第二十二章 二次函数（综合题拓展训练，12考点72题）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第二十二章 二次函数综合题拓展训练 目录与链接 考点一 二次函数规律探究…………………………………………………………………………2 考点二 与二次函数有关的最值问题………………………………………………………………8 考点三 二次函数背景下分段函数……………………………………………………………… 26 考点四 二次函数背景下的最值讨论问题………………………………………………………32 考点五 二次函数图象的变换问题………………………………………………………………41 考点六 二次函数的临界点问题…………………………………………………………………66 考点七 与二次函数有关的角度问题……………………………………………………………83 考点八 与二次函数有关的线段问题……………………………………………………………94 考点九 与二次函数有关的特殊三角形问题……………………………………………………104 考点十 与二次函数有关的特殊四边形问题……………………………………………………122 考点十一 二次函数营销问题……………………………………………………………………147 考点十二 动点背景下的二次函数问题…………………………………………………………155 考点一 二次函数规律探究 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，先求出直线的解析式，再求出点的坐标，再求出直线的解析式，从而求出点、的坐标，以此类推可得点的坐标，根据点、、之间的规律求出点的坐标． 【详解】解：设直线的解析式为：， ∵点坐标为， ∴， ∴直线的解析式为：， ∵轴交抛物线于点， ∴， ∵交抛物线于点， ∴设直线的解析式为：， ∴将代入解析式中得：， ∴直线的解析式为：， 当时， 解得：，， ∴， ∵轴交抛物线于点， ∴， 同理可得：直线的解析式为：， 当时， 解得：，， ∴， …… ∴以此类推点 ∴的坐标为：， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，点、、、…、在抛物线图象上，点、、、…、在y轴上，若、、…、都为等腰直角三角形（点是坐标原点），则的腰长=    【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方法求出第二个，第三个…的腰长，观察其规律，最后得出结论. 【详解】作轴, 轴，垂足分别为C、E ，轴于点F，轴于点D，轴于点N. 、都是等腰直角三角形， 设 ，则，将其代入解析式得： 解得：（不符合题意）或, , 可得, , ， ， . … 的腰长为：. 故答案为.    【点睛】此题考查了在函数图象中利用点的坐标与图形的关系求线段的长度，涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理，抛物线的解析式的运用等多个知识点． 3．（2023·浙江台州·二模）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题： 如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点．则的值为 ．    【答案】 【分析】先求出的坐标，然后求出的长.运用观察到的规律求出的值，即可求出的值. 【详解】由，得      故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据二次函数表达式求点的坐标，根据一次函数表达式求点的坐标，及平行于y轴的直线上的两点间的距离.观察规律，理解规律，并会正确应用是解题的关键. 4．（2021·山东德州·二模）如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．则顶点M2014的坐标为 ． 【答案】（4027，4027） 【分析】根据抛物线y＝x2与抛物线yn＝（x﹣an）2+an相交于An，可发现规律，根据规律，可得答案． 【详解】解：M1（a1，a1）是抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1的顶点， 抛物线y＝x2与抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1相交于A1， 得x2＝（x﹣a1）2+a1， 即2a1x＝a12+a1， x＝（a1+1）， ∵x为整数点， ∴a1＝1， M1（1，1）； M2（a2，a2）是抛物线y2＝（x﹣a2）2+a2＝x2﹣2a2x+a22+a2顶点， 抛物线y＝x2与y2相交于A2， x2＝x2﹣2a2x+a22+a2， ∴2a2x＝a22+a2， x＝（a2+1）， ∵x为整数点， ∴a2＝3， M2（3，3）， M3（a3，a3）是抛物线y2＝（x﹣a3）2+a3＝x2﹣2a3x+a32+a3顶点， 抛物线y＝x2与y3相交于A3， x2＝x2﹣2a3x+a32+a3， ∴2a3x＝a32+a3， x＝（a3+1）， ∵x为整数点 ∴a3＝5， M3（5，5）， ∴点M2014，两坐标为：2014×2﹣1＝4027， ∴M2014（4027，4027）， 故答案为：（4027，4027）． 【点睛】本题是点的坐标规律型探究题，结合二次函数求出点的坐标并观察规律是解题的关键． 考点二 与二次函数有关的最值问题 5．（21-22九年级上·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C． （1）求直线BC的解析式； （2）求抛物线的顶点及对称轴； （3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； （4）若点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC的面积；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）顶点，对称轴为；（3）存在，；（4）存在， 【分析】（1）分别令进而求得的坐标，待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）将二次函数解析式根据配方法化为顶点式，进而求得顶点坐标和对称轴； （3）根据轴对称确定最短路线问题可知存在点，即与对称轴的交点坐标使的线段最小； （4）过点作轴交于点，求得的长，根据求得的面积，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时的点的坐标． 