第04讲 二次根式的加减及混合运算(六类知识点+十一大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第04讲 二次根式的加减及混合运算（十一大题型） 学习目标 1、 掌握二次根式的加减及混合运算； 2、 理解分母有理化，会求有理化因式； 3、了解二次根式混合运算的应用. 1.二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 【方法规律】 （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 【即学即练】计算： ． 2.分母有理化 思考：把代数式和中分数线下的式子看作分母，前一个分母是根式，后一个分母是整式，这两个分母之间有什么关系？怎样把转化为3b? 把的分数线上，下两式看作两个数相除，利用除法的性质以及根式乘法的法则可得 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。分母有理化的方法：一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。 【即学即练】分母有理化： ． 3. 有理化因式 思考： 利用平方差公式，得 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。如与互为有理化因式；与也互为有理化因式。 【即学即练】的有理化因式是 ． 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 【方法规律】 (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【即学即练】计算： ． 5.二次根式的比较大小 1. 能化简成同类二次根式的，化简后比较系数，系数大的二次根式就大； 2. 不能化简成同类二次根式的： （1） 正数大于负数； （2） 同为正数时，进行平方运算，结果大的二次根式就大； 【即学即练】比较大小： ． 6．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【即学即练】不等式的解集是 ． 题型1：二次根式的加减法-数字型 【典例1】．的计算结果是（       ） A．5 B． C． D． 【典例2】．化简：______． 【典例3】．计算：______． 题型2：二次根式的加减法-字母型 【典例4】．计算：（1）________；            （2）_________． 【典例5】．计算；（1）________；（2）________． 【典例6】．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________． 【典例7】．的值一定是（       ） A．正数 B．非正数 C．非负数 D．负数 题型3：二次根式的混合运算-数字型 【典例8】．计算：_____________． 【典例9】．计算：（       ） A．4 B．5 C．6 D．8 【典例10】．计算：________． 【典例11】．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【典例12】．计算：______． 【典例13】．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 题型4：分母有理化 【典例14】．计算：______． 【典例15】．计算：． 【典例16】．计算： 【典例17】．化简：； 题型5：有理化因式 【典例18】．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【典例19】．的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【典例20】．下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 【典例21】．写出2﹣n的一个有理化因式： ． 题型6：分母有理化的代数应用 【典例22】．式子的倒数是（    ） A． B． C． D． 【典例23】．已知则a与b的关系是(  ) A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【典例24】．甲，乙两同学对代数式(m＞0，n＞0)分别作了如下变形： 甲：； 乙：． 关于这两种变形过程的说法正确的是(　　) A．甲，乙都正确 B．甲，乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【典例25】．若a＝，b＝2+，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型7：二次根式的大小比较 【典例26】．请用“，，”符号比较大小：__________． 【典例27】．比较大小：______；化简：＝______． 【典例28】．比较大小：（1）_________； （2）_________； （3）_________； （4）_________． 题型8：二次根式的混合运算-字母型及复合型 【典例29】．若m，n为有理数，且，则mn=_____. 【典例30】．若a、b为有理数，且，则________，________． 【典例31】．已知，则（       ） A． B． C． D． 【典例32】．已知：，，则的值为（       ） A．5 B．-5 C．25 D．5或-5 【典例33】．已知，，则______． 题型9：二次根式的混合运算与分式 【典例34】．先化简，再求值：，其中． 【典例35】．已知，则的值． 【典例36】．先化简，再求值： 已知a＝，求的值． 题型10：复杂的二次根式混合运算 【典例37】．计算：． 【典例38】．计算： (1)； (2)． 【典例39】． 【典例40】．计算： （1）； （2）． 题型11：二次根式混合运算的代数、几何应用 【典例41】．一个长方形的长和宽分别是和，这个长方形的长与宽的和=________． 【典例42】．解不等式： 【典例43】．解不等式：； 【典例44】．如图是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为的小数部分，则输出的数值为_________． 【典例45】．宋代数学家秦九韶，古希腊数字家海伦在探究三角形面积的求解过程中发现，若一个三角形的三边长分别为，，，设，则这个三角形面积为：，并进行了严格证明，这个公式叫海伦秦九韶公式，当，，时，三角形边上的高等于（   ） A． B． C． D． 【典例46】．若＝2.5，则的值为_____． 一、单选题 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 5．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 6．计算的结果为(    ) A．-1 B．0 C．1 D． 7．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A．6 B．16 C． D． 9．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 二、填空题 11．计算： ． 12．计算的结果是 ． 13．比较大小： ． 14．不等式的解集是 ． 15．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为 ． 16．已知点A，B，C在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是，点B是的中点，线段，则点C表示的数是 ． 17．若的整数部分为a，小数部分为b，求 的值为 ． 18．设，，，…，．设，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）． 三、解答题 19．计算：； 20．计算：． 21．计算： 22．计算： 23．（1）计算：； （2）计算：（其中）． 24．先化简，再求值：，其中，． 25．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 26．计算下列各式： (1) (2) (3) 27．如图，某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为 米，宽为 米． (1)求长方形的周长（结果化为最简二次根式）． (2)除去修建花坛的地方，其他位置全部修建为通道，通道上要铺上造价为26 元/平方米的地砖．要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少钱? 28．阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 29．材料：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径．恒等变形，是代数式求值的一个重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 如：当时，求的值．若直接把代入所求的式中进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答． 方法：将条件变形，由，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算． 由，平方得，整理可得：，即． 所以 请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题： (1)若，则_____________，_____________； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 30．若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明） 例如： 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 (1)求的值； 【能力提升】 (2)设，求S的整数部分． 【拓展升华】 (3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次根式的加减及混合运算（十一大题型） 学习目标 1、 掌握二次根式的加减及混合运算； 2、 理解分母有理化，会求有理化因式； 3、了解二次根式混合运算的应用. 1.二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 【方法规律】 （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 【即学即练】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，解题的关键是能正确合并同类二次根式． 根据二次根式加减运算法则计算即可． 【解析】 ． 故答案为：． 2.分母有理化 思考：把代数式和中分数线下的式子看作分母，前一个分母是根式，后一个分母是整式，这两个分母之间有什么关系？怎样把转化为3b? 把的分数线上，下两式看作两个数相除，利用除法的性质以及根式乘法的法则可得 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。分母有理化的方法：一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。 【即学即练】分母有理化： ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，根据，分子和分母同时乘上，化简即可作答． 【解析】解：依题意， 故答案为： 3. 有理化因式 思考： 利用平方差公式，得 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。如与互为有理化因式；与也互为有理化因式。 【即学即练】的有理化因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数因式的定义，根据“ 如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式”，即可解答． 【解析】解：∵ ， ∴的有理化因式是， 故答案为：． 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 【方法规律】 (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【即学即练】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算括号里，再算除法即可． 【解析】解：原式． 故答案为：． 5.二次根式的比较大小 1. 能化简成同类二次根式的，化简后比较系数，系数大的二次根式就大； 2. 不能化简成同类二次根式的： （1） 正数大于负数； （2） 同为正数时，进行平方运算，结果大的二次根式就大； 【即学即练】比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式性质的应用，把根号外的因式移入根号内，再比较即可． 【解析】解：，， ， ． 故答案为：． 6．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【即学即练】不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】根据移项、合并同类项、把x系数化为1，然后把分母有理化，即可求出解集． 【解析】解： 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化1，可得：， 分母有理化，可得：， ∴不等式的解集是． 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式、二次根式分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型1：二次根式的加减法-数字型 【典例1】．的计算结果是（       ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次根式的运算法则即可求解． =, 故选C． 【点睛】 此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 【典例2】．化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】 先进行化简，然后作差求解即可． 解：原式 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的化简与减法运算．解题的关键在于正确的计算． 【典例3】．计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】 首先化简二次根式，进而合并求出即可． 解：原式． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 题型2：二次根式的加减法-字母型 【典例4】．计算：（1）________；            （2）_________． 【答案】          【解析】 【分析】 根据合并同类二次根式的法则计算即可； 解：（1）， （2）； 故答案为：， 【点睛】 本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式的法则是解题的关键 【典例5】．计算；（1）________；（2）________． 【答案】          或 【解析】 【分析】 （1）先化简二次根式，然后根据合并同类二次根式的法则计算即可； （2）讨论x和a同时大于0和同时小于0，利用二次根式的性质化简即可． 解：（1）， （2）∵和有意义， ∴ 当，时； 当，时； 故答案为：，或 ． 【点睛】 本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式的法则是解题的关键． 【典例6】．