专题03 相似三角形的判定与性质（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题03 相似三角形的判定与性质（10大题型+15道拓展培优） 题型一 证明两三角形相似 题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 题型三 重心的有关性质 题型四 相似三角形的判定与性质综合 题型五 利用相似三角形的性质求解 题型六 证明三角形的对应线段成比例 题型七 利用相似求坐标 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型九 相似三角形——动点问题 题型十 相似三角形的综合问题 知识点一、相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 知识点二、相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【经典例题一 证明两三角形相似】 【例1】（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 1．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）下列两个三角形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个面积相等的三角形 2．（23-24八年级下·上海普陀·期末）如图，已知矩形，将其折叠，使点与点重合，折痕是那么折痕的长是 ． 3．（23-24九年级上·上海静安·课后作业）如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．    【经典例题二 选择或补充条件使两个三角形相似】 【例2】（22-23九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24九年级上·上海静安·课后作业）在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（    ） A． B．∠ADE=∠ACB C．AE﹒AC=AB﹒AD D． 2．（2023·上海宝山·一模）如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【经典例题三 重心的有关性质】 【例3】（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，已知点G是ABC的重心，那么等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 1．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，F是的重心，连接并延长交于D，连接并延长交于E．若的面积是4，则四边形的面积是（    ）    A．2 B．5 C．3 D．4 2．（2023·上海长宁·一模）如图，在中，，点G为的重心，若，，那么的长等于______． 3．（2023·四川乐山·中考真题）在△中，已知是边的中点，是△的重心，过点的直线分别交、于点、. （1）如图1，当∥时，求证：； （2）如图2，当和不平行，且点、分别在线段、上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. （3）如图3，当点在的延长线上或点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. 【经典例题四 相似三角形的判定与性质综合】 【例4】（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在中，，是边上一点，过作交边于点，交的延长线于点，连接．如果，，，那么的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 1．（23-24八年级下·上海·期末）在中，点、分别在边、上，以下能推出的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023·湖北省直辖县级单位·一模）如图，在中，分别为上的点，分别交于点、，且，有下面四个结论：①；②；③点是的中点；④．其中所有正确结论的序号是 ． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）矩形中，，，动点在边上，不与点、重合，过点作的垂线，交直线于点，交射线于点． (1)如图，当点在延长线上时，求的值；在点的运动过程中，的值是否发生改变？ (2)设，用含的代数式表示线段的长； (3)如果点在延长线上，当与相似时，求的长． 【经典例题五 利用相似三角形的性质求解】 【例5】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（    ） A． B． C． D． 1．（23-241九年级上·上海·期中）如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海金山·期末）在中，，P是上的一点，Q为上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知：如图，在中，点，分别在，上， ，．    (1)写出图中所有与相似的三角形 (2)如果，，的面积为，求面积． 【经典例题六 证明三角形的对应线段成比例】 【例6】（22-23九年级下·浙江嘉兴·开学考试）《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则(　　 A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则 ． 3．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【经典例题七 利用相似求坐标】 【例7】 （2023·九年级单元测试）平面直角坐标系中有一直线，先将其向右平移3个单位得到，再将作关于x轴的对称图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，则直线的解析式为（     ）. A． B． C． D． 1．（2023·海南·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 【经典例题八 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例8】 （2023秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2023秋·河南周口·九年级校考期中）如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（2023春·九年级课时练习）如图，在边长相等的正方形网格中，A、B、C 为小正方形的顶点，则∠ABC= ． 3．（2023秋·北京通州·九年级校考阶段练习）在中，    (1)如图1，P是上的点，过点P作直线截，使截得的三角形与相似．例如：过点P作交于D，则截得的与相似．