周测卷6（3.3-3.4）-2024-2025学年高一数学上学期同步测试卷（单元+周测+月考+专项+期中+期末）（人教A版2019）

周测卷6（3.3-3.4） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知幂函数的图象过点，则(    ) A. 2 B. C. D. 4 2.已知幂函数的图象在上单调递减，则(    ) A. B. C. 3 D. 9 3.近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平。某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元。则引进该生产线后总盈利的最大值为(    ) A. 204万元 B. 220万元 C. 304万元 D. 320万元 4.如图所示是函数、且互质的图象，则(    ) A. m，n是奇数且 B. m是偶数，n是奇数，且 C. m是偶数，n是奇数，且 D. m，n是偶数，且 5.在一次为期15天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐40人，已知第t日参加比赛的运动员人数M与t的关系是为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是(    ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6.幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则m的值是(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.如果函数在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，那么称函数是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.若函数是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知幂函数的图象经过点，则(    ) A. 函数为增函数 B. 当时， C. 函数为偶函数 D. ， 10.某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产100台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为万元，其中x是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是(    ) A. 利润y表示为年产量x的函数为 B. 当年产量为475台时企业所得的利润最大，为万元 C. 当年产量单位：百台时，企业不亏本 D. 企业不亏本的最大年产量为500台 11.已知函数是幂函数，对任意，，且，满足若a，，且的值为负值，则下列结论可能成立的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.写出一个幂函数的解析式，使之同时具有以下三个性质：①定义域为②是偶函数;③当时，则函数的解析式为__________. 13.某学校研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间单位：分钟之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，点；当时，图象是线段不含点，其中点根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为__________写成区间形式 14.小明在研究函数时，发现具有其中一个性质：如果常数，那么函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数的定义域为值域为则实数a的值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知幂函数为偶函数． 求函数的解析式； 若函数在区间上为单调函数，求实数a的取值范围． 16.本小题15分 近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器百台，其总成本为万元，其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元总成本=固定成本+生产成本销售收入万元满足，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据以述统计规律，请完成下列问题： 求利润函数的解析式利润=销售收入-总成本； 工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？ 17.本小题15分 已知幂函数为偶函数.一次函数满足， Ⅰ求和的解析式； Ⅱ求函数在区间上的最大值和最小值. 18.本小题17分 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某市新建了一座垃圾回收利用工厂，于2023年年初用98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50 万元.若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元年为第一年，设该设备产生的盈利总额纯利润为y万元. 写出y与x之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利盈利总额为正值； 使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；年平均盈利额=盈利总额使用年数 ②当盈利总额达到最大值时，以15 万元价格处理该设备.试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 19.本小题17分 已知幂函数，满足   求函数的解析式．   若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？   若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由． 第19页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周测卷6（3.3-3.4） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知幂函数的图象过点，则(    ) A. 2 B. C. D. 4 2.已知幂函数的图象在上单调递减，则(    ) A. B. C. 3 D. 9 3.近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平。某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元。则引进该生产线后总盈利的最大值为(    ) A. 204万元 B. 220万元 C. 304万元 D. 320万元 4.如图所示是函数、且互质的图象，则(    ) A. m，n是奇数且 B. m是偶数，n是奇数，且 C. m是偶数，n是奇数，且 D. m，n是偶数，且 5.