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________． 【答案】6-2 【解析】 合并同类二次根式得： 5-3-7+9=6-2. 故答案：6-2. 【典例7】．的值一定是（       ） A．正数 B．非正数 C．非负数 D．负数 【答案】B 【解析】 【分析】 先化为最简二次根式，然后合并同类项，再根据二次根式有意义确定,，最后确定值的符号即可． 解: = ∵有意义， ∴,， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次根式的化简，及二次根式的加减运算，二次根式有意义条件，熟知此知识点是解题的关键． 题型3：二次根式的混合运算-数字型 【典例8】．计算：_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】 先把分子中的二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算． 解：原式＝． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后进行二次根式的乘除运算． 【典例9】．计算：（       ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式的性质化简括号内的式子，再进行减法运算，最后进行除法运算即可． 原式． 故选C． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简是解题的关键． 【典例10】．计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】 根据二次根式的运算法则和零指数的性质进行计算即可． 解：原式 故答案为1． 【点睛】 本题考查了二次根式的运算法则和零指数，解题关键是熟练运用相关法则，准确进行计算． 【典例11】．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先化简各个二次根式再合并即可. 解：. 故选A. 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简与同类二次根式的合并是解题的关键. 【典例12】．计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】 利用二次根式的混合运算法则计算即可． 解： = =． 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则． 【典例13】．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的混合运算法则进行计算即可 原， 故选D． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 题型4：分母有理化 【典例14】．计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】 先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． 解： 故答案为：． 【点睛】 本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键． 【典例15】．计算：． 【答案】 【解析】 【分析】 分别根据分母有理化、二次根式的乘法和二次根式的性质化简与计算，再合并同类二次根式即可． 解： = =． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【典例16】．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先分母有理化，然后合并同类二次根式即可求解． 【解析】解： 【典例17】．化简：； 【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算及分母有理化，原式进行分母有理化后再进行计算即可得出答案 【解析】解： 题型5：有理化因式 【典例18】．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理化因式的定义，平方差公式，根据有理化因式的定义即可解答． 【解析】解：∵， ∴的一个有理化因式是， 故选：C． 【典例19】．的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键． 根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答． 【解析】解：∵， ∴的有理化因式是． 故选：B． 【典例20】．下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理化因式的特点：单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式．然后根据题意就可以求出其解． 【解析】由题意，得的有理化因式是：， 故选：A． 【点睛】本题考查有理化因式，单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式． 【典例21】．写出2﹣n的一个有理化因式： ． 【答案】 【分析】根据平方差公式即可得出答案． 【解析】解：2﹣n的有理化因式2+n， 故答案为2+n． 【点睛】此题考查了有理化因式的定义：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式，及平方差计算公式，熟记有理化因式的定义是解题的关键． 题型6：分母有理化的代数应用 【典例22】．式子的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式分母有理化的方法进行化简即可． 【解析】解：的倒数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，解题关键是熟练运用二次根式性质进行分母有理化． 【典例23】．已知则a与b的关系是(  ) A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【答案】A 【分析】把的分子分母同乘（），进一步化简与a比较得出结论即可． 【解析】== （）， a=， ∴a与b互为相反数. 故选A. 【点睛】本题考查分母有理化. 【典例24】．甲，乙两同学对代数式(m＞0，n＞0)分别作了如下变形： 甲：； 乙：． 关于这两种变形过程的说法正确的是(　　) A．甲，乙都正确 B．甲，乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】甲的做法是先把分母有理化，再约分；乙的做法是先把分子分解因式，再约分．计算过程中，要考虑m=n这种情况． 【解析】甲的做法是先把分母有理化，再约分，如果m=n则化简不成立； 乙的做法是先把分子分解因式，再约分，正确． 故本题选D． 【点睛】本题考查的是分母有理化的计算方法． 【典例25】．若a＝，b＝2+，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将a乘以可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出的值． 【解析】a＝•＝． ∴． 故选B． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式． 题型7：二次根式的大小比较 【典例26】．请用“，，”符号比较大小：__________． 【答案】＞ 【解析】 【分析】 求出，再比较大小即可． 解：， ∵18＞12， ∴， 故答案为：＞． 【点睛】 本题考查了二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键． 【典例27】．比较大小：______；化简：＝______． 【答案】          ## 【解析】 【分析】 根据可推出，从而可比较两数大小；利用平方差公式分母有理化即可． 