第4章 4.4.1 对数函数的概念（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

指数函数与对数函数 4．4　对数函数 4．4.1　对数函数的概念 第四章 返回导航 数学 必修 第一册 A　 学习目标 1.通过实例，了解对数函数的概念． 2．会求与对数函数定义域有关的问题． 3．了解对数函数在生产实际中的简单应用． 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点　对数函数的概念 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 知识点 A 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 1．知识清单 (1)对数函数的概念和定义域； (2)对数函数模型的简单应用． 2．方法归纳：待定系数法，转化法． 3．常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件． 知识点 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 ⁠ 随堂演练 C 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 随堂演练 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 随堂演练 B 问题交流 A级 B级 返回导航 数学 必修 第一册 A　 解析 返回导航 数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第一册 A　 在细胞分裂问题中，细胞个数y是分裂次数x的指数函数y＝2x，因此，知道x的值(输入值是分裂的次数)，就能求出y的值(输出值是细胞个数).反之，知道了细胞个数y，如何确定分裂次数x? 上述问题中x与y之间是否存在函数关系呢？ 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝__________(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). logax 无理数e 无理数e 2．特殊的对数函数 常用对数函数 以____为底的对数函数___________ 自然对数函数 以________为底的对数函数___________ 10 y＝lg x [例1] 下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y＝logax2(a>0，且a≠1)； (2)y＝log2x－1；(3)y＝2log8x； (4)y＝logxa(x>0，且x≠1)；(5)y＝log5 x. (1)中真数不是自变量x，不是对数函数． (2)中对数式后减1，∴不是对数函数． (3)中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数． (4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数． (5)为对数函数． 判断一个函数为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. [练1](多选)(2024·长沙高一期末)下列函数表达式中是对数函数的有(　　) A．y＝logπx B．y＝logx C．y＝log4x2 D．y＝log2(x＋1) AB 根据对数函数的定义知，y＝logπx，y＝log x是对数函数，故AB选项正确；而y＝log4x2，y＝log2(x＋1)不符合对数函数的定义，故CD选项错误． [练2] 函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________． 1 由题意可得a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1. 综合应用： 对数函数概念的应用 角度1　对数型函数的定义域 [例2] 求下列函数的定义域． (1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； (2)y＝log2(16－4x). (1)由得－3<x<3， ∴函数的定义域是{x|－3<x<3}． (2)由16－4x>0，得4x<16＝42，由指数函数的单调性得x<2，∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}． [变式探究1] 把本例(1)中的函数改为y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，求函数的定义域． 由得x>3. ∴函数y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)的定义域为{x|x>3}． [变式探究2] 求函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域． 由(x＋3)(x－3)>0，得或 解得x<－3或x>3.∴函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x<－3或x>3}． 求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. (4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形． [练3](1)(2024·深圳高一上学期期末)函数f(x)＝＋ln (x＋1)的定义域是(　　) A．(－∞，3] B．(－1，＋∞) C．(0，3] D．(－1，3] D (2)(2024·广安高一上学期期末)函数f(x)＝lg (x－1)＋的定义域为(　　) A．(1，＋∞) B．[1，2)∪(2，＋∞) C．(0，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪(2，＋∞) D (1)由得－1<x≤3，定义域是(－1，3]. (2)要使函数有意义，则 解得x>1，且x≠2. 故函数f(x)＝lg (x－1)＋的定义域为(1，2)∪(2，＋∞). 角度2　对数函数的实际问题 [例3] 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元). (1)写出奖金y关于销售利润x的关系式； (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ (1)由题意知y＝ (2)由题意知当0.15x＝5.5时，x≈36.7，不符合题意； 当1.5＋2log5(x－9)＝5.5， 即log5(x－9)＝2时， x－9＝52，解得x＝34. 故老江的销售利润是34万元． 对数函数应用问题的关注点 实际问题中对数模型要建模准确，计算时充分利用对数运算性质，注意变量的实际意义与定位． [练4] 某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　) A．300只 B．400只 C．500只 D．600只 由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300. 1．(2024·宜宾高一上学期测试)函数f(x)＝＋lg (x－1)的定义域是(　　) A．[2，＋∞) B．(1，2] C．(1，2) D．(2，＋∞) 由题知解得1＜x＜2，故函数f(x)的定义域为(1，2). D 2．(2024·长沙高一检测)下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝loga 2x B．y＝log22x C．y＝log2x＋1 D．y＝lg x 由对数函数的定义：形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，则函数为对数函数，只有D符合． 3．“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是(　　) A．y＝log1.05x B．y＝log1.005x C．y＝log0.95x D．y＝log0.995x 由题意得x＝(1＋5‰)y＝1.005y，化为对数函数得y＝log1.005x. $$