精品解析：河南省南阳市邓州春雨国文学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷

邓州春雨国文学校5月月考 高二数学 一、单选题 1. 已知等差数列满足：，公差，且中任意两项之和也是中的一项，则的可能取值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得，再代入等差数列的通项公式，表示与的关系，即可求的取值集合，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 设，即， 故，故是的正因数，故，共6个. 故选：D. 2. 已知，则的值为 A. 1 B. -1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，，则． 考点：导数的计算． 3. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定每段圆弧的中心角是，第段圆弧的半径为，由弧长公式求得弧长，然后由等差数列前项和公式计算． 【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，第段圆弧的半径为，弧长记为， 则， 所以． 故选：D． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，进而可求导函数值. 【详解】∵，则， ∴. 故选：B. 5. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导可得，令，其中且，利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，可得出实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为， ， 令，可得或，不满足等式， 可得，其中且， 令，其中且，则， 当时，且，此时函数单调递减， 当时，且，此时函数单调递减， 当时，且，此时函数单调递增， 所以，函数的极小值为，如下图所示： ①当时，直线与函数交点的横坐标设为，则， 若时，，，，此时，单调递增， 若时，，，，此时，单调递减， 若时，，，，此时，单调递增， 若时，，，，此时，单调递增. 故当时，函数有两个极值点，合乎题意； ②当时，方程在的根为. 若时，，，，此时，单调递增， 若时，，，，此时，单调递增， 当时，，，，此时，单调递增， 此时函数无极值点； ③当时，直线与函数交点的横坐标设为，则， 若时，，，，此时，单调递增， 若时，，，，此时，单调递减， 若时，，，，此时，单调递增， 若时，，，，此时，单调递增， 此时函数有两个极值点，合乎题意； ④当时，直线与函数的图象无交点， 若时，，，，此时，单调递减， 若时，，，，此时，单调递增， 若时，，，，此时，单调递增， 此时函数只有一个极值点，不合乎题意； ⑤当时，直线与函数的图象的公共点的横坐标为， 若时，，，，此时，单调递减， 若时，，，，此时，单调递增， 若时，，，，此时，单调递增， 此时函数只有一个极值点，不合乎题意； ⑥当时，直线与函数的图象有两个公共点，设这两个公共点的横坐标分别为、，设，则， 若时，，，，此时，单调递减， 若时，，，，此时，单调递增， 若时，，，，此时，单调递增， 若时，，，，此时，单调递减， 若时，，，，此时，单调递增， 此时函数有三个极值点，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数极值点个数求参数，注意到，本题在考查方程时，要特别注意到时的取值，再求解时还应注意导数为零处的点时导数符号的变化，充分利用极值点的定义来求解. 6. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，然后求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意数列中，，， ， ， 整理得，由于，故解得. ， 以此类推， 所以. 故选：C 7. 等比数列的前项和为，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列前n项和的性质求解. 【详解】由等比数列性质可知，成等比数列， 因为，所以，所以成等比数列， 所以，所以，所以. 故选：C. 8. 数列，满足，（），则（ ） A. －2 B. －1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给关系式，代入数据，可得数列的周期，计算即可得答案. 【详解】由题意得，， ，， 所以数列是周期数列，且周期为3， 所以， 所以 故选：A 二、多选题 9. 已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于点对称 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据抽象函数的对称性，判断函数的对称性，以及周期，并结合条件转化，判断函数的对称性，利用抽象函数的导数公式，以及周期性，求，最后利用函数与的关系求和. 【详解】由的图象关于直线对称，则， 即，所以， 即，则，即的图象关于直线对称， 由，可得，又， 所以，所以的图象关于点对称，即为奇函数， 所以，即，即函数的周期为， 由，可得，因为周期为， 所以， 则，即， 所以的图象关于点对称，故B正确； 因为的图象关于直线对称，则，所以， 所以， 因为的周期为4，所以的周期也为4.由， 可得，所以，故C正确； 由，可得， 所以，即， ，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题主要是研究抽象函数的性质，以及导数运算问题，本题的关键是以条件等式为桥梁，发现函数与的性质关系，以及解析式的关系. 10. 已知数列是等差数列，数列满足，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先求出等差数列的公差、首项，进而求出的通项公式，再根据数列与的关系，从而得出的通项公式，根据通项公式及等比数列前项和公式可以确定选项正误. 【详解】对于A，设等差数列的公差为,由，得，得． 又因为，所以，可得，于是，A正确． 对于B，，所以，B正确． 对于C，，C错误． 对于D，，D错误． 故选：AB． 11. 已知函数，导函数的极值点是函数的零点，则（ ） A. 有且只有一个极值点 B. 有且只有一个零点 C 若，则 D. 过坐标原点仅有一条直线与曲线相切 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，对原函数进行两次求导计算求得，得到函数，再分别就选项A,B中的相关量进行判断；对于C项，判断应该与函数单调性有关，经计算得到，故只需运用单调性即可推得；对于D项，要将过点的曲线切线条数问题转化为含切点坐标的方程的根的个数问题即得. 【详解】由可得：， 不妨取，则， 则由解得：，依题意，， 解得：.此时，. 对于A项，因，函数在R上恒为增函数， 则没有极值点，故A项错误； 对于B项，由A项结论可知，函数在R上恒为增函数，且， 即有且只有一个零点，故B项正确； 对于C项，由A项得：，则， 因函数在R上恒为增函数，则由即：可得：，即：，故C项正确； 对于D项，不妨设切点为，由可得， 切线斜率为：， 则切线方程为：， 因切线过原点，则有：， 整理得：，解得：或， 即过坐标原点有两条直线与曲线相切，故D项错误. 故选：BC. 12. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“美好成长”.将数列1，3进行“美好成长”，第一次得到数列1，3，3；第二次得到数列1，3，3，9，3，…；设第次“美好成长”后得到的数列为1，，，…，，3，并记，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算得到通项公式计算即可. 【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,3，此时 第2次得到数列1,3,3,9,3，此时 第3次得到数列1,3,3,9,3,27,9,27,3，此时 第4次得到数列1,3,3,9,3,27,9,27,3,81,27,243,9,243,27,81,3，此时 第次得到数列1，，3，此时，故B正确. 所以 所以，故A错误， 因为 所以 所以，故C正确. 所以，所以是以3为公比，以为首项的等比数列，所以，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD 【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，得到通项公式即可求解. 三、填空题 13. 已知函数f（x）的导函数为，对任意的实数x都，且f（0）=1，若f（x）在（-1，3）上有极值点，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】通过变形，可知 进而可得，然后根据极值点的转化为导函数有不同的零点即可求解. 【详解】由可知：，故，其中为常数. 因此，又 ，因此， ， 设 因为f（x）在（-1，3）上有极值点,则在上有变号的零点，即在上有变号的零点，因为 所以 解得： 故答案为： 14. 在数列中，，，为的前项和，记，则数列的最大项为第__________项. 【答案】6 【解析】 【分析】利用等比数列的定义得到、、，进而得到，利用基本不等式大致确定的范围 ，再利用作差法比较得到，得到结果. 【详解】∵，，∴是公比为的等比数列， ，，，， ， 当时，即时，等号成立， ，等号不成立， 比较，， ，故当时，取得最大值． 故答案：6． 15. 已知函数，为的导函数，则下列结论正确的个数是__________． ①当时，； ②函数上只有一个零点； ③函数在上存在极小值点． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，可判断①；利用导数求得函数的单调性，结合零点存在定理，即可判断②；根据导数和极值的概念可判断③． 【详解】①当时，，， 所以，故①正确； ②，令， 则， 因为，所以，所以单调递减， 因为，， 根据零点存在定理可得，，使得， 所以函数在上只有一个零点，故②正确； ③因为函数在上单调递减，且只有一个零点， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以为在上的唯一极大值点，故③错误， 所以正确的个数为． 故答案为： 四、解答题 16. 已知数列中，，求的通项公式． 【答案】 【解析】 【分析】构造法求证为等比数列并写出通项公式，再应用累加法求数列通项公式. 【详解】化为，即， ，可得或，（所得两组数值代入上式等价）， 不妨令，， 所以是以1为首项，为公比的等比数列，则， 累加法可得：， 又符合上式，故. 17. 如图，曲线BRA是一段二次函数的图象，B在y轴上，A在x轴上，R为抛物线段上一动点，以R为切点的抛物线的切线与x轴交于P点，与y轴交于Q点，已知抛物线段上存在一点D到x，y轴的距离分别为，，且OA＝1，OB＝2．过B作轴，与PQ交于C． （1）求抛物线段BRA的方程； （2）求图中阴影部分的面积取得最小值时，R点到y轴的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，在抛物线方程上，待定系数法求解抛物线方程即可； （2）设，利用导数求解直线PQ的方程，进而得到坐标，即可求得四边形OBCP的面积，x，y轴与抛物线路段BRA所围成的面积为定值，利用基本不等式求解四边形OBCP的面积最小值即可. 【小问1详解】 解：设抛物线段BRA的方程为， 由已知得，，，，代入得， ，解得， 所以抛物线段的方程为. 【小问2详解】 解：设R点到y轴的距离为， 由已知得，，则PQ的斜率为， 所以PQ的方程为， 令得，，即， 令得，，即， 因为x，y轴与抛物线路段BRA所围成的面积为定值，所以图中阴影部分的面积取得最小值等价于直角梯形OBCP的面积S取得最小值． 四边形OBCP的面积为， 因为，所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以图中阴影部分的面积取得最小值时，R点到y轴的距离为. 18. 已知数列的前n项和为且成等差数列. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系可得，然后根据等差中项及等比数列的定义即得； （2）由题可得，然后利用错位相减法即得. 【小问1详解】 因为，， 当时，， 当时，， 所以，即， 又因为，且，则 所以是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，，又成等差数列， 所以，即， 所以，； 【小问2详解】 因为， 所以，即， 所以， ， 所以， 所以. 19. 已知函数（）. （1）若存在不小于4的极值点，求a的取值范围； （2）若恒成立，求a的最小值. 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导并通分，在令分子是一个新的函数，进行求导，对进行讨论，当时，不存在极值点. 当时，需.即可解出答案. （2）由于，分离参数，求出的最大值即可求出答案. 【小问1详解】 由题意知，的定义域为. 由，记. 因为存在不小于4的极值点，则存在不小于4的零点. 当时，在内恒成立，则在内单调递减， 则不存在极值点，不成立. 当时，由，且为关于的开口向上的二次函数，需. 即，则. 经检验，此时存在不小于4的极小值点. 综上所述，a的取值范围为. 【小问2详解】 若，则，即. 记，则. 显然在内单调递减，且. 则当时，；当时，. 故在内单调递增，在内单调递减. 则.故，即a的最小值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 邓州春雨国文学校5月月考 高二数学 一、单选题 1. 已知等差数列满足：，公差，且中任意两项之和也是中的一项，则的可能取值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 6个 2. 已知，则的值为 A 1 B. -1 C. D. 3. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列的前项和为，且，则（　　） A. B. C. D. 8. 数列，满足，（），则（ ） A. －2 B. －1 C. 2 D. 二、多选题 9. 已知函数，及其导函数，定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则（ ） A. 为偶函数 B. 图象关于点对称 C. D. 10. 已知数列等差数列，数列满足，且，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，导函数的极值点是函数的零点，则（ ） A 有且只有一个极值点 B. 有且只有一个零点 C. 若，则 D. 过坐标原点仅有一条直线与曲线相切 12. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“美好成长”.将数列1，3进行“美好成长”，第一次得到数列1，3，3；第二次得到数列1，3，3，9，3，…；设第次“美好成长”后得到的数列为1，，，…，，3，并记，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 三、填空题 13. 已知函数f（x）的导函数为，对任意的实数x都，且f（0）=1，若f（x）在（-1，3）上有极值点，则实数a的取值范围是___________. 14. 在数列中，，，为的前项和，记，则数列的最大项为第__________项. 15. 已知函数，为的导函数，则下列结论正确的个数是__________． ①当时，； ②函数在上只有一个零点； ③函数在上存在极小值点． 四、解答题 16. 已知数列中，，求的通项公式． 17. 如图，曲线BRA是一段二次函数的图象，B在y轴上，A在x轴上，R为抛物线段上一动点，以R为切点的抛物线的切线与x轴交于P点，与y轴交于Q点，已知抛物线段上存在一点D到x，y轴的距离分别为，，且OA＝1，OB＝2．过B作轴，与PQ交于C． （1）求抛物线段BRA的方程； （2）求图中阴影部分的面积取得最小值时，R点到y轴的距离． 18. 已知数列的前n项和为且成等差数列. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 19. 已知函数（）. （1）若存在不小于4的极值点，求a的取值范围； （2）若恒成立，求a的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$