书P129] 1.如图是幼儿感觉统合训练的一种器材——滑梯组合，可将其简化为置于粗糙水平面上的光滑斜面和粗糙平面组成的组合体，斜面和水平面平滑连接。幼儿在主教老师的引导下进行感统训练，若从滑梯上端沿斜面滑下再经过水平台后停下的整个过程中滑梯组合体始终未移动，则滑梯组合体对水平地面的静摩擦力Ff随时间t变化的关系图像可能是(　　) A　解析：设斜面倾角为θ，幼儿质量为m，组合体平面上表面的动摩擦因数为μ，在斜面上滑下时，幼儿对滑梯的压力为N1＝mg cos θ，组合体静止，由平衡关系可得组合体受到的静摩擦力为Ff1＝N1sin θ＝mg sin θcos θ，方向水平向右，根据牛顿第三定律可得，组合体对地面的静摩擦力水平向左，大小不变；幼儿在水平台上滑动时，幼儿受到的滑动摩擦力向左，大小为Ff2＝μmg，组合体静止，根据平衡关系可知地面对组合体的静摩擦力大小也等于μmg，根据牛顿第三定律可得组合体对地面的静摩擦力方向向右，所以组合体前后所受静摩擦力方向相反，大小均为定值，如果考虑大小和方向，A选项有可能，B、C、D不可能。 2．(多选)如图甲所示，物体原来静止在水平面上，用一水平力F拉物体，在F从0开始逐渐增大的过程中，物体先静止后又做变加速运动，其加速度随外力F变化的图像如图乙所示，根据图乙中所标出的数据可计算出(g取10 m/s2)(　　) A．物体的质量为1 kg B．物体的质量为2 kg C．物体与水平面间的动摩擦因数为0.3 D．物体与水平面间的动摩擦因数为0.5 BC　解析：由题图乙可知F1＝7 N时，a1＝0.5 m/s2，F2＝14 N时，a2＝4 m/s2，由牛顿第二定律得F1－μmg＝ma1，F2－μmg＝ma2，解得m＝2 kg，μ＝0.3，B、C正确。 3．(2024·河北石家庄第一中学高一期末)如图甲所示，足够长的木板B静置于光滑水平面上，其上放置小滑块A。滑块A受到随时间变化的水平拉力F作用时，用传感器测出滑块A的加速度a，得到如图乙所示的a-F图像，已知g取10 m/s2，则(　　) A．滑块A的质量为2 kg B．木板B的质量为6 kg C．当F＝12 N时，木板B的加速度为4 m/s2 D．滑块A与木板B之间的动摩擦因数为0.3 A　解析：设滑块A的质量m，木板B的质量为M，滑块A与木板B间的动摩擦因数为μ。由题图乙可知，当F＝Fm＝10 N时，滑块A与木板B达到最大共同加速度am＝1 m/s2，根据牛顿第二定律有Fm＝(M＋m)am，解得M＋m＝10 kg，当F>10 N时，A与B将发生相对滑动，对A单独应用牛顿第二定律有F－μmg＝ma，整理得a＝－μg，根据题图乙解得m＝2 kg，μ＝0.4，则M＝8 kg，A正确，B、D错误；当F＝12 N时，木板B的加速度为aB＝＝1 m/s2，C错误。 4.粗糙水平地面上有一个质量为m＝50 kg的物块，在F＝500 N的水平恒力作用下运动。物块与地面间的动摩擦因数μ恒定，物块受到的空气阻力与速度v成正比，比例系数为k。从某时刻开始计时，测得物块运动的v-t图像如图中的实线所示。图中虚线a是运动图像的渐近线，虚线b是运动图像在纵轴交点的切线，切线上一点A的坐标为(4，15)，g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．0～4 s内，物块做的是加速度逐渐减小的曲线运动 B．0时刻，物块的加速度大小为a＝3.75 m/s2 C．物块与地面间的动摩擦因数μ＝0.1 D．比例系数k＝25 N·s/m D　解析：物块在水平恒力、地面摩擦力和空气阻力的作用下由静止开始运动，故合外力方向不变，物体做直线运动，0～4 s内，物块做的是加速度逐渐减小的直线运动，A错误；0时刻，物块的加速度大小为运动图像与纵轴交点的切线的斜率，a＝ m/s2＝2.5 m/s2，B错误；0时刻，物体速度v0＝5 m/s，所受空气阻力f＝kv0，根据牛顿第二定律有F－μmg－kv0＝ma，根据图像的渐近线可知，当物体速度v＝10 m/s，物体受力平衡，此时受到的空气阻力f＝kv，根据平衡条件得F＝μmg＋kv，联立解得k＝25 N·s/m，μ＝0.5，C错误，D正确。 5.如图所示，一个质量m＝0.4 kg的小物块，以v0＝2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10 m。已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝。重力加速度g取10 m/s2。 (1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。 (2)拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？ 答案：(1)3 m/s2　8 m/s　(2)30°　 N 解析：(1)设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得L＝v0t＋at2① v＝v0＋at② 联立 ①②式得a＝3 m/s2③ v＝8 m/s。④ (2)设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得 F cos α－mg sin θ－Ff＝ma⑤ F sin α＋FN－mg cos θ＝0⑥ 又Ff＝μFN⑦ 联立⑤⑥⑦式得 F＝⑧ 由数学知识得 cos α＋sin α＝sin (60°＋α)⑨ 由⑧⑨式可知对应F最小的夹角为α＝30° 联立③⑧式，代入数据得F的最小值为Fmin＝ N。⑪ 学科网（北京）股份有限公司 $$