在一次为期15天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐40人，已知第t日参加比赛的运动员人数M与t的关系是为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是(    ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6.幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则m的值是(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.如果函数在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，那么称函数是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.若函数是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知幂函数的图象经过点，则(    ) A. 函数为增函数 B. 当时， C. 函数为偶函数 D. ， 10.某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产100台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为万元，其中x是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是(    ) A. 利润y表示为年产量x的函数为 B. 当年产量为475台时企业所得的利润最大，为万元 C. 当年产量单位：百台时，企业不亏本 D. 企业不亏本的最大年产量为500台 11.已知函数是幂函数，对任意，，且，满足若a，，且的值为负值，则下列结论可能成立的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.写出一个幂函数的解析式，使之同时具有以下三个性质：①定义域为②是偶函数;③当时，则函数的解析式为__________. 13.某学校研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间单位：分钟之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，点；当时，图象是线段不含点，其中点根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为__________写成区间形式 14.小明在研究函数时，发现具有其中一个性质：如果常数，那么函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数的定义域为值域为则实数a的值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知幂函数为偶函数． 求函数的解析式； 若函数在区间上为单调函数，求实数a的取值范围． 16.本小题15分 近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器百台，其总成本为万元，其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元总成本=固定成本+生产成本销售收入万元满足，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据以述统计规律，请完成下列问题： 求利润函数的解析式利润=销售收入-总成本； 工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？ 17.本小题15分 已知幂函数为偶函数.一次函数满足， Ⅰ求和的解析式； Ⅱ求函数在区间上的最大值和最小值. 18.本小题17分 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某市新建了一座垃圾回收利用工厂，于2023年年初用98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50 万元.若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元年为第一年，设该设备产生的盈利总额纯利润为y万元. 写出y与x之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利盈利总额为正值； 使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；年平均盈利额=盈利总额使用年数 ②当盈利总额达到最大值时，以15 万元价格处理该设备.试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 19.本小题17分 已知幂函数，满足   求函数的解析式．   若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？   若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查幂函数的函数值或解析式，属于基础题. 设幂函数解析式代入点的坐标得幂函数，从而可得的值. 【解答】 解：设幂函数， 由于函数的图象过点， 所以，则，所以， 则 故选： 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查简单幂函数的图象与性质，属于基础题. 根据是幂函数求得m的值，再根据简单幂函数的图象与性质确定解析式，然后求即可. 【解答】 解：是幂函数，，解得或， 当时，，其图象在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，其图象在上单调递减，符合题意， 综上所述，，所以 故选： 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用一次、二次、分式函数模型解决实际问题，属于中档题. 设引进设备n年后总盈利为万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为，构成一等差数列，由等差数列前n项和公式求得前n年总成本，这样可得总盈利，由二次函数性质可得最大值. 【解答】 解：设引进设备n年后总盈利为万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为万元， 则由题意，知为等差数列且，，前n年成本之和为万元， 故 ，， 所以当时，， 即总盈利的最大值为204万元. 故选： 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查幂函数的图象和性质，考查学生推理能力，是基础题． 利用幂函数的性质直接推出结果；或利用函数的定义域、值域、单调性推出结果． 【解答】 解：由图象知函数为偶函数，为偶数，n为奇数． 又在第一象限内上凸， 故选： 5.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查分段函数模型以及一次函数、二次函数的性质. 根据题意，结合一次函数、二次函数的性质即可求解. 【解答】 解：当时，函数为一次函数，单调递增，故参加比赛的运动员人数在时取得最大值，则需要大巴车的数量为； 当时，函数为开口向下的二次函数，其对称轴为， 由于t为整数，且10是最接近对称轴的整数， 故当时参加比赛的运动员人数达到最大值，则需要大巴车的数量为， 故选 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查幂函数的性质和应用，是基础题． 