精品解析：内蒙古集宁新世纪中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷

集宁新世纪中学2023~2024学年上学期高一年级数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章～第五章5.2. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C ， D. ， 2. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 4. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. -2 B. 2 C. D. 8. 函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列转化结果正确的是（ ） A. 化成弧度是 B. 化成角度是 C. 化成弧度是 D. 化成角度是 10. 已知命题：，，则命题成立的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 11. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为1 C. 最大值为4 D. 的最小值为2 12. 已知函数的图像如图所示，则的图像可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知集合，若，则实数的值为___________. 14. 函数且的图象必过定点___________． 15. 设函数，则的单调递减区间为____________． 16. 若关于x不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）若，求的值域. 18. 已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． （1）若，，求扇形的弧长； （2）若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 19. 已知函数 （1）作出函数在的图像； （2）求； （3）求方程的解集，并说明当整数在何范围时，.有且仅有一解. 20. 已知，，. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 21. 已知函数（且）. （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值； （2）解关于x的不等式. 22. 设，已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）若，判断并证明函数的单调性； （3）在（2）条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 集宁新世纪中学2023~2024学年上学期高一年级数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章～第五章5.2. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果. 【详解】原命题的否定为，. 故选：C. 2. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由终边相同的角的性质即可求解. 【详解】与角终边相同的角是，， 令，可得或， 当时，这个角为， 当时，这个角为， 只有选项D满足. 故选：D 3. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，利用不等式的性质即可判断其命题为真；对于D，举反例即可判断其命题为假，由此解答即可. 【详解】对于A，因为，所以，即，则选项A中命题为真，故A错误； 对于B，因为，，所以由不等式的性质得，则选项B中命题为真，故B错误； 对于C，因为，则，所以，则选项C中命题为真，故C错误； 对于D，令，则，，但，故选项D中命题为假，故D正确. 故选：D. 4. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数性质可对A项判断；利用幂函数性质可对B项判断；利用对数函数性质可对C项判断；利用二次函数性质可对D项判断. 【详解】对于选项A：根据指数函数的单调性可知该函数在上为单调减函数，故A项错误； 对于选项B：根据幂函数的性质可知该函数在上为单调递减函数，故B项错误； 对于选项C：根据对数函数的单调性可知该函数在上为单调递增函数，故C项正确； 对于选项D：根据二次函数的性质可知该函数在上不单调，故D项错误. 故选：C. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数的性质可得，根据对数的运算及对数函数的单调性可比较的大小. 【详解】∵，， ∴. 故选:B. 6. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果． 【详解】， 故选：B． 7. 已知函数是定义在上奇函数，当时，，则（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为函数为奇函数，所以从而求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且时， 所以，故C项正确. 故选：C. 8. 函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列转化结果正确的是（ ） A. 化成弧度是 B. 化成角度是 C. 化成弧度是 D. 化成角度是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，计算判断即可． 【详解】因为，所以选项A正确； 因为，所以选项B不正确； 因为，所以选项C不正确； 因为，所以选项D正确， 故选：AD． 10. 已知命题：，，则命题成立的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出的充要条件，再对照四个选项一一判断. 【详解】由命题：，． 故命题成立的一个充分条件是的子集， 对照四个选项，ABD符合要求. 故选：ABD． 11. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为1 C. 的最大值为4 D. 的最小值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式可判断A；根据基本不等式可判断B；可判断C；根据可判断D. 【详解】对于A，因为，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为1，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为2，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2，故D正确. 故选:AD. 12. 已知函数的图像如图所示，则的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据二次函数的图像判断参数的范围，再根据对数函数的性质即可选出答案. 【详解】解：根据二次函数图像可知，，两个数一个大于1，一个大于0且小于1， 当，时，在定义域内单调递增，，故B项符合题意； 当，时，在定义域内单调递减，，故A项符合题意. 故选：AB. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知集合，若，则实数的值为___________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据子集的定义求解，注意集合中元素的性质． 【详解】由集合的互异性有，，因此有子集的定义必有，得. 故答案为：0． 14. 函数且的图象必过定点___________． 【答案】 【解析】 【分析】令，求得和的值，从而求得函数且恒过定点的坐标． 【详解】令，求得，且， 故函数且恒过定点. 故答案为：． 15. 设函数，则的单调递减区间为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性法则判断即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为， 设，，则函数开口向下，对称轴方程为， 所以函数在单调递增，在上单调递减， 又在定义域上单调递增， 根据复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为. 故答案为： 16. 若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的不等式，按与分类，并结合一元二次不等式恒成立列式求解即得. 【详解】当时，显然，此不等式在R上恒成立，则； 当时，原不等式化为，则，解得， 所以实数a的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）若，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法设出二次函数解析式，再根据题设条件即可求得解析式； （2）用二次函数的单调性即可求得给定闭区间上的值域. 【小问1详解】 设， 则， 则，解得， 故，又，得， 所以. 【小问2详解】 因为对称轴为， 所以当时，在上单调递减，在上单调递增， 又， ， ， 所以的值域为. 18. 已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． （1）若，，求扇形的弧长； （2）若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】（1） （2）的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角． 【解析】 【分析】（1）根据弧度与角度的关系，用弧度表示圆心角，结合弧长公式求弧长； （2）由条件确定弧长与半径的关系，再由扇形面积公式用表示，并求其最小值即可. 【小问1详解】 ， 扇形的弧长； 【小问2详解】 设扇形弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 19. 已知函数 （1）作出函数在的图像； （2）求； （3）求方程的解集，并说明当整数在何范围时，.有且仅有一解. 【答案】（1）图象见解析 （2） （3）解集为；或. 【解析】 【分析】（1）各段均为一次函数，作出图象即可； （2）结合函数的定义，先求，再求； （3）各段解，即可得解集，观察图象即可求的k值范围. 【小问1详解】 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 当时，由，得； 当时，由，得； 当时，由，得； 所以解集为； 当有且仅有一解且k为整数时，则或. 20. 已知，，. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解； （2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值. 【小问1详解】 因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； 【小问2详解】 由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 21. 已知函数（且）. （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）已知函数在区间上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可； （2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集. 【小问1详解】 因为在上为单调函数， 且函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，解得或. 【小问2详解】 因为函数是上的减函数， 所以，即， 当时，，原不等式解集为； 当时，，原不等式解集为. 22. 设，已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）若，判断并证明函数的单调性； （3）在（2）条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围. 【答案】（1）或1 （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据奇函数定义，代入解析式即可求出参数的值； （2）由（1）知，当时，得，代入解析式中，利用单调性的定义即可证明函数的单调性； （3）首先根据函数单调性可得，即，令，将原问题转化为在上有两个不同实根，然后根据二次函数根的分布与系数关系求解参数的取值范围即可. 【小问1详解】 由函数为奇函数，有，有， 有， 有，有，得. ①当时，，定义域为，，符合题意； ②当时，，定义域为， ，符合题意. 由上知或1； 【小问2详解】 当时，有，即定义域为，结论为：在上单调递增. 设上任意两个实数，，且. ， 而，，， ∴，即得证，则在上单调递增； 【小问3详解】 由知，由知，所以， 由（2）知在上单调递增，结合题意有 得，即m，n是两个不同实根， 令，则在上有两个不同实根， 有可得， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$