请你在图中画出所有满足条件的直线． (2)如图2，Q是上异于点B，C的动点，过点Q作直线截，使截得的三角形与相似，直接写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线） 【经典例题九 相似三角形——动点问题】 【例9】（2023春·重庆渝中·八年级统考期末）如图，中，，，，D为的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（），连接，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ）    A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5 1．（2023·山西运城·统考二模）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．点的运动速度为，设点的运动时间为（），的长度为（），与的函数图像如图2所示．当恰好平分时，的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．    3．（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．    (1)求线段的长； (2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【经典例题十 相似三角形的综合问题】 【例10】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形，分别以、为边向内作等边三角形（图1）；分别以、为边向内作等边三角形（图2），两个等边三角形的重叠部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（  ） A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.2 2．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，则点F到直线AD的距离为 ． 3．（2023·江苏苏州·统考三模）【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．    (1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 (2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】 (3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________． 1．（23-24九年级上·上海静安·课后作业）下列语句中，不正确的是（    ） A．两个三角形相似，且有一条边相等，则两个三角形全等 B．两个三角形相似，且周长相等，则两个三角形全等 C．两个三角形相似，且面积相等，则两个三角形全等 D．两个三角形相似，且相似比为1，则两个三角形全等 2．（2023·上海虹口·一模）如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（    ） A． B．4 C．6 D．8 3．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 4．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，光线从点处射出射向轴上的点P，经轴镜面反射后，光线经过点，则的长度是(    )      A． B．1 C． D． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 6．（23-24九年级下·上海崇明·期中）如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ． 7．（2023·上海虹口·一模）一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是 平方分米． 8．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，从点发出一束光，经x轴反射，过点，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 . 9．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，则灯杆的高度是 ． 10．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如图，，，且，，，点P是线段DB上一动点，当 时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似． 11．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，G为的重心，，求的值．    12．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，梯形的周长为16厘米，上底厘米，下底厘米，分别延长和交于点P，求的周长． 13．（23-24八年级下·上海·期末）如图：已知在中，是边上一点，连结、，延长、相交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 14．（2023·上海长宁·一模）已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 15．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相似三角形的判定与性质（10大题型+15道拓展培优） 题型一 证明两三角形相似 题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 题型三 重心的有关性质 题型四 相似三角形的判定与性质综合 题型五 利用相似三角形的性质求解 题型六 证明三角形的对应线段成比例 题型七 利用相似求坐标 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型九 相似三角形——动点问题 题型十 相似三角形的综合问题 知识点一、相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 知识点二、相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【经典例题一 证明两三角形相似】 【例1】（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【详解】解：∵，， ∴．故（c）正确． ∵平分， ∴， ∴．故（b）正确． ∴， ∴， ∴．故（d）正确． 而不能证明，故（a）错误． ∴错误的有个， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 1．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）下列两个三角形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个面积相等的三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定即可得到答案． 