由题意，可得，由此能求出 【解答】 解：幂函数 的图象关于y轴对称， 且在上是减函数， ，即 ， 解得 故选 7.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了幂函数及其性质，属于中档题. 由条件知，，可得再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式. 【解答】 解：幂函数在上单调递增， 故，解得 又，故或 当时，的图象关于y轴对称，满足题意； 当时，的图象不关于y轴对称，舍去， 故 不等式化为， 函数在和上单调递减， 故或或， 解得或 故选： 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了函数的性质应用，考查函数的单调性，属于中档题． 由题意，求的增区间，再求的减区间，取其交集可得缓增区间．  【解答】 解：在区间上是增函数， ， 对于函数，由对勾函数的性质可得该函数在和上是减函数， 故在和上是减函数， 故“缓增区间”I为， 故选 9.【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查了幂函数函数解析式的求解及函数性质的简单判断，属于中档题. 结合已知点可求得， 然后结合该幂函数的性质对选项进行判断即可. 【解答】 解：设幂函数的解析式为 ， 因为幂函数  的图象过点  ，可得  ， 解得  ， 即  ， 所以函数  的定义域为 R ，关于原点对称， 且， 所以函数  为偶函数，故C正确； 在上单调递增，在上单调递减，所以A错误； 当 时， 可得，所以B错误； 当  时，     ， 所以  ，所以D正确. 故选： 10.【答案】BC  【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数模型的应用，属于中档题. 由已知及二次函数的性质逐个判断即可. 【解答】 解：当时， 当时，， 故故A错误； 当时，，故，此时； 当时，， 故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，故B正确； 企业不亏本即，当时，令，解得，则当时，企业不亏本； 当时，，解得 综上，当时，企业才不亏本，故C正确，D错误， 故选 11.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题主要考查幂函数的定义，幂函数的性质及其应用，考查分类讨论思想，属于中档题. 【解答】 解：由函数为幂函数可知，解得或 当时，当时， 由题意知函数在上单调递增， 因此，其在R上单调递增，且满足 结合以及可知， 所以，所以 当时，， 当时，， 当时，或或， 故BCD都有可能成立. 12.【答案】答案不唯一  【解析】【分析】 本题考查幂函数及其性质，属于基础题. 取函数，再检验条件即可. 【解答】 解：取函数，定义域为， 且，故是偶函数， 当时，满足， 故满足条件， 故函数的解析式可以为 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查解析式的求法，考查不等式组的解法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用． 由题设条件，可求出两段函数解析式，由题意，列出不等式组，即可求得能使得学生学习效果最佳的时间范围. 【解答】 解：当时，设，  将代入上式得，解得，  所以，  由题意求得线段不含点的函数解析式为， 由题意得或  解得或，  所以，  所以教师安排核心内容的时间段为 故答案为 14.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查“对勾”函数的图象与性质，属于中档题. 当判断单调性，进而确定最值即可求范围，当再讨论的大小关系，结合的性质，判断上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围. 【解答】 解：当时，即，在上单调递增， 故当时，，解得：，满足题设； 当，即， 若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 可得或舍去； 若，即时，函数在上单调递增， ，解得：，不满足题设. 故答案为：或 15.【答案】解：由为幂函数知， 即， 得或， 当时，，符合题意； 当时，，为非奇非偶函数，不合题意，舍去． 由得， 即函数的对称轴为， 由题意知函数在上为单调函数， 或， 即或，即实数a的取值范围为  【解析】本题主要考查幂函数的图象和性质，以及二次函数的单调性与对称轴之间的关系，考查函数奇偶性的应用，考查函数解析式的求解，要求熟练掌握幂函数和二次函数的图象和性质． 根据幂函数的性质即可求的解析式； 根据函数在区间上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数a的取值范围． 16.【答案】解：由题意得， 则 ， 即； 当时，函数递减， 即有， 当时，函数， 当时，有最大值， 综上可知，当工厂生产12百台产品时，可使利润最大为60万元．  【解析】本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，属于中档题． 先求得，再由可得所求； 分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到． 17.【答案】解：Ⅰ因为函数为幂函数，所以， 即，解得：或 当时，为偶函数，满足题意； 当时，为奇函数，不满足题意； 所以， 因为为一次函数，所以，设，由，， 得：，解得：所以 Ⅱ， 令，因为，所以， 而在上单调递增， 所以，当，即时，取得最小值 当，即时，取得最大值 所以，函数在区间上的最小值为0，最大值为   【解析】本题考查了幂函数及一次函数的概念，考查了利用函数的单调性求最值，属于中档题. Ⅰ由幂函数的概念可知：，再结合偶函数的性质可得出的解析式;再由为一次函数，用待定系数法，代点，列出方程组求解即可得到解析式; Ⅱ由Ⅰ得：，令，，利用换元法结合函数的单调性即可求出最值. 18.【答案】解：根据题意：² ² 由²解得： ， 该机床从第3年开始全年盈利 方案①： 当且仅当时取“=” 到2029年，年均盈利达到最大值 该设备可获利万元 方案②：²  ² 当时， 故到2032年，盈利额达最大值，该设备可获利 万元 按方案②可获利到更多，故按方案②处理较合理   【解析】本题考查函数模型的应用，一元二次不等式的求解，利用基本不等式求最值，二次函数的最值。属于中档题． 19.【答案】解：是幂函数， 得，解得：或 当时，，不满足 当时，，满足 故得，函数的解析式为； 由函数，即， 令， ， ， 记，， 其对称轴在， ①当，即时， 则， 解得：； ②当时，即， 则， 解得：，不满足，舍去； ③当时，即时， 则， 解得：，不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为0； 由函数在定义域内为单调递减函数， 若存在实数a，，使函数在上的值域为， 则， ②-①可得： 且， ③， 将③代入②得，， 令， ，， 即， ， ，即， ， 得： 故得实数n的取值范围  【解析】本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题． 根据幂函数是幂函数，可得，求解p，可得解析式； 由函数，，利用换元法转化为二次函数问题求解最小值，可得m的值； 由函数，求解的解析式，判断其单调性，根据在上的值域为，化简为一元二次函数求解n的取值范围． 第19页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $$