专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数的关系综合 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（22-23八年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2022 B．2026 C．2030 D．2034 1．（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若是方程的两个实数根，则代数式的值等于(    ) A．2020 B．2019 C．2029 D．2028 2．（2024·江苏南京·模拟预测）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 3．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）设是的两实数根，求下列代数式的值． (1)； (2) 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（2023·山东临沂·一模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ）. A． B． C． D． 1．（2022·山东临沂·一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x-2022＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（　　） A．2024 B．2022 C．2020 D．2018 2．（2024·山东德州·二模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 3．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（　　） A．0 B．7 C．13 D．6 1．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为x1，x2，则2x13﹣6x12+x22﹣5x2+7的值为（　　） A．0 B．7 C．13 D．6 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】（22-23七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知方程有实数根，（其中为实数），则的最小实根是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知实数a，b分别满足，，且a≠b则的值是（ ） A．7 B．－7 C．11 D．－11 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知实数且分别满足方程和方程，则代数式的值为 ． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得，求的值． 【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例5】（2023上·四川巴中·九年级校考期中）已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    ) A． B． C．或 D．或 1．（2023上·山西阳泉·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程的两根分别为，，且满足，，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 2．（2024上·四川成都·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，则m的取值范围是 ，若、满足：，则 ． 3．（2024上·四川广元·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)若是方程的根，且，求的值． 【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例6】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义新运算“※”：对于实数m、n、p、q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 1．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）对于实数，定义运算“※”：，例如：，若、是关于的一元二次方程的两个实数根，则※= ． 3．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例7】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 2、（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论： ①； ②若，则；     ③关于x的方程的根为，； ④关于x的方程的根为2，3． 其中正确结论的有 ． 【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． (1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程； (2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； (3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 1．（2024·河南周口·三模）已知关于x的方程的一个根是1，则另一根为（   ） A．1 B．2 C．3 D．-2 2．（2024·天津和平·三模）若，是方程的两个根，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如果关于x的一元二次方程 的一个实数根为，另一个实数根为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 5．（2024·山东德州·一模）已知关于的方程的两根分别为和，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏宿迁·模拟预测）若是方程的两个根，则 ． 7．（2024·浙江杭州·三模）已知a、b为实数，且满足，，则 ． 8．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知实数x、y（）满足，，则的值等于 ． 9．（2024·江苏盐城·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ． 10．（2024·江西景德镇·二模）已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为 . 11．（23-24九年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； (3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 12．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 13．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 14．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． (1)已知一个“如意数”（、b、，其中a，b，c，为正整数），请直接写出a，b，c，所满足的关系式 ； (2)利用（1）中“如意数”k中的a，b，c，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数的关系综合 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（22-23八年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2022 B．2026 C．2030 D．2034 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时， ．也考查了一元二次方程的解． 1．（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若是方程的两个实数根，则代数式的值等于(    ) A．2020 B．2019 C．2029 D．