【详解】解：两个直角三角形只可以确定一组角相等，无法判定相似，故选项A错误； 两个等腰三角形确定两边对应成比例，无法判定相似，故选项B错误； 两个等边三角形三个角对应相等，可以判定相似，故选项C正确； 两个面积相等的三角形，只能得到底和高积相等，无法判定相似，故选项D错误． 故选：C． 2．（23-24八年级下·上海普陀·期末）如图，已知矩形，将其折叠，使点与点重合，折痕是那么折痕的长是 ． 【答案】 【分析】连接BD交EF于点O，则O是BD的中点，易证，根据相似三角形的对应的边的比相等，即可求得OE的长，再根据即可求解． 【详解】如图所示，B点与D点重合后，折痕为EF，连接BD交EF交于点O，则O是BD的中点， 在中，， 则， ∵B、D关于EF对称， ∴， 又∵矩形ABCD中，， ∴， 在与中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、三角形相似等知识点，熟练掌握翻折变换和三角形相似的判定与性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·上海静安·课后作业）如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．    【答案】△ADE∽△BDA 【分析】先利用勾股定理求得AD=，进而有，又∠ADB=∠ADB ，利用“两组边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似”即可证得△ADE∽△BDA． 【详解】∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE， ∴AD=，BD=2， ∴， ∵∠ADB=∠ADB， ∴△ADE∽△BDA． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键． 【经典例题二 选择或补充条件使两个三角形相似】 【例2】（22-23九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①由题意得出，证明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC=∠ABD，则可证出结论；②不能证明△ABC与△ADC相似，得出②不符合题意；证出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质得出∠ADC=∠BAC=90°，可得出③符合题意；根据不能证明△ABC与△ABD相似，则可得出结论． 【详解】解：①∵AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°， ∵， ∴， ∴△ADC∽△BDA， ∴∠DAC=∠ABD， ∴∠ABD+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90°， 即∠BAC=90°， 故①符合题意； ②∵AB•CD=AC•AD， ∴， ∵∠ADB=∠ADC=90°， ∴△ABD∽△CAD， ∴∠ABD=∠CAD， ∴∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠BAC=90°， 故②符合题意； ③∵， ∴， ∵∠ACD=∠BCA， ∴△ACD∽△BCA， ∴∠ADC=∠BAC=90°， 故③符合题意； ④由不能证明△ABC与△ABD相似， 故④不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 1．（23-24九年级上·上海静安·课后作业）在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（    ） A． B．∠ADE=∠ACB C．AE﹒AC=AB﹒AD D． 【答案】D 【分析】由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可． 【详解】解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意； 两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意； 由AE﹒AC=AB﹒AD得，且∠A=∠A，故可得△ABC与△ADE相似，所以选项C不符合题意； 而D不是夹角相等，故选项D符合题意； 故选：D 【点睛】相似三角形的判定： （1）两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 2．（2023·上海宝山·一模）如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）． 【答案】∠ADE=∠B 【详解】分析：由于△ADE和△ABC有一个公共角，所以根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可添加∠ADE=∠B，使△ADE∽△ABC． 详解： 当∠ADE=∠B， ∵∠EAD=∠CAB， ∴△ADE∽△ABC． 故答案为∠ADE=∠B． 点睛：考查了相似三角形的判定：解题关键是运用相似三角形的判（两组对应角相等的两个三角形相似）． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【答案】不相似，或或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解  不一定相似，因为，不是成比例的两边的夹角， 可添加：或或． 【经典例题三 重心的有关性质】 【例3】（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，已知点G是ABC的重心，那么等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 【答案】B 【分析】连接AG延长交BC于点D，由G是重心可得D是BC的中点，所以S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，进而得到3S△BCG＝S△ABC，即可求解． 【详解】解：连接AG延长交BC于点D， ∵G是△ABC的重心， ∴D是BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG， ∵AG＝2GD， ∴2S△BGD＝S△ABG，2S△CGD＝S△ACG， ∴3S△BCG＝S△ABC， ∴S△BCG：S△ABC＝1：3， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键． 1．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，F是的重心，连接并延长交于D，连接并延长交于E．若的面积是4，则四边形的面积是（    ）    A．2 B．5 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了重心的概念：重心是三角形三边中线的交点，三角形中线的性质； 根据重心的概念，得到是的中线，故可得，进而推出的面积和四边形的面积相等，即可解答． 【详解】解：是的重心， 是的中线， ， 四边形的面积， 故选：D． 2．（2023·上海长宁·一模）如图，在中，，点G为的重心，若，，那么的长等于______． 【答案】 【分析】点G为的重心，就是三角形的三条中线交点，因此延长，交、于点D，E，即可得解． 【详解】解：延长，交、于点D，E， ∴，，， 则， 答案：． 【点睛】本题考查重心概念以及性质内容，这是做辅助线的线索，也是本题解题的关键． 3．（2023·四川乐山·中考真题）在△中，已知是边的中点，是△的重心，过点的直线分别交、于点、. （1）如图1，当∥时，求证：； （2）如图2，当和不平行，且点、分别在线段、上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. （3）如图3，当点在的延长线上或点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）（1）中结论成立，理由见解析；（3）（1）中结论不成立，理由见解析. 【分析】（1）根据G为重心可知，由EF∥BC可知,，故 （2）过点作∥交的延长线于点，、的延长线相交于点，则，，故要求式子，又，D是的中点，即，故有，所以原式，又有，得，故结论成立； （3）由G点为重心可知，当点与点重合时，为中点，，故当点在的延长线上时，，,则，同理：当点在的延长线上时，，故结论不成立. 【详解】（1）证明： 是△重心 ,    又∥, ,,      则.           （2）（1）中结论成立，理由如下： 如图，过点作∥交的延长线于点，、的延长线相交于点， 则， 又 而是的中点，即 又 结论成立； （3）（1）中结论不成立，理由如下： 当点与点重合时，为中点，, 点在的延长线上时，, ,则， 同理：当点在的延长线上时，， 结论不成立. 【点睛】本题考查了三角形的重心，相似三角形的性质和判定，分类讨论思想，解本题的关键是通过三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1与相似比结合来解题，并合理作出辅助线来解题. 【经典例题四 相似三角形的判定与性质综合】 【例4】（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在中，，是边上一点，过作交边于点，交的延长线于点，连接．如果，，，那么的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，由相似三角形的性质得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 1．（23-24八年级下·上海·期末）在中，点、分别在边、上，以下能推出的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定；画出图形，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：画出图形如下： A、由，不能得出，故不能判定； B、由，不能得出，故不能判定； C、，则有，，则，，从而； D、由，不能得出，故不能判定； 故选：C． 2．（2023·湖北省直辖县级单位·一模）如图，在中，分别为上的点，分别交于点、，且，有下面四个结论：①；②；③点是的中点；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据，得出，，根据相似三角形的性质，即可判断①；根据平行线的性质得出，根据三角形的外角的性质得出，继而得出，则可判断②；证明，进而得出，根据，设，则，得出，进而证明，即可判断③；证明，根据相似三角形的性质得出， 即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴①的结论正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴与不可能相似． ∴②的结论不正确； ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴点是的中点． ∴③的结论正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴④的结论正确． 综上，正确的结论有：①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）矩形中，，，动点在边上，不与点、重合，过点作的垂线，交直线于点，交射线于点． (1)如图，当点在延长线上时，求的值；在点的运动过程中，的值是否发生改变？ (2)设，用含的代数式表示线段的长； (3)如果点在延长线上，当与相似时，求的长． 【答案】(1)不变，理由见解析 (2)或； (3)当与相似时，的长为或． 【分析】（1）分点在延长线上、点在上两种情况，证明，根据相似三角形的性质解答； （2）分点在延长线上、点在上两种情况，根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算，得到答案； （3）分、两种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】（1）解：如图1，设与交于点， 当点在延长线上时， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图2，当点在上时， 同理可证，， ， 综上所述，在点的运动过程中，的值不发生改变； （2）解：如图1，当点在延长线上时， ，， ， 由（1）可知：， ， ∵， ，即， 解得：； 如图2，当点在上时， ，， ， 由（1）可知：， ， ∵， ，即， 解得：； （3）解：如图3，当时，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 当时，设，则，， ， ∵， ，即， 解得：， ， ，即， 整理得：， 解得：，（舍去）， 综上所述：当与相似时，的长为或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【经典例题五 利用相似三角形的性质求解】 【例5】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4， ∴两个相似三角形的相似比为1：4， ∴它们的对应角平分线之比为1：4， 故选：A． 【点睛】本题考查了对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 1．（23-241九年级上·上海·期中）如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答． 【详解】解：∵对应高之比是1：2， ∴相似比=1：2， ∴对应周长之比是1：2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比． 2．（23-24九年级上·上海金山·期末）在中，，P是上的一点，Q为上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，当时，只要满足，都能满足题意；当时，得到，则，再由，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当时， ∴， ∴只要满足，都能满足题意；    如图所示，当时， ∵直线把分成面积相等的两部分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是． 故答案为：    3．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知：如图，在中，点，分别在，上， ，．    (1)写出图中所有与相似的三角形 (2)如果，，的面积为，求面积． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）根据相似三角形的判定可直接得出结论； （2）根据条件可知，，所以，分别设出的面积为，则的面积为，建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 图中与相似的三角形有和； （2），， ， ， 设的面积为，则的面积为， ， 解得：， 的面积为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟知相关性质是解题关键． 【经典例题六 证明三角形的对应线段成比例】 【例6】（22-23九年级下·浙江嘉兴·开学考试）《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵规定为单位线段1， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键． 1．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则(　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定△DEF∽△BAF，然后利用相似三角形的性质求解. 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC=AB=5 ∴△DFE∽△BFA， ∵ ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键． 2．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则 ． 【答案】4 【分析】根据∠ADE=∠C及∠A为公共角可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质可得，进而求出AD的值即可. 【详解】∵∠ADE=∠C，∠A为公共角， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵DE=3，BC=6，AC=8， ∴， 解得：AD=4， 故答案为：4 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 3．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 【经典例题七 利用相似求坐标】 【例7】 （2023·九年级单元测试）平面直角坐标系中有一直线，先将其向右平移3个单位得到，再将作关于x轴的对称图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，则直线的解析式为（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线，先将其向右平移3个单位得到，取两点（0，11），（1，9），求得其关于x轴的对称点(0，-11)，(1，-9)，待定系数法确定的解析式为y=2x-11，确定与y轴交点（0，-11），根据与垂直，利用相似和待定系数法确定的系数为，从而得到解析式． 【详解】根据直线，先将其向右平移3个单位 得到， 取两点（0，11），（1，9）， 所以关于x轴的对称点(0，-11)，(1，-9)， 设解析式为y=kx+b， 所以， 解得， 所以解析式为y=2x-11， 所以与y轴交点A（0，-11），与x轴交点B（，0）， 设与x轴的交点为C， 所以OA=11，OB=， 因为绕与y轴的交点逆时针旋转得到， 所以∠OAC+∠OAB=90°， 因为∠OBA+∠OAB=90°， 所以∠OBA=∠OAC， 因为∠BOA=∠AOC=90°， 所以△BOA∽△AOC， 所以， 所以， 解得OC=22， 所以点C（-22，0） 因为过点（0，-11）， 所以的解析式为y=kx-11， 所以22k-11=0, 解得k=， 所以解析式． 故选A． 【点睛】本题考查了待定系数法，轴对称，平移，旋转，熟练掌握待定系数法，理解旋转的性质和意义是解题的关键． 1．（2023·海南·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 2．（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴， 当与相似时，则可分： ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点即可； （2）求出直线，直线的解析式，构建方程组求解． 【详解】（1）如图，点即为所求；    （2）∽， ：：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 直线的解析式为， 由，解得， 【点睛】本题考查作图相似变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数确定交点坐标． 【经典例题八 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例8】 （2023秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设网格的边长为1，则①三角形的三边之比是，分别求出五个三角形的三边的比，符合这个结果就是与①相似的． 【详解】解：①三角形的三边之比是， ②中，， ③中， ④中， ⑤中， ⑥中， 故与①相似的三角形的序号是③④⑤． 故选C． 【点睛】本题主要考查两三角形相似，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑． 1．（2023秋·河南周口·九年级校考期中）如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】根据网格图形可得所给△EFG是两直角边分别为1，2的直角三角形，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可． 【详解】解：观察图形可得△EFG中，直角边的比为， 观各选项，，只有D选项三角形符合，与所给图形的三角形相似． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的关键． 2．（2023春·九年级课时练习）如图，在边长相等的正方形网格中，A、B、C 为小正方形的顶点，则∠ABC= ． 【答案】135°． 【分析】由题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，求出各边的边长，然后利用全等三角形的判定和性质，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，如图： 由勾股定理，则 ，，，，，， ∴，，， ∴， ∴△ABC∽△DBE， ∴∠ABC=∠DBE=90°+45°=135°． 故答案为：135°． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是正确的确定格点，利用全等三角形的性质进行解题． 3．（2023秋·北京通州·九年级校考阶段练习）在中，    (1)如图1，P是上的点，过点P作直线截，使截得的三角形与相似．例如：过点P作交于D，则截得的与相似．请你在图中画出所有满足条件的直线． (2)如图2，Q是上异于点B，C的动点，过点Q作直线截，使截得的三角形与相似，直接写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线） 【答案】(1)见解析 (2)当时，满足条件的直线有4条；当时，满足条件的直线有3条 【分析】（1）利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理过点P作两条，再利用两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理，过点P作两条． （2）把Q点看成从C点出发到B点的动点，发现当Q点在某一个位置时，所作截的三角形与原三角形相似的数量减少了一个，通过此时的临界条件把的长度计算出来，进行分类说明． 【详解】（1）解：如图所示： 第一种：利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，过点P分别作与的平行线与．分别得到， ． 第二种：利用两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理，过P分别作垂直于点G，作交于点F，使．分别得到， ．    （2）解：    如图所示，假设点Q从点C开始往点B移动，由（1）可知，作， 得．作交于点F，使，得． 作，得．作，得． 当移动到位置时，此时出现点F于点A重合，此时是一个临界点，利用得，则，又此时，所以 该点往左移动，不能在三角形内做出作交于点F，该点往右移动，可以在三角形内做出作交于点F，使． 故当时，满足条件的直线有4条； 当时，满足条件的直线有3条． 【点睛】本题通过画图综合性的考察了三角形相似的判定，作图时运用到了平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理．在做此类试题时考虑必须全面，不能漏掉解． 【经典例题九 相似三角形——动点问题】 【例9】（2023春·重庆渝中·八年级统考期末）如图，中，，，，D为的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（），连接，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ）    A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5 【答案】C 【分析】求出，分两种情况：①当时，，，得出，即可得出；②当时，证出，得出，因此，得出，；即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 分两种情况： ①当时， ，， ∵D为的中点， ∴，E为的中点，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为2或3.5； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论． 1．（2023·山西运城·统考二模）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．点的运动速度为，设点的运动时间为（），的长度为（），与的函数图像如图2所示．当恰好平分时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作的平分线交于点，先证，再证，利用相似三角形的性质得出，即可求得． 【详解】解：如图1，作的平分线交于点，由题意中的函数图像知， ，， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是证明． 2．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．    【答案】或 【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与相似，则要分两种情况进行分析．分别是或，利用相似的性质得出比例线段并建立方程即可． 【详解】解：设经x秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与相似， 则，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，    ①当时，有， ∴，即， 解得； ②当时，有， ∴，即， 解得， ∴经过2秒或秒时,以P、B、Q为顶点的三角形与相似． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确分类是解题的关键． 3．（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．    (1)求线段的长； (2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)在运动过程中存在某一时刻，使得，的值为：3或1.8；理由见详解 【分析】（1）由勾股定理求得，由三角形面积公式得出，即可得出结果； （2）由勾股定理求得，过点作于，则，则，得出，即，求出，，即可得出结果；，，即，进而求解即可 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 解得：； （2）解：由（1）可得， 过点作于，如图所示： ， ， ， ，即， ， ； ， ，即：， 整理得：， 解得：，， 在运动过程中存在某一时刻，使得，的值为：3或1.8．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【经典例题十 相似三角形的综合问题】 【例10】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形，分别以、为边向内作等边三角形（图1）；分别以、为边向内作等边三角形（图2），两个等边三角形的重叠部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将阴影部分分别分割成两个规则图形，图一可以分为两个梯形，图二可分成两个三角形，设设=m，令AB=1,则AD=m，利用相似求出图形面积，结合面积比即可求出． 【详解】 设=m，令AB=1,则AD=m， ∵两个正三角形以AD、BC为底，所得图形是对称图形， ∴EF所在直线平行AD与BC， ∴AM=BM=， ∵∠HBE=90°-60°=30°， ∴AH=， ∴ME= 根据对称性关系可知EF=m-2×=m-，HG=m- ∴梯形EFGH面积= ∴S1=， 同理根据图二可知 AK=，△ABR的高为， ∴△QPR的高为， 根据△QPR∽△ABR， 求得PQ= ∴三角形PQR面积=， ∴S2=， ∵， 整理得到：， ∴化简求得m=或（舍弃）， ∴=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似三角形、等边三角形有关知识，对知识的灵活运用要求较高，注重培养学生的分析问题和知识综合运用能力． 1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（  ） A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.2 【答案】A 【分析】设AA′=x，先证△AA'E∽△ADC，利用相似的性质用含x代数式表示出A′E，再根据阴影部分为平行四边形利用面积建立二次函数解析式，通过最值即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 设AA′=x，则DA′=2-x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=3，AD=BC=2， ∵EA′∥CD， ∴△AA'E∽△ADC， ∴， 即， ∴A′E=x， ∵EA′∥CD，CA′∥CA， ∴阴影部分为平行四边形， ∴阴影部分的面积： S=EA′·DA′=， 即当，阴影部分的面积最大为， ∴当平移的距离AA′=1时，两个三角形重叠部分的面积最大. 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平移的性质、相似的判定及性质、二次函数的最值.根据相似的性质得出比例线段，并利用面积建立二次函数是解题的关键. 2．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，则点F到直线AD的距离为 ． 【答案】． 【分析】先过F作MN⊥BC，根据已知条件与折叠的性质得到△AFN∽△FEM，再根据相似的性质得到，设出未知数，求解出答案即可． 【详解】解：过F作MN⊥BC， ∵BE=，BC=10， ∴BE=6， ∵翻折 ∴△ABE≌△AFE， ∴EF=BE=6，∠AFE=∠B=90°，AF= AB=8， ∴∠AFN+∠EFM=90°， ∵∠AFN+∠FAN=90°， ∴∠FAN=∠EFM， ∴△AFN∽△FEM， ∴， 设AN=4x，FM=3x， FN=8-3x，EM=4x-6， ∴FN=8-3x，EM=4x-6， ∴， ∴， 经检验：是原方程的根， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定与性质，关键在于作出辅助线，根据折叠的性质证明出三角形相似． 3．（2023·江苏苏州·统考三模）【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．    (1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 (2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】 (3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解； （2）构造矩形，延长交于点G， 由（1）中结论可得：，，设，，则，，，，再证明，则，即可求出，即可求解； （3）连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，证明，，根据，得出，设，则，，得出，即可求出，由（1）中结论可得：，最后证明四边形为平行四边形，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：构造如图所示矩形，延长交于点G， 由（1）中结论可得：， ∵， ∴设，， ∵点为的中点， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵， ∴，则，， 解得：，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴；    （3）解：连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 设， 则，， ∴，整理得：， ∴， 由（1）中结论可得：． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形是四个角都是直角的平行四边形，相似三角形对应边成比例，以及正确作出辅助线，构造题中所给几何模型，进行解答． 1．（23-24九年级上·上海静安·课后作业）下列语句中，不正确的是（    ） A．两个三角形相似，且有一条边相等，则两个三角形全等 B．两个三角形相似，且周长相等，则两个三角形全等 C．两个三角形相似，且面积相等，则两个三角形全等 D．两个三角形相似，且相似比为1，则两个三角形全等 【答案】A 【分析】由相似求全等，即在相似的基础上，再得出其对应边相等即可，而题干中只有当面积与周长相等时，才可得出其对应边相等，而A中叙述并不是对应边，所以叙述错误． 【详解】A中相似三角形一边为公共边，但并没有说明是对应边，所以A说法不正确； B中用反证法，假如不全等，但是相似，则周长不相同． 这和题目给出的周长相等矛盾，因此必全等，故B正确； 由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，如果面积相等，则相似比为1，所以全等，故CD正确． 故选：A 【点睛】本题主要考查了相似三角形及全等三角形的性质及判定问题，能够熟练掌握这两类三角形的性质及区别，在以后的解题过程中能够熟练求解． 2．（2023·上海虹口·一模）如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（    ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．连接并延长交于D，根据点G是的重心，得到，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于D， ∵点G是的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 4．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，光线从点处射出射向轴上的点P，经轴镜面反射后，光线经过点，则的长度是(    )      A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据反射角等于入射角推得其余角也相等，从而可证，再推得对应线段成比例，可求得的长度． 【详解】根据物理学光的反射定律：光在发生反射时，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 如图，为法线，则入射角等于反射角，即，过B作x轴的垂线，垂足为点C．      又∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，设， ∴， ∴ 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到判定两三角形相似对应的角相等． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 6．（23-24九年级下·上海崇明·期中）如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查三角形中线的性质和相似三角形的判定和性质的理解及运用．利用该定理时要注意线段之间的对应关系． 由点G是重心，得出是的边上的中线，确定，，再由相似三角形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：∵点G是重心， ∴是的边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴故答案为：． 7．（2023·上海虹口·一模）一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是 平方分米． 【答案】24 【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理的逆定理，由相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似求出三角形最大的三边，根据勾股定理的逆定理判断新三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：当长是6分米的木条与三角形框架模型的边长最短的3分米一条边是对应边时，做出的三角形的三边最大，面积最大， 设长是4分米，5分米的边的对应边的长分别是分米，分米， ， ，， 其他两条边的长分别是8分米，10分米， ， 做出的三角形是直角三角形，直角边分别是6分米，8分米， 做出的三角形的面积为（平方分米）． 故答案为：24． 8．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，从点发出一束光，经x轴反射，过点，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 . 【答案】５ 【分析】先过点B作BD⊥x轴于D，再由A、B的坐标确定，即可得OA,BD,OD的长度，由题意可证得△AOC∽△BDC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求解. 【详解】解：如图， 过点B作BD⊥x轴于D， ∵A（0，2），B（5，3）， ∴OA=2，BD=3，OD=5， 由反射定律可得：∠ACO=∠BCD， 又∵∠AOC=∠BDC=90° ∴△AOC∽△BDC， ∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3， ∴OC=2，OD=3 在Rt△BCD中，CD=3，BD=３ ∴BC＝＝ 又∵AC：BC=2：3 ∴AC＝ ∴AC+BC＝5 ..故选5. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及点与坐标的性质，解此题的关键是作出辅助线，构造相似三角形. 9．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，则灯杆的高度是 ． 【答案】6.4m 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出的长是解题关键．根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， 把代入， 解得：， 故答案为：6.4m． 10．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如图，，，且，，，点P是线段DB上一动点，当 时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似． 【答案】2或12或5.6 【分析】根据已知可以分△PDC△ABP或△PCD△PAB两种情况进行分析． 【详解】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB， ∴∠D=∠B= 90°， 设DP= x, 当PD：AB= CD ：PB时，△PDC△ABP， ∴， 解得DP = 2或12， 当PD：PB= CD：AB时，△PCD△PAB， ∴， 解得DP= 5.6， ∴DP = 5.6或2或12． 故答案为：2或12或5.6． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 11．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，G为的重心，，求的值．    【答案】24 【分析】G为的重心，判断出点是边的中点，即可判断出；即可得出，求出即可得出结论． 【详解】解： 点为的重心， ， ∴ ， ， 点为的重心， 点是边的中点， ； 点为的重心， ， ， ， ∴． 【点睛】此题主要考查了三角形的重心的性质和应用以及相似，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：重心就是三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 12．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，梯形的周长为16厘米，上底厘米，下底厘米，分别延长和交于点P，求的周长． 【答案】cm 【分析】由梯形可知，则，根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：梯形， ， ， ，即， ， ，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 13．（23-24八年级下·上海·期末）如图：已知在中，是边上一点，连结、，延长、相交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的判定定理是本题的关键． （1）通过证明，可得结论； （2）通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 14．（2023·上海长宁·一模）已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）运用ASA证明△求出FD的长再运用三角形面积公式即可得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式； （3）分点在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解（1）过M作MH⊥DC，垂足为H，如图1 易得四边形ADHM是正方形， ∵ 又∠FED=∠MEA ∴△ ∴ ∵ ∴∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∵， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴△FMH∽△MCH ∴ ∴， ∴ （2）过M作MH⊥DC，过G点作GP⊥DC，垂足分别为H，P，如图2， ∵， ∴， ∵MH⊥DC， ∴∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠HCM=90° ∵∠FMC=90°， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴ ∴，即， ∴ ∴，， ∴ ∴ 由可得 ∴定义域为 （3）点在矩形内部时,延长DG交AB于J，联结AG，AF，如图 ∵ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴∠ ∵∠ ∴∠ ∴∠ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴ 点在矩形外部时，延长DG交BA延长线于L，联结DM，如图 ∵， ∴， ∴ ∵∠，∠FMC为直角， ∴，垂直平分 ∴，， ∴ 综上，或 【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键． 15．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】(1)古树的高度为13.5米 (2)小丽向前移动了7米 【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用： （1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 学科网（北京）股份有限公司 $$