解：∵， ∴， ∴即， ∴； ， 故答案为：； ． 【点睛】 本题考查实数的大小比较，和二次根式的化简．能正确得出和利用平方差公式分母有理化是解题关键． 【典例28】．比较大小：（1）_________； （2）_________； （3）_________； （4）_________． 【答案】     > ，     < ，     > ，     < 【解析】 【分析】 （1）先将，变形为 ，有，即可比较大小； （2）利用作差法，即可比较大小； （3）利用作商法，即可比较大小； （4）先将，化为，，又有，即可比较大小． 解：（1）∵，且， ∴， ∴； （2）∵，又∵， ∴，即， ∴； （3）∵， ∴； （4）∵， ， ， ∴， 即． 故答案为：（1）>；（2）<；（3）>；（4）<． 【点睛】 本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 题型8：二次根式的混合运算-字母型及复合型 【典例29】．若m，n为有理数，且，则mn=_____. 【答案】1 【解析】 【分析】 利用二次根式的运算法则将已知等式化简，求出m、n的值，代入mn即可求解. =m+n           3= m+n 4= m+n 16+1=4m+4 n ∴4m=1,       4n=16, ∴m=，   n=4，mn=4= 1. 故答案为1. 【点睛】 本题考查二次根式的化简求值. 【典例30】．若a、b为有理数，且，则________，________． 【答案】     0      【解析】 【分析】 先把等式的左边化简，再合并同类二次根式，再利用实数的无理数性质可得答案． 解： ∵， ∴， ∴， ∴a=0，b=． 故答案为：0;． 【点睛】 本题考查的是二次根式的加减运算，实数中无理数的性质，掌握合并同类二次根式与实数中无理数的性质是解题的关键． 【典例31】．已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据a与b的值结合选项进行一一比较及计算即可结论． ∵，， ∴，A选项不正确； ∴ ∴B、C选项都不正确； ∴，D选项正确． 故选D． 【点睛】 此题考查了二次根式求值运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键． 【典例32】．已知：，，则的值为（       ） A．5 B．-5 C．25 D．5或-5 【答案】A 【解析】 【分析】 首先由a+b=-5，ab=1得出a、b的取值范围，然后使原式分母有理化，再由a、b的取值范围确定所求值的符号，通分化简代入求值； 解：∵ab=1＞0，∴a、b同号， 又∵a+b=-5＜0，∴a＜0，b＜0． ； 故选：A 【点睛】 此题考查的知识点是二次根式的化简求值，关键是体现了整体代入思想，还要注意字母的取值． 【典例33】．已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 先把所求代数式通分，再把x、y的值代入进行计算即可． 解：， 将，代入 得：原式=， 故答案为：8． 【点睛】 本题考查了二次根式的化简求值，结合平方差公式以及完全平方公式是解题的关键． 题型9：二次根式的混合运算与分式 【典例34】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】 根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可． 解：原式 当时，原式 ． 【点睛】 本题考查了分式加减乘除的混合运算，分式的化简求值，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确进行化简． 【典例35】．已知，则的值． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据分母有理化化简x，再把原式变形即可求解． ∵ ∴． 【点睛】 此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知二次根式、分式及完全平方公式的运算． 【典例36】．先化简，再求值： 已知a＝，求的值． 【答案】，3 【解析】 【分析】 先化简得，再将代入即可得． 解：原式= = = 当代入得： ． 【点睛】 本题考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 题型10：复杂的二次根式混合运算 【典例37】．计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】 先把二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可求得结果． 解： =． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算． 【典例38】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）先把括号内的二次根式化简及除法运算，再计算二次根式的除法运算，最后合并同类二次根式即可； （2）先计算括号内的二次根式的减法运算，再计算二次根式的除法运算，从而可得答案. (1) 解： (2) 解： 【点睛】 本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键. 【典例39】． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据完全平方公式和平方差公式将原式变为，再利用分式的性质和二次根式的加减计算法则进行化简即可． 解： ． 【点睛】 本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，分式的化简，二次根式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 【典例40】．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减法则进行计算； （2）利用二次根式的乘除法则及分式乘法运算法则进行计算即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，分式的乘法运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 题型11：二次根式混合运算的代数、几何应用 【典例41】．一个长方形的长和宽分别是和，这个长方形的长与宽的和=________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据长+宽列式，利用二次根式的性质化简，再进行二次根式的加法计算即可． 解：这个长方形的长与宽的和 = ． 故答案为． 【点睛】 本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简方法． 【典例42】．解不等式： 【答案】 【解析】 【分析】 根据解不等式的步骤解不等式即可． 解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得，即． 【点睛】 本题考查了一元一次不等式的解法和分母有理化，本题的易错点是易忽略． 【典例43】．解不等式：； 【答案】 【分析】 本题主要考查解一元一次不等式和分母有理化，先将含有x的项移到不等式的左边，不含x的项移到不等式的右边，运用不等式的性质进行解答即可 【解析】解：， ， ， ， ， 解得， 【典例44】．如图是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为的小数部分，则输出的数值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可得：程序所代表的代数式为，再由x为的小数部分，可得到，代入即可求解． 解：程序所代表的代数式为， ∵x为的小数部分， ∴， 当时， 输出的值为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的混合运算，根据程序图得到程序所代表的代数式为是解题的关键． 