专题2.3 平方根（专项练习）（基础练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.3 平方根（专项练习）（基础练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24七年级下·广东东莞·阶段练习）下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北沧州·期末）的平方根是（    ） A． B． C． D．±3 3．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 4．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若是的平方根，是的算术平方根，则（    ） A． B．17 C．或17 D．或7 5．（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）已知，，则（     ） A．110 B． C． D． 6．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如果一个正方形的面积为10，那么它的边长为（　　） A．10 B． C． D． 7．（21-22七年级·全国·假期作业）若 ,则 （   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·河北保定·期中）现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2022·河北沧州·一模）已知，则x的平方根为（    ） A．5.835 B．0.5835 C． D． 10．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一，“勾股定理”描述了直角三角形三条边长之间的关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，请运用“勾股定理”解决以下问题：如图，一个底面半径为，高为的圆柱形饮料罐，将一根笔直的吸管从顶面正中的小圆孔插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管在饮料罐内部的最大长度是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24七年级下·吉林·期中）已知、都是实数，若，则 ． 12．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）的平方根是 ． 13．（23-24八年级下·河北承德·期末） ． 14．（23-24七年级下·天津和平·期中）已知是4的平方根，b的算术平方根是1，则 ． 15．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）若一个正数m的两个平方根是和，则 ． 16．（23-24七年级下·广东江门·期中）计算： ． 17．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习），，，……，其中为正整数，则的值是 ． 18．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）通过以下方法可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程． 去分母， 移项， 两边平方， 整理， （1）的还原方程是 ． （2）若，则代数式 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）若m，n满足等式． (1)求m，n的值； (2)求的算术平方根． 20．（8分）（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）计算； （2）求下列式子中的值． 21．（10分）（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在学习完平方根这一课时后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 数学老师看后说小明的答案是错误的．你知道小明错在哪里吗？请予以改正． 22．（10分）（22-23七年级下·广东广州·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1． (2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 23．（10分）（22-23八年级下·四川成都·期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程． 验证：； (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：＝　　；＝　　； (2)通过上述探究你能猜测出：＝　　（），并验证你的结论． 24．（12分）（21-22八年级上·福建泉州·期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） (1)观察图2请你写出，，之间的等量关系是____________； (2)根据（1）中的结论，若，，则____________； (3)拓展应用：若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查了求算术平方根，平方根．先根据算术平方根的性质可得，再根据平方根的性质计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故选：C 3．C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．根据平方根、算术平方根的定义求出m、n的值，然后代入即可求解． 【详解】解：∵是的平方根，是的算术平方根， ∴，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或17， 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了算术平方根，理解小数点的移动规律是解此题的关键． 据算术平方根的意义，被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行求解即可． 【详解】解：因为， 即， 所以， 故选：D． 6．C 【分析】本题考查算术平方根的应用．根据正方形的边长等于面积的算术平方根计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴正方形的边长为， 故选：C． 7．B 【分析】先利用的值，求出，再利用负整数指数幂的运算法则，得到的值． 【详解】解：， 或（舍去）， ， 故选：B． 【点拨】本题主要是考查了开二次根式以及负整数指数幂的运算法则，熟练掌握负整数指数幂的运算法则：，是解决本题的关键． 8．C 【分析】本题考查了新运算，平方根的应用，理解新运算是关键；由规定的新运算得：，整理后用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 即， ∴； 故选：C． 9．C 【分析】由题意，先合并同类项，然后进化简，即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴x的平方根为； 故选：C． 【点拨】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握定义，正确的求出． 10．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 【详解】解：根据题意得：吸管在饮料罐内部的最大长度是． 故选：B． 11． 【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据两个非负数的和是0，因而两个非负数同时是0，可得，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了算术平方根和平方根的意义，先根据算术平方根的意义化简，再根据平方根的意义求解即可． 【详解】解：∵ ∴的平方根是 故答案为：． 13．0 【分析】本题考查了勾股数问题、算术平方根．根据勾股数代入计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：0． 14．2或 【分析】本题考查了平方根和算术平方根；解题关键是熟练掌握以上知识点，根据题意求出a．b的值代入求解即可． 【详解】解：∵是4的平方根， ∴， 解得或， ∵b的算术平方根是1， ∴， 当，时， ； 当，时， ， 故答案为：2或． 15．9 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即可求出即可求出a的值，再进一步求出m的值． 【详解】解：∵m的两个平方根是和， ∴， 解得：， ∴, 故答案为：9． 16．/ 【分析】此题考查了化简绝对值、算术平方根的性质，首先化简绝对值，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点．先求出，，，的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ，， ． 故答案为：． 18． 5 【分析】本题考查了求代数式的值，算术平方根的性质，完全平方公式． （1）依照例题计算即可求解； （2）由，整理得，，整体代入求解即可． 【详解】解：（1）， 去分母，， 移项，， 两边平方，， 整理，； 故答案为：； （2）若， 移项，， 两边平方，， 整理，，， ∴， ∴ ； 故答案为：5． 19．(1)， (2) 【分析】本题考查了完全平方公式、非负数的性质、算术平方根等知识点，利用完全平方公式将等式进行变形是解题的关键． （1）直接利用完全平方公式，算术平方根以及绝对值的性质分析得出答案； （2）结合（1）中所求，结合算术平方根的定义分析得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，即， ，，要使它们的和为0， 则且． ，， 解得：，． （2）解：， 算术平方根为2． 20．（1）；（2） 【分析】此题考查了算术平方根，平方根的计算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根，然后计算加减； （2）根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1） （2） ． 21．见解析 【分析】本题考查了算术平方根及平方根，正确理解算术平方根的意义是解题的关键，根据算术平方根及平方根的意义求解即可得解． 【详解】小明在计算第②种情况，当时，解得，这个数的算术平方根，需要舍去． 正确的过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ， 这个数为16； ②当时，解得， ， 算术平方根不能为负数， 舍去， 综上所述，这个数为16． 22．(1)5，7 (2)4次之后结果为1． 【分析】（1）先计算和估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义对290进行连续求根整数，可得4次之后结果为1． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：5，7； （2）解：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， 答：对290连续求根整数，4次之后结果为1． 【点拨】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的算术平方根的计算能力． 23．(1)， (2)，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据所列等式及其验证过程即可求解； （2）根据所列等式及其验证过程即可猜想，进行验证； 【详解】（1）解：根据所列等式及其验证过程可猜想＝，＝ 故答案为：， （2）解：猜想＝，验证如下： 24．(1)（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab (2) (3) 【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案； （2）由（1）可得出（x−y）2＝(x＋y)2−4xy，即可得出答案； （3）由[（2021−m）＋（m−2022）]2＝（2021−m）2＋（m−2022）2＋2（2021−m）（m−2022），即可求解． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为a＋b，内部小正方形的边长为b−a，小长方形的长为b，宽为a， ∴大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（b−a）2，小长方形的面积为ab， 由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和， 即（a＋b）2＝（b−a）2＋4ab＝（a−b）2＋4ab． 故答案为：（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab． （2）解：∵，， ∴（x−y）2＝(x＋y)2−4xy＝52−4×＝16， ∴x−y＝±4． 故答案为：． （3）解：∵， [（2021−m）＋（m−2022）]2＝（2021−m）2＋（m−2022）2＋2（2021−m）（m−2022）， ∴1＝2023＋2（2021−m）（m−2022）， ∴（2021−m）（m−2022）＝×(1−2023)＝−1011． 【点拨】本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$