2028 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义可得，根据根与系数的关系可得，然后整体代入代数式求值即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，即， 根据根与系数的关系可得， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2023 【分析】由，是方程的两个实数根，可得， ，则可得，然后整体代入中求值即可． 本题考查了一元二次方程的根的意义及根与系数的关系．熟练掌握以上知识且利用整体代入法求解是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ， ． 故答案为：2023． 3．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）设是的两实数根，求下列代数式的值． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出是解题的关键． （1）将代数式 变形为，再代入数据即可得出结论； （2）将代数式变形为，再代入数据即可得出结论． 【详解】（1）∵是 的两实数根， ， ∴ ； （2） ． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（2023·山东临沂·一模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出m2+m=-2022，m+n=-2，再将其代入m2+4m+2n=（m2+2m）+2（m+n）中即可求出结论． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴m2+m=-2022，m+n=-2， ∴m2+4m+2n=（m2+2m）+2（m+n）=-2022+2×（-2）=-2026， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系找出“m2+2m=-2022，m+n=-2”是解题的关键． 1．（2022·山东临沂·一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x-2022＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（　　） A．2024 B．2022 C．2020 D．2018 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：，是一元二次方程x2+2x-2022＝0的两个实数根， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系，找出“，”是解题的关键． 2．（2024·山东德州·二模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ， ， ，是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故答案为：17． 3．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)0． 【分析】（1）设一元二次方程的一个根为，则另一个根为，结合新定义与根与系数的关系可求解； （2）先解方程可得，再结合新定义分两种情况求解代数式的值即可． 【详解】（1）解：设一元二次方程的一个根为，则另一个根为， ∴由根与系数的关系得，， 解得，，即一个根为1，另一个根为2， ． （2）， ， 当时，，原式， 当时，，原式． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法，求解代数式的值，掌握基础知识是解本题的关键． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（　　） A．0 B．7 C．13 D．6 【答案】A 【分析】由方程解的含义及一元二次方程根与系数的关系即可求得结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念及一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，涉及整体代入思想，关键是变形． 1．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为x1，x2，则2x13﹣6x12+x22﹣5x2+7的值为（　　） A．0 B．7 C．13 D．6 【答案】A 【分析】由方程解的含义及一元二次方程根与系数的关系即可求得结果． 【详解】∵一元二次方程x2﹣3 x+1＝0的两根分别为x1，x2 ∴，， ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念及一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，涉及整体代入思想，关键是变形． 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系： （1）把代入方程求出的值即可； （2）根据方程有两个实数根，得到，求解即可； （3）根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得： 解得：或； （2）由题意，得：， 解得：； （3）由题意，得：， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去） ∴． 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】（22-23七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知方程有实数根，（其中为实数），则的最小实根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由有实数根，，可得，，而可得即可解得的最小实根是． 【详解】解： 有实数根，， 有实数根，， ，， 由得， ， 即， ， 解得：，， 的最小实根是， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 1．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知实数a，b分别满足，，且a≠b则的值是（ ） A．7 B．－7 C．11 D．－11 【答案】A 【详解】试题分析：已知实数a，b分别满足，，可得a、b为方程得两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=6，ab=4，所以，故答案选A． 考点：一元二次方程根与系数的关系． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知实数且分别满足方程和方程，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的有关系，构造以a和为根的一元二次方程是解题的关键． 先将方程转化为，即可得出a和为一元二次方程的两根，再用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意得，将方程两边同时除以得， ∵， ∴， ∴a和为一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系， （1）由判别式，然后进行整理，再与比较大小，即可得证； （2）根据根与系数的关系知，，将变形为，即可得到关于的方程，求解即可； 解题的关键是掌握：一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例5】（2023上·四川巴中·九年级校考期中）已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴ 即 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 1．（2023上·山西阳泉·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程的两根分别为，，且满足，，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，从而可得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵x的方程的两根分别为，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系得出，是解题的关键． 2．（2024上·四川成都·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，则m的取值范围是 ，若、满足：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；根据根与系数的关系即可得出，，结合的取值范围即可得出，再由，即可得出，解之即可得出的值． 【详解】方程有两个实数根，， ， 解得：； 原方程的两个实数根为、， ，， ， ， ， ， ，且， 整理得，， ∵， ∴， ∵， ∴解得：． 故答案为：，． 3．（2024上·四川广元·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)若是方程的根，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解不等式、解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关性质及解法是解决问题的关键． （1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系，列出不等式求解即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，从而由题中条件列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是一元二次方程， ， 解得； 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得； 综上所述，的取值范围为且； （2）解：若是方程的根，则， ， ， 整理得：， 解得， ∵且， ∴． 【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例6】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义新运算“※”：对于实数m、n、p、q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决． 【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0， ∴． 整理得，． ∵方程有两个实数根， ∴判别式且． 由得，， 解得，． ∴k的取值范围是且． 故选：C 【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视． 1．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意得出该方程为，由一元二次方程根的判别式得出，设两实数根为，，则，，结合方程的两实数根的平方和为12，列出关于的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，该方程为， ∵方程的两实数根的平方和为12， ∴， ∴， 设两实数根为，，则，， ∵ ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）对于实数，定义运算“※”：，例如：，若、是关于的一元二次方程的两个实数根，则※= ． 【答案】15 【分析】根据题目中的定义以及根与系数的关系即可求出答案． 【详解】由题意可知：△>0， ∴x1+x2=5,x1x2=3 ∴原式= x1x2 (x1+x2)=3×5=15 故答案为15. 【点睛】此题考查实数的运算，根与系数的关系，解题关键在于掌握其运算公式. 3．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例7】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质．按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，， 是方程的解，①的说法正确； ②若方程无实根，则，∴，对于方程，，则方程无实根；②的说法不正确． ③若方程两根为，且满足， ，， ，， 即可得出方程，必有实根，，③的说法正确； ④由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，那么④不一定正确； ⑤若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ，⑤的说法正确； 综上，①③⑤的说法正确； 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，，故②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③错误； ∵， ∴方程化为， ∴， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，故④正确． 故答案为：①②④． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论： ①； ②若，则；     ③关于x的方程的根为，； ④关于x的方程的根为2，3． 其中正确结论的有 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键，把方程化为一般形式结合判别式可判定①，把方程的解代入原方程可判定②，结合整体思想可判定③，利用根与系数的关系把变形，再解方程可判定④，从而可得答案． 【详解】解：①化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴ 解得：，故①错误， ∵关于的一元二次方程有实数根、， 当，则， ∴方程为， 解得：，，故②正确； ∵关于x的一元二次方程有实数根，，且， 而可化为：， ∴，， ∴或，故③错误； ∵化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴，， ∵ ， ∴， 解得：或，故④正确， 故答案为：②④ 【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 【答案】(1)， (2)方程有两个实数解．理由见详解 (3)的值为1或2 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先计算根的判别式的值得到△，利用根的判别式的意义即可解答； （3）先利用公式法解方程得或，由于，所以或，当，则，利用整除性得当时，；当时，；当时，． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， ， 或， ∴，； （2）解：方程有两个实数解． 理由如下： ， 当时，，方程有两个相等的实数解； 当时，，方程有两个不相等的实数解； 综上所述，方程有两个实数解； （3）依题意，解方程得或， ， 或， 当时，， 、为正整数， 当时，；当时，； 当时，， 综上所述，的值为1或2． 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式． （）根据根与系数的关系可得，即可； （）由，将（1）代入即可解答； （）由，将（1）代入即可得方程：即可解答． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实根， ∴，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， 解得：，， 当时，原方程为：，，符合题意； 当时，原方程为：，，符合题意； ∴的值为或． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，；根据新定义列出方程即可求解． 【详解】（1）方程是“差积方程”， 证明：， 即， 解得，， ， 是差积方程； （2）解：， 解得方程的解为：，， 是差积方程， ， 即：或． 解得：或， （3）解： ， 解得，， 是差积方程， ， 即， 即． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． (1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程； (2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； (3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 【答案】(1)方程是连根方程 (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程、根与系数之间的关系等知识点，掌握“连根方程”的定义是解题的关键． （1）先用因式分解法解方程，再根据“连根方程”的定义进行判断即可； （2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为a，则另一个根为，再根据根与系数的关系进行求解即可； （3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∵， ∴是连根方程． （2） 解：∵方程（是常数）是“连根方程”， 设的两个根为， ∴， ∴， ∴， 解得：． （3）解：方程（b、c是常数）是“连根方程”， 设方程的两个根为：，且， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴． 1．（2024·河南周口·三模）已知关于x的方程的一个根是1，则另一根为（   ） A．1 B．2 C．3 D．-2 【答案】B 【分析】把代入，转化为m的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得， ∴， 设另一个根为， 根据题意，得， 故选：B． 2．（2024·天津和平·三模）若，是方程的两个根，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】题考查了一元二次方程根与系数的关系，． 由一元二次方程根与系数的关系直接求出的值，再将问题中代数式展开代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，是方程的两根， ∴， ∴， 故选A． 3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是． 【详解】解：根据，方程除以得， 故是方程的两个根， 根据根与系数关系定理，得， 故是． 故选：A． 4．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如果关于x的一元二次方程 的一个实数根为，另一个实数根为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，则，熟记根与系数的两个关系式是解题的关键． 设一元二次方程的另一个实数根为a，然后运用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：设一元二次方程的另一个实数根为a， ∵一元二次方程的的一个实数根为，另一个实数根为a， ∴，解得：． 故选C． 5．（2024·山东德州·一模）已知关于的方程的两根分别为和，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．根据根与系数关系得到，，进而求得，，即可． 【详解】解：∵关于的方程的两根分别为和， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 6．（2024·江苏宿迁·模拟预测）若是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则、. 根据一元二次方程根与系数的关系可得、，然后根据完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴、， ∴． 故答案是：2024． 7．（2024·浙江杭州·三模）已知a、b为实数，且满足，，则 ． 【答案】13 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，注意：解答此题需要分类讨论．根据已知条件推知、是方程，即的两个根，然后通过解方程求得①，；②，；最后将所求的代数式转化为完全平方和的形式，并将①②分别代入求值． 【详解】解：、为实数，且满足，， ，， 、是方程，即的两个根， 或； ①当，时，，即； ②当，时，，即，不合题意； 综上所述，； 故答案为：13． 8．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知实数x、y（）满足，，则的值等于 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，观察题目中条件中的两个方程和目标式，通过对条件方程的灵活变形，创造条件使用根与系数的关系是解题的关键． 把方程变形为，可知x，是一元二次方程的两个不同的根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】， ， ， ， ， ， x，是一元二次方程的两个不同的根， ， ， 故答案为：24． 9．（2024·江苏盐城·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴ ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．（2024·江西景德镇·二模）已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是解题的关键．由一元二次方程根与系数的关系可知，，代入可计算出． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别是， 那么，， ， ． 故答案为：． 11．（23-24九年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； (3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，解不等式即可得出答案； （2）求出的值为6，解方程求出，代入方程求出的值即可； （3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合题意求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，     解得； （2）解：∵是符合条件的最大整数， ∴的值为6， ∴方程变形为， 解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴， ∴的值为． （3）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵； ∴的值为． 12．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 13．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 【答案】(1)方程是“伴根方程”； (2)或． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断； （2）先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根据“伴根方程”的定义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）解：解方程得，， ， 方程是“伴根方程”； （2）解：， ， 或， ，， 方程是常数）是“伴根方程”， ， 或． 14．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． (1)已知一个“如意数”（、b、，其中a，b，c，为正整数），请直接写出a，b，c，所满足的关系式 ； (2)利用（1）中“如意数”k中的a，b，c，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 【答案】(1) (2) (3)121，242，363，484 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清“如意数”的定义． （1）根据如意数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出m、n互为倒数，又得出，，求出，，结合如意数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是如意数， ，即； 故答案为：； （2）解：是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根， ，， 将两边同除以得：， 将m、看成是方程的两个根， ， 方程有两个相等的实数根， ，即； 故答案为： （3）解：，， ，， ， ， ， ， 解得：， 满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键． （1）根据材料1中，一元二次方程根与系数关系即可得到，，然后代入求解即可得到答案； （2）根据材料1及材料2，由一元二次方程根与系数关系，得到，，将化为，将，代入求值即可得到答案； （3）根据题意，确定与看作是方程的两个实数根，由一元二次方程根与系数关系，得到，，先求出的值，再由变形得到，将，代入求值即可得到答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为， ，， ∴， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为、， ，， ， ， ， ， ； （3）解：实数、满足，， 与看作是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 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