专题3.2 函数的性质（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题3.2 函数的性质 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：函数的单调性 5 考点二：函数的最值 6 考点三：函数的奇偶性 7 考点三：函数性质的综合运用 9 【考纲要求】 1. 理解函数的单调性的定义，掌握增函数、减函数的图像特征，会判断函数的单调性. 2. 理解函数的奇偶性的定义，掌握奇函数、偶函数的图像特征，会判断函数的奇偶性. 3.综合运用函数的性质相关问题. 【考向预测】 1.函数的单调性 2.函数的最值 3.函数的奇偶性 4.函数性质的综合运用 【知识导图】 【知识清单】 1.函数的单调性 (1)函数单调性的概念：对于函数在给定区间上任意两个不相等的值，设，，当 时，那么就说，函数在这个区间上是增函数；当时，那么就说，函数在这个区间上是减函数. 如果一个函数在某个区间上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性.这个区间就叫作这个函数的单调区间.函数的单调区间，一般是指保持函数单调性的最大区间． (2)函数的图像特征 增函数的图像自左而右逐渐上升，减函数的图像自左而右逐渐下降. (3)函数单调性的判断方法. ①观察函数图像特征； ②利用函数单调性的定义. 证明函数单调性的步骤： 1)取值：在给定区间上任取两个不相等的自变量的值，则； 2)求值：计算出； 3)判断：讨论的正负； 4)结论：若，则为增函数；若，则为减函数. (4)基本初等函数单调性的判定. 基本初等函数的单调性的判定：先看定义域． 函数 单调性 一次函数 当，在R上单调递增； 当，在R上单调递减 反函数 当，在每个单调区间内单调递减； 当，在每个单调区间内单调递增 二次函数 当，在上单调递减，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减 2.函数的奇偶性 (1)奇函数. 若函数的定义域关于原点对称，对于定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫作奇函数． 图像特征：一个函数是奇函数的充要条件是它的图像是以原点为对称中心的中心对称图形． 特别提醒：若函数为奇函数，那么其图像一定经过原点，即. (2)偶函数． 若函数的定义域关于原点对称，对于定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫作偶函数． 图像特征：一个函数是偶函数的充要条件是它的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形． (3)函数奇偶性的判断 判断一个函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域是否关于原点对称． (1)若不对称，则函数是非奇非偶函数． (2)若对称，则当时，函数为奇函数. 当时，函数为偶函数. 当，且时，函数是非奇非偶函数． 当，且时，函数既是奇函数又是偶函数． 特别提醒：函数，只要定义域关于原点对称，既是奇函数又是偶函数，所以既是奇函数又是偶函数有无数个. (4)基本初等函数奇偶性. ①常量函数(c为常数且)是偶函数. (2)若常量函数，则既是奇函数又是偶函数，反之亦然． (3)一次函数为奇函数⇔b＝0. (4)二次函数为偶函数⇔b＝0. (5)反比例函数是奇函数. (6)幂函数：为奇数，是奇函数；为偶数，是偶函数． 3.函数的单调性和奇偶性的联系 如果一个函数是奇函数，那么它在关于原点对称的区间上单调性一致；如果一个函数是偶函数，那么它在关于原点对称的区间上单调性相反. 【考点分类剖析】 考点一：函数的单调性 例1．函数f(x)=|x|在[－2，2]上的单调递增区间是(　　) A．[－2，2] B．[－2，0] C．[1，2] D．[0，2] 【答案】B 【解析】画出函数f(x)=|x|的图像，利用图像法得答案为D.需要注意函数的单调区间是保持单调性最大的区间，不能选C.故选：D. 【变式探究】下列函数中，在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　) A．y＝－x2 B．y＝x2 C．y＝ D．y＝|x| 【答案】A 【解析】在区间(－∞，0)上，选项A单调递增；选项B为减函数；选项C为反比例函数，且单调递减；选项D为绝对值函数，且单调递减，故选：A. 例2．用函数单调性定义证明函数是在区间上是减函数． 【答案】证明见解析 【分析】根据函数的单调性定义即可证得. 【详解】在区间上任取两个不相等的值，则， ∴， ∵，∴， 故函数是在区间上是减函数． 【归纳提升】解决此类问题的步骤：先在给定的区间上取值，然后根据定义进行求值，判断的正负号时，一定要运用配方、通分、因式分解等方法将其化简到最简形式. 【变式探究】函数，判断函数在上的单调性，并加以证明. 【答案】函数在上单调递减，证明见解析. 【解析】函数在上单调递减，证明如下： 函数， 任取，设， 则， 因为，， 所以， 故，即， 故函数在上单调递减. 例3．已知函数满足（x∈R），且对任意的时，恒有成立，则当时，实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明出在[1，+∞）上为减函数，把转化为，即可解得. 【详解】因为函数满足（x∈R），则函数的图像关于直线x＝1对称， 又由对任意的时，恒有成立， 所以任取，有，所以， 所以在[1，+∞）上为减函数. 又由2a2+a+2＝2（a）21，2a2﹣2a+4＝2（a）21， 若，则有， 解得：，即a的取值范围为. 故选：A． 【归纳提升】解决此类问题的步骤：先由题中条件确定函数的单调性，然后根据单调性灵活转化为解不等式问题，注意结合定义域求解. 【变式探究】已知函数在定义域(－1，1)上单调递增，若，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】由函数f(x)在(－1，1)上单调递增，则解得. 故答案为：. 考点二：函数的最值 例4.已知函数，则当时，的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质计算可得. 【详解】因为，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时. 