【典例45】．宋代数学家秦九韶，古希腊数字家海伦在探究三角形面积的求解过程中发现，若一个三角形的三边长分别为，，，设，则这个三角形面积为：，并进行了严格证明，这个公式叫海伦秦九韶公式，当，，时，三角形边上的高等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意易得，则有，设边上的高为，进而问题可求解． 解：由题意，得：，，； ； ； 设边上的高为，则， ， 故选：． 【点睛】 本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 【典例46】．若＝2.5，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 设=a，将原等式变形后可求得a的值，代入所求式子可得结论． 设=a，则24-t2=a2，8-t2=a2-16， ∵−=2.5， a-=， a−＝， 两边同时平方得：(a−)2＝a2−16， 解得：a=， 则， =+， =+， =+， =+， =， 故答案为． 【点睛】 本题是二次根式的化简求值问题，利用换元法，将原方程转化为关于a的方程，解方程可解决问题，计算量大，要细心． 一、单选题 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加减法，根据二次根式的运算法则逐项计算可得正确结果. 【解析】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 2．计算：（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先根据二次根式的性质化简括号内的式子，再进行减法运算，最后进行除法运算即可． 【解析】原式． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简是解题的关键． 3．的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键． 根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答． 【解析】解：∵， ∴的有理化因式是． 故选：B． 4．甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】甲利用分母有理化的知识，可求得；乙先将分子因式分解，然后约分，即可求得． 【解析】解：甲：当时， ， 当a=b时，无意义， 乙：， ∴甲错误，乙正确， 选项说法错误，不符合题意； 选项说法错误，不符合题意； 选项说法错误，不符合题意； 选项说法正确，符合题意; 故选D． 【点睛】本题考查了分母有理化，因式分解，解题的关键是要全面考虑a与b之间的数量关系． 5．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 【答案】A 【分析】求出a与b的值即可求出答案． 【解析】解：∵a＝＝+2，b＝2+， ∴a＝b， 故选：A． 【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型． 6．计算的结果为(    ) A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的运算法则进行计算，即可得出结论． 【解析】解： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则，并能结合乘法公式进行简便运算是解答此题的关键． 7．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将a、b、c的值分子有理化，然后根据分数的比较大小方法即可得出结论． 【解析】解：= ∵＞＞ ∴＞＞ ∴ 故选A． 【点睛】此题考查的是二次根式比较大小，掌握分子有理化是解题关键． 8．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A．6 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【解析】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、． 由题图知：大正方形的边长为：． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，用小正方形的边长表示出大正方形的边长是解决本题的关键． 9．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 【解析】 ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答． 10．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由的值进行化简到=，再求得，把式子两边平方，整理得到，再把两边平方，再整理得到，原式可变形为，利用整体代入即可求得答案． 【解析】解∵ = = ∴ ∴ 整理得 ∴ ∵ ∴ 整理得 ∴ ∴ ∴ = = = = = 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的化简，乘法公式，提公因式法因式分解等知识，关键在于熟练掌握相关运算法则和整体代入的方法． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式加法，熟练掌握二次根式加法法则是解题的关键． 合并同类二次根式即可． 【解析】解：原式． 故答案为：． 12．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 利用二次根式的乘法法则及化简的法则进行运算即可． 【解析】解： ， ． 故答案为：． 13．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系再进一步可得答案．先求，，再比较大小，再进一步可得答案． 【解析】解：∵， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 14．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，利用不等式的基本性质，将不等式未知项和常数项各移到一边，解得的解集，解题的关键是熟悉不等式的基本性质：不等式的两边同时除以负数，不等号的方向发生改变． 【解析】解：由，得： ， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式可求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【解析】解：观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，面积相等 重叠部分也为正方形， 空白部分的面积为， 一个空白长方形面积为， 大正方形面积为12，重叠部分面积为3， 大正方形边长为，重叠部分边长为， 空白部分的长为， 设空白部分宽为，可得：， 解得：， 小正方形的边长空白部分的宽阴影部分边长， 小正方形面积， 故答案为：10 16．已知点A，B，C在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是，点B是的中点，线段，则点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用数轴上的点表示实数，数轴上点之间的距离，二次根式的加减运算，熟练掌握基础知识点是解题的关键．先求出点B表示的数，再根据点是的中点进行求解即可． 【解析】解：∵点A表示的数是，， ∴点B表示的数是， ∵点是的中点， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 17．若的整数部分为a，小数部分为b，求 的值为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了无理数的估算和二次根式的化简求值，得出的值是解题关键． 根据二次根式的估算，分别求出整数部分和小数部分，再代入计算即可得出答案． 【解析】解： 故答案为：6 18．设，，，…，．设，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）． 【答案】 【解析】∵Sn=1++ = = = ∴==1+- ∴S=1+1﹣+1+﹣+…+1+- =n+1﹣ = = 故答案为：． 三、解答题 19．计算：； 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确化简二次根式是计算本题的关键． 先去括号和分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可． 【解析】 ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算．先算除法及乘法，再算加减即可． 【解析】解： ． 21．计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，分母不变，分子利用完全平方公式和平方差公式变形，然后化简求解即可．解题的关键是将分子利用完全平方公式和平方差公式变形． 【解析】 ． 22．计算： 【答案】 【分析】利用二次根式的混合运算法则及二次根式的性质：即可求解． 【解析】解：原式 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、二次根式的性质．掌握相关结论是解题关键． 23．（1）计算：； （2）计算：（其中）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二次根式的性质及二次根式的加减混合运算计算即可； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【解析】解：（1） （2） 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质及加减乘除混合运算的法则是解题的关键 . 24．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】根据二次根式的化简求值即可求解． 【解析】解：原式 ＝ ， 当，时， 原式， 故答案是：；． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是分母有理化． 25．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)11 (2) (3)22 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把，代入，计算即可作答． （2）先整理，再把，代入，计算即可作答． （3）先整理，再结合（1）和（2），即可作答． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 26．计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)当，时，原式；当，时，原式 (3)当时，原式；当时，原式 【分析】（1）先将二次根式进行化简，然后去括号计算加减即可； （2）先将二次根式化简，然后分情况讨论即可； （3）先将二次根式化简，然后分情况讨论即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）原式 当，时，原式， 当，时，原式； （3）原式 当时，原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和计算，注意对字母取值范围的讨论． 27．如图，某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为 米，宽为 米． (1)求长方形的周长（结果化为最简二次根式）． (2)除去修建花坛的地方，其他位置全部修建为通道，通道上要铺上造价为26 元/平方米的地砖．要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少钱? 【答案】(1)长方形的周长为米 (2)要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【解析】（1）解：（米）， ∴长方形的周长为米． （2） （平方米）， 则（元）， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元． 28．阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到： （1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可； （2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可； （3）利用（2）中点的结论，进行求解即可． 【解析】（1）解：∵将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… ∴面积记为的正方形边长为； 故答案为：； （2）猜想，证明如下： ∵， ∴ ； （3）∵， ∴ ． 29．材料：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径．恒等变形，是代数式求值的一个重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 如：当时，求的值．若直接把代入所求的式中进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答． 方法：将条件变形，由，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算． 由，平方得，整理可得：，即． 所以 请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题： (1)若，则_____________，_____________； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)2；2 (2)8 (3)2020 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，完全平方公式，分式的化简求值： （1）根据完全平方公式求出，把代入计算求出； （2）把进行恒等变形，从而得到，代入计算即可； （3）先进行分母有理化，可得，从而得到，进而可得，然后再代入计算即可； 掌握代数式的恒等变形方法是解题的关键． 【解析】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：2；2． （2）， ，，， ， ， ． （3）， ， ， ， ， ， ． 30．若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明） 例如： 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 (1)求的值； 【能力提升】 (2)设，求S的整数部分． 【拓展升华】 (3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)S的整数部分2019 (3)代数式取得最小值时，x的取值范围是 【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为，再根据||取最小值时，确定x的取值范围． 【解析】（1） （2） ， ∴S的整数部分2019； （3）由已知得：，且， ， ∵， ∴原式， 当时， ； 当时， ； ∴当，即时，取得最小值为2， ∴代数式取得最小值时，x的取值范围是：． 【点睛】本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 43 页 共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $$