专题3.1 函数的概念及表示（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题3.1 函数的概念及表示 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：函数的概念 3 考点二：函数的表示方法 6 考点三：同一函数 7 考点四：分段函数 9 【考纲要求】 1. 理解函数的有关概念及其表示方法； 2. 理解函数的两要素，会求一些常见函数的定义域； 3. 理解分段函数的概念. 【考向预测】 1.函数的概念 2.函数的表示方法 3.同一函数 4.分段函数 【知识导图】 【知识清单】 1.函数的概念 (1)函数的定义：设集合 A 是一个非空的实数集，对 A 内任意实数 x，按照某个确定的对应关系 f，有唯一确定的实数值 y 与它对应，则称这种对应关系 f 为集合 A 上的一个函数．记作．其中 x 为自变量，y 为因变量．自变量 x 的取值集合 A 称为函数的定义域，对应的因变量值 y 的集合称为函数的值域． (2)函数值：函数在处对应得函数值，记作. (3)函数的三要素 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么我们就称这两个函数是同一函数. (4)常见函数的定义域. 函数类型 表达式 定义域 整式函数 分式函数 偶次根式 奇次根式 零次幂 指数函数 对数型函数 特别提醒：1.定义域的求法：使函数有意义的自变量 x 的取值范围； 2.值域的求法：函数值 y 的取值范围. 2.函数的表示方法 (1)函数常见的表示方法有列表法、解析法和图像法. ①列表法：两个变量之间对应值列出表格表示函数关系. ②图像法：用图像表示两个变量之间的函数关系. ③解析法：用等式表示两个变量之间的函数关系.例如：等都是用解析法表示函数.特别地，（常数）称为常数函数，如等. (2)描点法作函数图象． ①分析函数解析式的特点； ②取值列表； ③描点； ④连线． (3)函数解析式的求法 ①待定系数法：已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法. 1)确定含未知数的函数解析式（若题目没有，需根据题意设出函数的解析式）； 2)根据恒等条件，列出一组含有未知数的方程； 3)解方程或消去未知数，从而得到函数解析式. ②换元法：已知的解析式，求函数的解析式. 1)先令，注意分析t的取值范围； 2)反解出x，即用含t的代数式表示x； 3)将中的x替换为t的表示，可求得的解析式，从而求得. ③方程组法：已知与、、.......的方程，求解析式. 例如：若条件是关于与的条件（或与）的条件， 可把x代为-x(或把x代为)得到第二个式子，与原式联立方程组，求出. 3. 分段函数 1. 定义 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数称为分段函数. 2. 图像特征 分段函数的图像既可以是连续的曲线，也可以是折线、离散的点. 【考点分类剖析】 考点一：函数的基本概念 例1．下图中可表示函数的图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义即可得解. 【详解】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B. 故选：B. [归纳提升]解决此类问题的方法是：函数定义中与的对应关系可以是“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”. 【变式探究】下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数定义作出判断. 【详解】根据函数定义，在定义域内，对于任意的，只能有唯一确定的与其对应，ABC满足要求， D选项，在定义域内对于，有两个确定的与其对应，D错误. 故选：D 例2．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，结合问题，自变量取合适的值，可得答案. 【详解】取，有. 故选：D. 【变式探究】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求出解析式，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得. 故选：D 例3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被开方数为非负数得到不等式，解得即可. 【详解】函数，令， 等价于，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D [归纳提升]求函数的定义域问题，先根据常用函数有意义的条件列出不等式（组），再进行求解即可. 【变式探究】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使函数有意义，即得关于的不等式组，解之即得函数定义域. 【详解】函数有意义，等价于， 解得，，故函数的定义域为. 故选：A. 例4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求解即可 【详解】函数的定义域为， 由，得， 则函数的定义域为 故选：C 【变式探究】已知函数定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数求定义域法则得到答案.. 【详解】，则，故的定义域是. 故选：C 考点二：同一函数 例5.下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同一个函数的条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断. 【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数. 故选：A. 【误区防范】对应法则相同指的是对应法则等价，形式并不一定完全一样. 【变式探究】下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项. 【详解】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误； 对于B中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误； 对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为， 所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误； 对于D中，函数与的定义域均为R， 可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确； 故选：D. 考点三：函数的表示方法 例6. 如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为.若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将容器看做一个球体，根据的实际意义求解． 【详解】将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的时间， 高度的变化较大，即较大， 到水注入球体的一半时，由于球体的截面积较大，的变化率较小，接近于球体的顶端时，的变化率又较大． 故选：D． 【变式探究】寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】B 【分析】先确定兔子的图象，然后根据开始兔子快，乌龟慢，以及最终乌龟赢了即可得答案. 【详解】由于兔子睡了一下，所以所有选项中有一段不发生变化的折线为兔子的“路程一时间” 的图像 一开始，兔子快，乌龟慢，排除选项C D， 最后乌龟赢了，即乌龟先到达终点，选项B符合. 故选：B. 例7. 已知二次函数满足，且.求的解析式. 【答案】 【分析】设，利用建立恒等式求解即可. 【详解】设二次函数， 因为，所以， 由，得， 得， 所以，得， 故. 【变式探究】已知函数是二次函数，且满足，． (1)求函数的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出二次函数解析式，利用待定系数法求解即得. （2）由可得，再由恒成立，按是否为0分类求得关系，然后求出的最大值并验证得解. 【详解】（1）由函数是二次函数，且，设， 由，得， 整理得，则，解得， 所以函数的解析式是. （2）由（1）及已知得，恒成立， 令，则，于是， ，恒成立，即恒成立， 当时，则且， 因此，，当时，，满足上式，则，，， 从而，当且仅当时取等号， 此时，，恒成立， 所以的最大值为. 考点四：分段函数 例8.设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数求函数值即可. 【详解】由于，所以， 所以， 故选：A 【归纳提升】求函数值主要利用代入法求解，而对于类似的函数求值问题要先求内层，再求外层误区防范，层层求解. 【变式探究】函数，则________. 【答案】2 【分析】分和两种情况列方程求解即可. 【详解】，若， 则或，即或，解得. 故答案为：2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 函数的概念及表示 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：函数的概念 3 考点二：函数的表示方法 4 考点三：同一函数 5 考点四：分段函数 6 【考纲要求】 1. 理解函数的有关概念及其表示方法； 2. 理解函数的两要素，会求一些常见函数的定义域； 3. 理解分段函数的概念. 【考向预测】 1.函数的概念 2.函数的表示方法 3.同一函数 4.分段函数 【知识导图】 【知识清单】 1.函数的概念 (1)函数的定义：设集合 A 是一个非空的实数集，对 A 内任意实数 x，按照某个确定的对应关系 f，有唯一确定的实数值 y 与它对应，则称这种对应关系 f 为集合 A 上的一个函数．记作．其中 x 为自变量，y 为因变量．自变量 x 的取值集合 A 称为函数的定义域，对应的因变量值 y 的集合称为函数的值域． (2)函数值：函数在处对应得函数值，记作. (3)函数的三要素 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么我们就称这两个函数是同一函数. (4)常见函数的定义域. 函数类型 表达式 定义域 整式函数 分式函数 偶次根式 奇次根式 零次幂 指数函数 对数型函数 特别提醒：1.定义域的求法：使函数有意义的自变量 x 的取值范围； 2.值域的求法：函数值 y 的取值范围. 2.函数的表示方法 (1)函数常见的表示方法有列表法、解析法和图像法. ①列表法：两个变量之间对应值列出表格表示函数关系. ②图像法：用图像表示两个变量之间的函数关系. ③解析法：用等式表示两个变量之间的函数关系.例如：等都是用解析法表示函数.特别地，（常数）称为常数函数，如等. (2)描点法作函数图象． ①分析函数解析式的特点； ②取值列表； ③描点； ④连线． (3)函数解析式的求法 ①待定系数法：已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法. 1)确定含未知数的函数解析式（若题目没有，需根据题意设出函数的解析式）； 2)根据恒等条件，列出一组含有未知数的方程； 3)解方程或消去未知数，从而得到函数解析式. ②换元法：已知的解析式，求函数的解析式. 1)先令，注意分析t的取值范围； 2)反解出x，即用含t的代数式表示x； 3)将中的x替换为t的表示，可求得的解析式，从而求得. ③方程组法：已知与、、.......的方程，求解析式. 例如：若条件是关于与的条件（或与）的条件， 可把x代为-x(或把x代为)得到第二个式子，与原式联立方程组，求出. 3. 分段函数 1. 定义 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数称为分段函数. 2. 图像特征 分段函数的图像既可以是连续的曲线，也可以是折线、离散的点. 【考点分类剖析】 考点一：函数的基本概念 例1．下图中可表示函数的图象是（    ） A．B．C． D． [归纳提升]解决此类问题的方法是：函数定义中与的对应关系可以是“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”. 【变式探究】下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式探究】已知，，则（   ） A． B． C． D． 例3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． [归纳提升]求函数的定义域问题，先根据常用函数有意义的条件列出不等式（组），再进行求解即可. 【变式探究】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知函数定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 考点二：同一函数 例5.下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【误区防范】对应法则相同指的是对应法则等价，形式并不一定完全一样. 【变式探究】下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点三：函数的表示方法 例6. 如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为.若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（    ） A．   B．   C．   D．     例7. 已知二次函数满足，且.求的解析式. 【变式探究】已知函数是二次函数，且满足，． (1)求函数的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的最大值． 考点四：分段函数 例8.设函数，则（    ） A． B． C． D． 【归纳提升】求函数值主要利用代入法求解，而对于类似的函数求值问题要先求内层，再求外层误区防范，层层求解. 【变式探究】函数，则________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$