故答案为： 【方法指引】二次函数在闭区间内求最值的步骤：①先求出二次函数的对称轴； ②判断对称轴与区间的关系； ③若对称轴在之间，则在对称轴处取最大（小）值，再求出的值，判断大小即可；若对称轴不在之间，则求出的值，判断大小即可. 【变式探究】函数，的值域是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】， 故在单调递增，在单调递减，且， 故值域为， 故答案为： 考点三：函数的奇偶性 例5. 若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(－1)＝3，f(－2)＝4，则f(1)与f(2)的大小关系是(　　) A．f(1)>f(2) B．f(1)<f(2) C．f(1)＝f(2) D．无法判断 【答案】A 【解析】∵函数f(x)是奇函数，且f(－1)＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝3，因此f(1)＝－3，同理可得f(2)＝－4，即f(1)＝－3>－4＝f(2). 故选：A． 【变式探究】已知函数f(x)是R上的奇函数，且f(2)＝－3，则f(－2)的值为(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 【答案】C 【详解】 ∵f(x)是奇函数，且f(2)＝－3，则f(－2)＝3，故选：C. 例6. 根据定义证明：函数在定义域R上是偶函数． 【答案】证明见解析 【分析】证明即可. 【详解】因为函数的定义域关于原点对称，且， 所以函数为偶函数. 【变式探究】下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝－x2 C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x＋1 【答案】C 【解析】A，B项中函数是偶函数；D项中函数为非奇非偶函数；C项中函数y＝x3的图像关于原点对称，是奇函数，故选：C. 例7. 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x2＋x，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x2－x B．f(x)＝－x2＋x C．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝－x2－x 【答案】C 【解析】当x<0时，－x>0， ∴f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x. 又∵f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， 即f(x)＝－f(－x)＝x2＋x， ∴当x<0时，f(x)＝x2＋x. 故选：C. 【变式探究】已知函数f(x)在R上是偶函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x2＋2x B．f(x)＝－x2＋2x C．f(x)＝－x2－2x D．f(x)＝x2－2x 【答案】C 【解析】当x<0时，－x>0， ∴f(－x)＝－2x－(－x)2＝－x2－2x， 又∵f(x)在R上是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，即f(x)＝f(－x)＝－x2－2x. 故选：C. 考点四：函数性质的综合运用 例8.如果奇函数在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则在区间[-8，-2]上是（　　） A．增函数且最小值为 B．增函数且最大值为 C．减函数且最小值为 D．减函数且最大值为 【答案】D 【分析】由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即，且，又由为奇函数， 则在区间[-8，-2]上是减函数，且，则有， 故选：D． 【变式探究】若偶函数在区间上是增函数且最大值是6，则在上是（    ） A．增函数，最大值是6 B．增函数，最小值是6 C．减函数，最大值是6 D．减函数，最小值是6 【答案】C 【分析】利用函数的单调性与偶函数的对称性求解即可. 【详解】因为偶函数在区间上是增函数，且有最大值， 由偶函数的对称性可得在区间上是减函数，且有最大值， 故选：C 例9.已知函数是R上的奇函数，且是上的减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将等价于和，根据奇函数以及单调性即可求解. 【详解】由是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若可知：且在也严格单调递减，故 当和时，，当和时，， 故等价于和，解得， 故选：B 【变式探究】已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件得函数的单调性，再由偶函数的性质等价转化不等式，然后结合单调性求解即可. 【详解】因为对于任意不等实数都满足， 即当时，；时， 故在区间上单调递增. 因为是定义在上的偶函数，则， 所以不等式， 又，由在区间上单调递增. 则，即，解得，或， 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 函数的性质 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：函数的单调性 4 考点二：函数的最值 5 考点三：函数的奇偶性 5 考点三：函数性质的综合运用 6 【考纲要求】 1. 理解函数的单调性的定义，掌握增函数、减函数的图像特征，会判断函数的单调性. 2. 理解函数的奇偶性的定义，掌握奇函数、偶函数的图像特征，会判断函数的奇偶性. 3.综合运用函数的性质相关问题. 【考向预测】 1.函数的单调性 2.函数的最值 3.函数的奇偶性 4.函数性质的综合运用 【知识导图】 【知识清单】 1.函数的单调性 (1)函数单调性的概念：对于函数在给定区间上任意两个不相等的值，设，，当 时，那么就说，函数在这个区间上是增函数；当时，那么就说，函数在这个区间上是减函数. 如果一个函数在某个区间上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性.这个区间就叫作这个函数的单调区间.函数的单调区间，一般是指保持函数单调性的最大区间． (2)函数的图像特征 增函数的图像自左而右逐渐上升，减函数的图像自左而右逐渐下降. (3)函数单调性的判断方法. ①观察函数图像特征； ②利用函数单调性的定义. 证明函数单调性的步骤： 1)取值：在给定区间上任取两个不相等的自变量的值，则； 2)求值：计算出； 3)判断：讨论的正负； 4)结论：若，则为增函数；若，则为减函数. (4)基本初等函数单调性的判定. 基本初等函数的单调性的判定：先看定义域． 函数 单调性 一次函数 当，在R上单调递增； 当，在R上单调递减 反函数 当，在每个单调区间内单调递减； 当，在每个单调区间内单调递增 二次函数 当，在上单调递减，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减 2.函数的奇偶性 (1)奇函数. 若函数的定义域关于原点对称，对于定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫作奇函数． 图像特征：一个函数是奇函数的充要条件是它的图像是以原点为对称中心的中心对称图形． 特别提醒：若函数为奇函数，那么其图像一定经过原点，即. (2)偶函数． 若函数的定义域关于原点对称，对于定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫作偶函数． 图像特征：一个函数是偶函数的充要条件是它的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形． (3)函数奇偶性的判断 判断一个函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域是否关于原点对称． (1)若不对称，则函数是非奇非偶函数． (2)若对称，则当时，函数为奇函数. 当时，函数为偶函数. 当，且时，函数是非奇非偶函数． 当，且时，函数既是奇函数又是偶函数． 特别提醒：函数，只要定义域关于原点对称，既是奇函数又是偶函数，所以既是奇函数又是偶函数有无数个. (4)基本初等函数奇偶性. ①常量函数(c为常数且)是偶函数. (2)若常量函数，则既是奇函数又是偶函数，反之亦然． (3)一次函数为奇函数⇔b＝0. (4)二次函数为偶函数⇔b＝0. (5)反比例函数是奇函数. (6)幂函数：为奇数，是奇函数；为偶数，是偶函数． 3.函数的单调性和奇偶性的联系 如果一个函数是奇函数，那么它在关于原点对称的区间上单调性一致；如果一个函数是偶函数，那么它在关于原点对称的区间上单调性相反. 【考点分类剖析】 考点一：函数的单调性 例1．函数f(x)=|x|在[－2，2]上的单调递增区间是(　　) A．[－2，2] B．[－2，0] C．[1，2] D．[0，2] 【变式探究】下列函数中，在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　) A．y＝－x2 B．y＝x2 C．y＝ D．y＝|x| 例2．用函数单调性定义证明函数是在区间上是减函数． 【归纳提升】解决此类问题的步骤：先在给定的区间上取值，然后根据定义进行求值，判断的正负号时，一定要运用配方、通分、因式分解等方法将其化简到最简形式. 【变式探究】函数，判断函数在上的单调性，并加以证明. 例3．已知函数满足（x∈R），且对任意的时，恒有成立，则当时，实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【归纳提升】解决此类问题的步骤：先由题中条件确定函数的单调性，然后根据单调性灵活转化为解不等式问题，注意结合定义域求解. 【变式探究】已知函数在定义域(－1，1)上单调递增，若，则实数a的取值范围是________. 考点二：函数的最值 例4.已知函数，则当时，的最大值为 ． 【方法指引】二次函数在闭区间内求最值的步骤：①先求出二次函数的对称轴； ②判断对称轴与区间的关系； ③若对称轴在之间，则在对称轴处取最大（小）值，再求出的值，判断大小即可；若对称轴不在之间，则求出的值，判断大小即可. 【变式探究】函数，的值域是 ． 考点三：函数的奇偶性 例5. 若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(－1)＝3，f(－2)＝4，则f(1)与f(2)的大小关系是(　　) A．f(1)>f(2) B．f(1)<f(2) C．f(1)＝f(2) D．无法判断 【变式探究】已知函数f(x)是R上的奇函数，且f(2)＝－3，则f(－2)的值为(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 例6. 根据定义证明：函数在定义域R上是偶函数． 【变式探究】下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝－x2 C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x＋1 例7. 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x2＋x，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x2－x B．f(x)＝－x2＋x C．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝－x2－x 【变式探究】已知函数f(x)在R上是偶函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x2＋2x B．f(x)＝－x2＋2x C．f(x)＝－x2－2x D．f(x)＝x2－2x 考点四：函数性质的综合运用 例8.如果奇函数在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则在区间[-8，-2]上是（　　） A．增函数且最小值为 B．增函数且最大值为 C．减函数且最小值为 D．减函数且最大值为 【变式探究】若偶函数在区间上是增函数且最大值是6，则在上是（    ） A．增函数，最大值是6 B．增函数，最小值是6 C．减函数，最大值是6 D．减函数，最小值是6 例9.已知函数是R上的奇函数，且是上的减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$