【详解】（1）令，则 整理得 解得 令，则 设直线的解析式为 解得 直线的解析式为 （2） 顶点，对称轴为； （3）由对称性可知，与对称轴的交点即为使得线段最小的点， 时， 存在点，使得线段最小 （4）如图，过点作轴交于点，则 当时，的面积最大为， 此时 存在点，使得的面积最大． 【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，轴对称确定最短路线问题，二次函数最值问题，掌握以上知识是解题的关键． 6．（2022·天津滨海新·二模）已知：抛物线（b，c为常数），经过点A（－2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标； (3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值． 【答案】(1) (2)（3，5） (3) 【分析】(1)利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式； (2)首先点B的坐标，再求出直线BC的解析式，过点P作PF⊥x轴于F，交于点Q，设点，,当时，有最大值,即可求出点P的坐标； （3）由四边形AMNC的周长，得到当AM+CN最小时，四边形AMNC的周长最小，得出AM+CN=AM+DM，求出的最小值即可得到结论. 【详解】（1）解：∵抛物线经过点A（-2，0），C（0，4）， ∴ 解得 ∴该抛物线的解析式： （2）解：∵点B是抛物线与x轴的交点， ∴ ， ∴，   ∴点B的坐标为（6，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+n，   ∵点B（6，0），C(0，4) ∴ 解得 ， ∴直线解析式为：，          如图，过点P作PF⊥x轴于F，交于点Q， 设点，        ∴， ∴ ∴当时，有最大值， ∴点P的坐标为（3，5）． （3）解：∵A（-2，0），C（0，4）， ∴， ∵四边形AMNC的周长，， ∴当AM+CN最小时，四边形AMNC的周长最小. 将CN向下平移2个单位长度，得到对应线段DM， ∴点C的对应点D的坐标为（0，2）， ∴AM+CN=AM+DM， 可知抛物线的对称轴为直线， 如图，作点D关于对称轴的对称点，可求得（4，2），连接， 则，                      过点作⊥x轴于点E，，， ∴的最小值为， ∴四边形周长的最小值为． 【点睛】本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、最短路线问题等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 7．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为． 【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B、D代入求解即可； （2）设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可； （3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有，若使的值为最小，即为最小，则有当点D、M、O三点共线时，的值为最小，然后问题可求解． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∴OB=1， ∴， 把点B、D坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线， ∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴由两点距离公式可得， 设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分： ①当时，如图所示： ∴由两点距离公式可得，即， 解得：， ∴点F的坐标为或； ②当时，如图所示： ∴由两点距离公式可得，即， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或； （3）由题意可得如图所示： 连接OM、DM， 由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，， ∴，DM=EM， ∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为， ∴， ∴四边形BOMP是平行四边形， ∴OM=BP， ∴， 若使的值为最小，即为最小， ∴当点D、M、O三点共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示： ∵， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为， 设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得：， ∴线段OD的解析式为， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键． 8．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点坐标为．    (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及周长最小值； (3)如图2，点为直线上方抛物线上的一个动点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，的周长最小值为 (3) 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）先求得然后求得求出的解析式，根据抛物线的解析式求得对称轴，根据对称性可得在上时，的周长最小，进而即可得点的坐标，根据的坐标，勾股定理，即可求解； （3）过点作轴于，交于点，设点，则点，由三角形面积公式可得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点在抛物线图象上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：当时，， 解得： ∴, 设直线的解析式为，代入、坐标得， 解得：，， ∴直线的解析式为， ∵ ∴抛物线对称轴为直线 依题意，，当三点共线时，的周长最小 则当在直线上时，的周长最小 当时，，则 ∵，，， ∴，， ∴此时，的周长为    （3）解：由（2）可得直线的解析式为， 过点作轴于点，交于点，如图，    设，则， ∴， ∴ ； ∵， ∴时，最大，为． 此时； 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，利用参数列方程是本题的关键． 9．（2022·湖北恩施·一模）如图，已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点是，且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，过点P作于点G． (1)求b、c的值； (2)若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． (3)当点P运动到何处时，线段的长最小？最小值为多少？ 【答案】(1)，． (2)存在，符合条件的点的坐标为或或． (3)当点的横坐标为时，有最小值，最小值为． 【分析】（1）先根据顶点式写出抛物线的解析式，然后展开，最后对比即可解答； （2）先确定抛物线的对称轴，再令y=0确定C、D的坐标，进而确定CD的长度，然后分以CD为边和对角线两种情况分别解答即可； （3）先根据直线确定A、B两点的坐标，然后确定AB的长，再求出的值；如图1，过点作轴交于点，可得，设点的横坐标为，则、，再表示出PH的长，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是 ∴抛物线为，即， 故，． （2）解：存在，理由如下： ∵抛物线的顶点是， ∴抛物线的对称轴为， 将代入，得或， ， ． Ⅰ.如图2，当以为菱形的边时，平行且等于. 若点在对称轴右侧， ， ， 把代入，得， 点的坐标为. . ， 四边形为菱形. 即符合题意. 同理可知，当的坐标为时，四边形也为菱形. Ⅱ.如图3，当为菱形的对角线时， 根据菱形的对角线互相垂直平分，可得对称轴垂直平分， 所以，在对称轴上. 又因为点在抛物线上， 所以点为抛物线的顶点， 所以点的坐标为． 综上所述，符合条件的点的坐标为或或． （3）解：把代入，得， ∴点的坐标为. 把代入，得， ∴点的坐标为 ∴， ∴， 如图1，过点作轴交于点， 则有， ∴， ∴， 设点的横坐标为，则，， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为，此时有最小值， 当时，，此时点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与特殊四边形综合、二次函数求最值等知识点，掌握二次函数的性质成为解答本题的关键． 10．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设，直线为，求出，直线为，求出，联立方程组得，，再根据，即可求解； （）设直线为，由得，得，设，，联立直线与抛物，得，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，则有，过点作于F，则，则，，根据勾股定理得，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ，               解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴，                   ，    ， ∴； （3）设直线为，由得， ∴， ∴，             设，， 联立直线与抛物线， 得， ， 根据根与系数的关系可得：，， 作点关于直线的对称点，连接，    由题意得直线，则， ∴， 过点作于F，则． 则，，              在中， ，                                               即当时，，此时， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 考点三 二次函数背景下分段函数 11．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【详解】解：画出函数图象如图：    由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，即：， ∴， ∴，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 时，，当，时，的值最大，为， 综上：当时，有最大值，无最小值， 故选项A，B错误； 当时，， 当时，即：， ∴当越小时，的值越大，即没有最大值， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，和的函数值相同时，的值最小， 综上：当，有最小值，无最大值； 故选项C正确，D错误． 故选C． 12．（2024·湖北武汉·二模）如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，若关于x的方程有3个不相等的实数根，则k的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合和分类讨论是解题的关键，补全函数图象，分和两种情况分别利用数形结合进行解答即可. 【详解】解：由函数可知，和时的函数图象关于y轴对称，补全函数图象如图所示， 当时，当直线与 函数的图象有三个交点时， 则，即有两个相等的实数根，即， 解得或， 由图象可知，不合题意，舍去， 即， 当时，当直线与 函数的图象有三个交点时， 则，即有两个相等的实数根，即， 解得或， 由图象可知，不合题意，舍去， 即， 综上可知，k的值为或， 故选：D 13．（19-20九年级上·湖北黄石·期中）已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值． 【详解】函数的图象如图： 根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∴k=3． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题． 14．（18-19九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中两点P（x，y），Q（x，y′），其中y′＝，则称Q点是P点的可控点．若P（x，y）满足y＝－x2＋16，其中（－5≤x≤a）时，可控点Q（x，y′）满足－16≤y′≤16，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题先理解定义，依据题意画出函数图象即可求解． 【详解】依题意，图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上（如图）， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∵， 当，代入， 解得：， 当，代入， 解得：， ∵时，可控点Q（，）满足， ∴实数的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象应用问题，解决此类问题：首先根据题意，大致画出函数图象，依据图象确定数值的取值范围． 15．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 【答案】(1)①n = 2；②（0，1） (2)1 【分析】（1）①根据点P的横坐标比1大，将点P代入即可求得n的值． ②根据当图象与y轴有交点时，x值为0；将x = 0代入求出y值，即可得出交点坐标． （2）当n = 1分别代入两个函数表达式中，求出各自表达式的最大值，最后两者取最大值即可． 【详解】（1）①解：∵在点P（2，2）中，x ≥ 1 ∴将点P（2，2）代入函数 中得 解得 ②解：求此函数的图象与y轴的交点，即求当时，函数图象与y轴的交点． ∵当 时，函数表达式为 ∴当， ∴此函数的图象与y轴的交点为(0，1)． （2）解：当n = 1时，函数表达式为 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为 ，在右侧，函数图象随x的增大而减小． ∴当x = 1时，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当 时，函数有最大值1． 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为． ∴当，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当n = 1时，此函数的最大值为1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据x值的取值判断函数表达式和用顶点式求函数最大值是解本题的关键． 考点四 二次函数背景下的最值讨论问题 16．（2023·辽宁大连·模拟预测）已知二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，由题意可得，，则的最小值为为负数，最大值为为正数．最大值为分两种情况：①结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出，结合图象最小值只能由时求出；②结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由求出，最小值只能由求出． 【详解】解：二次函数的大致图象如下：    ①当时，当时，取最小值，即， 解得：． 当时，取最大值，即， 解得：或均不合题意，舍去； ②当时，当时，取最小值，即， 解得：． 当时，取最大值，即， 解得：， 或时，取最小值，时，取最大值， ，， ， ， 此种情形不合题意， 所以． 故选：B． 17．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，则a的值为（    ） A．1或 B．2或 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】依据题意，由，故抛物线的对称轴是直线，抛物线开口向下，又当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，进而分类讨论计算可以得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴抛物线的对称轴是直线，抛物线开口向下． ①当时，即， ∵时，y随x的增大而增大， ∴当时，取最小值为； 当时，取最大值为； 又∵， ∴ ∴，不合题意． ②当时， ∵时，y随x的增大而减小， ∴当时，取最大值为； 当时，取最小值为； 又∵， ∴， ∴，不合题意． ③当时，即. ∴当时，取最大值为 若当时，取最小值为； ∴， ∴（舍去）或． 当时，取最小值为； ∴， ∴， ∴（舍去）或． 综上，或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，一元二次方程的解法，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 18．（2024·山东济南·二模）抛物线，将其图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形是上的任意一点，当时，的最大值记为，则取得最小值时，的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据题意，结合所给选项画出正确的图形是解决本题的关键．根据二次函数的图象的开口向上，图象过原点，结合的取值范围和所给选项，画出相关图形，得到时，的最大值，比较后得到取得最小值时，的值为多少． 【详解】解：①当时，对称轴在轴的左侧或者轴．所给选项无，所以以对称轴在轴左侧为例，画出图形． 由图象可得：当时， ∴当取的最小值时，最小，即 ②当时，对称轴在轴的右侧． 当时，． 当时， 图象的最高点为顶点． ． 或不合题意，舍去． 取得最小值时，的值为． 故选：C． 19．（2024·浙江·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．先分析和时导出，根据最小值可得最小值为，通过配方得到，再根据确定的取值． 【详解】解：当时，，，当，， ， 当时，，，当，， ， 的最小值为2， 最小值为， ， 当时，取得最小值，即， ， 由题意知，所以， 当时，，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意， 故选：D 20．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线过点，两点，若，时，y的最大值为，则t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线过点，两点，可以求得该抛物线的对称轴，然后再根据，时，y的最大值为即可求得的值． 【详解】解：∵抛物线过点，两点， ， 解得：， ∴抛物线即为， 它的开口向下，对称轴是直线， 当时，有最大值， 若，则， ∵当时，y的最大值为， ∴， 即， 解得：， ∵， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21．（2024·陕西宝鸡·二模）已知二次函数（a为常数），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则a的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据题意可知二次函数，故该函数的对称轴为直线，函数的最大值为，然后根据对称轴所在的位置进行分类讨论计算即可；准确了解当时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴为直线，函数的最大值为， 当时， 时，函数有最大值； 时，函数有最小值； ∵当时，函数的最大值与最小值的差为9， 解得（舍去）； 当时， 时，函数有最大值； 时，函数有最小值； ∵当时，函数的最大值与最小值的差为9， 解得（舍去）； 当时，时，函数有最小值； 函数有最大值； 解得； 当时，时，函数有最小值； 函数有最大值； 解得； 故选：． 22．（21-22九年级上·湖北荆州·期中）已知二次函数，当时有最小值10，则m的值为 ． 【答案】或7/7或-1 【分析】对对称轴的位置进行分类讨论，再根据最小值求出m的值即可． 【详解】解：当m<2时，二次函数在x=2时取得最小值， 所以，解得，（舍）； 当时，二次函数在x=m时取得最小值， ∴所以，该方程无解； 当m>4时，二次函数在x=4时取得最小值， 所以，解得，（舍）； 故答案为：或7． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键，同时注意分类讨论思想的使用． 23．（21-22九年级上·湖南长沙·期末）二次函数y＝-(x-1)2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为 ． 【答案】-3 【分析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为5m为负数，最大值为5n为正数．将最大值为5n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出． 【详解】二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下： ①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即5m=﹣（m﹣1）2+5， 解得：m=﹣4， 当x=n时y取最大值，即5n=﹣（n﹣1）2+5， 解得：n=-4或n=1（均不合题意，舍去）； ②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即5m=﹣（m﹣1）2+5， 解得：m=﹣4， 当x=1时y取最大值，即5n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=1， 或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值， 5m=-（n-1）2+5，n=1， ∴m=1， ∵m＜0， ∴此种情形不合题意， 所以m+n=﹣4+1=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查二次函数的最值，一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内，数形结合是解题的关键． 24．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数）的图像与轴的公共点为，． (1)当时，求的值； (2)当，且时，求的取值范围； (3)线段长的最小值为　　． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，利用数形结合是解决本题的关键． （1）把代入得，可得，即可求解； （2）把代入得，把代入得，分类讨论，利用数形结合思想即可解决； （3）先表示出，再由一元二次方程根于系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， ∵ 图像与x轴的公共点为，， ∴． ∵， ∴； （2）解：把代入得，      把代入得， 当时，则， ∴． 当时，则， ∴． 综上所述，m的范围是：或； （3）解：把代入得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 考点五 二次函数图象的变换问题 25．（2024·四川南充·二模）如图，将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，原抛物线轴上方的图象与翻折得到图象组成一个新函数的图象，若直线与新函数的图象有三个交点，则的取值范围是 ． 【答案】或者 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合， 如图所示，过点A的直线与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点E处相切，此时与新图象也有三个公共点，准确画出图形，问题随之得解． 【详解】解：如图所示，过点A的直线与新图象有三个公共点，将直线向上平移到恰在点E处相切，此时与新图象也有三个公共点， 令， 解得：，， ∴，， ∵将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方， ∴翻折之后的二次函数的解析式为：， 将一次函数与二次函数联立得：， 整理得：， 令， 解得：， 当一次函数过点A时，将代入得：， 解得：， ∴若直线与这个新图象有3个交点，则b的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 26．（2024·辽宁大连·三模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作y轴的垂线交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点，二次函数图象的平移等知识；利用二次函数的性质，分情况利用数形结合的方法分析求解即可． 【详解】解：由题意知，的解析式为，的解析式为； ①当B与原点重合时，，此时矩形不存在； ②当Q在与y轴的交点上时，矩形与图象G有三个公共点，如图： 当时，，即； 故当时，矩形与图象G有三个公共点； ③时，矩形与图象G只有两个公共点，如下图所示； ④由②中可知，当时，矩形与图象G有四个公共点； ⑤如图，当点D在上时，矩形与图象G有三个公共点； 设直线的解析式为，把点A坐标代入得， 即； ∵点Q向上平移两个单位长度得到点B， ， ∴点D的纵坐标为， 即，把点D坐标代入，得：， 解得：（舍去）， ； 即点Q的纵坐标为， 故； ⑥当时，矩形与图象G只有三个公共点，如图； ⑦当时，矩形与图象G只有两个公共点，如图； 综上，当或或时，矩形与图象G有三个公共点． 27．（2024·四川广元·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与其关于直线对称的图象交于四点， 则四边形的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数图象的性质，四边形的面积，联立函数解析式求出坐标，可求出，连接，设，由点关于直线对称，可得，，根据二次函数的性质求得，，即可求解，由轴对称的性质对称坐标的关系是解题的关键． 【详解】解：由，解得或， ∴，， ∴， 连接，    设， ∵点关于直线对称， ∴，， 把、代入得， ， 得，， 整理得，， 即， ∴， 把代入得，， 整理得，， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 28．（2024·陕西商洛·三模）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点且以为边的四边形是矩形，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）分两种情况，分别根据等腰三角形的判定和性质、平移和矩形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵，， ∴，， ①如图，当为矩形一边，且点在轴的下方，过作轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在的对称轴直线上，， ∴，， ∴， ∴， ∴点， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到点， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到； ②当为矩形一边，且点在轴的上方，的对称轴直线与轴交于点， ∴，， ∵在的对称轴直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点， ∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点； 综上所述，点的坐标为或时，以，为顶点，且以为边的四边形是矩形． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质及图像的平移，平移的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，两点间距离等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的性质是解题的关键． 29．（2024·河南焦作·二模）已知抛物线的顶点为D． (1)若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标； (2)在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． ①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）； ②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）将原点代入抛物线方程即可求出值，再利用抛物线性质即可求出顶点坐标； （2）①根据自变量的取值范围，结合图象性质及中心对称性质判断出图象上的特殊点即可求出解析式； ②再利用数形结合，分类讨论直线与曲线交点问题即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点， 当时，，代入抛物线得：， ， ∴抛物线的方程为：． ∴抛物线的对称轴方程为：， 把代入，得， ∴点坐标为． （2）解：在（1）中抛物线的方程为：， ①当时函数的图象记为， ∴对应的函数解析式为：，且图象经过和原点， 将图象绕原点旋转，得到新图象，新图象与原图象成中心对称， ∴新图象对应函数的自变量的范围为：，且新图象经过点和原点， ∴图象的解析式为：． ②直线与图象有3个交点，分两种情况， 当直线与有2个交点且与有1个交点时，， ， 令，得， 结合图象可得：， 同理，当直线与有1个交点且与有2个交点时，， ， 令，得， 结合图象可得：． ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，图形的旋转，直线与曲线相交等问题，解题过程还涉及数形结合，分类讨论等数学思想，难度较大． 30．（2024·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点． (1)如图1，若点的坐标为，求抛物线的表达式和点的坐标； (2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形． ①在（1）的条件下，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②如图2，已知点和点是图形上的点．设，当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①存在点的坐标为：或；②的取值范围为． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，翻折变换的性质，综合性较强，难度较大． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①根据，可得，，即，由翻折得到，分两种情况：当时，当时，根据三角形面积公式建立方程求解即可； ②由，得抛物线的顶点为，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，得，分两种情况：当时，当时，分别求出的范围即可． 【详解】（1）解：将代入抛物线，得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 令，得， ； （2）解：①存在点，使得，理由如下： 如图： 在中，令得：， 解得：，， ，， ， ， 顶点为， 过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到， 图象形的函数表达式为， 若轴上方的图形上存在点，使得，则， 当时，将 代入 得， 解得（舍去），； ， 当时，将 代入得，解得； ， 综上，存在点，使得，点的坐标为：或； ②在中，令， 得， ， 直线， ， 抛物线的顶点为， 将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，得， 点和点是图形上的点， 当时，，， 即点在轴左侧，点在轴右侧，如图， ，， ， ， ， ； 当时，，， 即点、均在轴右侧， ，， ， ， ， ， 此不等式组无解，即不成立； 综上，的取值范围为． 31．（2024·湖北恩施·二模）如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线经过B、C两点． (1)求出该二次函数的解析式． (2)已知点P为直线l上的一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N． ①当时，求点P的横坐标． ②当的长度随t的增大而增大时，直接写出t的取值范围． (3)如图2，将二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有3个公共点时，求n的值． 【答案】(1) (2)①P点横坐标为或或或；②或 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①设，则，进而得到，根据，进行求解即可；②根据，结合二次函数的性质，进行求解即可； （3）根据题意，画出图象，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：直线经过B、C两点，当时，，当时，， ， 将，代入得： 解得： 二次函数的解析式为：； （2）①设，则， ∵， ∴对称轴为直线， ∴， ，， ， ， 解得或或或， P点横坐标为或或或； ②∵， 当时，或， ∴当时，， ∴， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 当时，， ∴当时，随的增大而增大， 综上：或； （3）将抛物线的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折上来的部分的解析式为． 直线l向上平移n个单位长度，得到直线 当直线经过点A或与只有一个交点时，直线与新图象恰好有三个不同的交点． ①当直线经过点时，，解得： ②当与只有一个交点时， 只有一组公共解， 即方程中判别式等于0， ，解得： 综上，或． 32．（2024·安徽滁州·三模）如图1，以点 A，B 为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点C 是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，于点 D，，则称实线表示的部分为该抛物线上的“正抛线”，点A，B 分别为“正抛线”的左、右端点，点 C 为“正抛线”的顶点，的长为“正抛线”的高． (1)已知高为4的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式； (2)已知抛物线 上的“正抛线”以原点为左端点，求b； (3)如图2，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点都在x轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直线上．求大“正抛线”与小“正抛线”高之比． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，得左端点，，得到右端点，垂足点，顶点或，设抛物线解析式为或，把分别代入解析式，确定的值即可． （2）根据题意，得，解得，且抛物线以原点为左端点，得左端点，，得到右端点，垂足点，根据抛物线，得顶点，设抛物线解析式为，点 代入解析式，计算即可． （3）设抛物线的左端点为A，右端点为B，垂足点为D，顶点为C，小抛物线的左端点为E，右端点为F，垂足点为H，顶点G，根据题意，设左端点，右端点，垂足点，顶点，设抛物线解析式为，抛物线解析式为，设，则，计算解答即可． 【详解】（1）根据题意，得左端点，，右端点，垂足点，顶点或， 设抛物线解析式为或，把分别代入解析式，∴或， 解得或， 故抛物线解析式为或． （2）根据题意，得， 解得， ∵抛物线以原点为左端点， ∴左端点，，右端点，垂足点， ∵抛物线， ∴顶点， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 整理，得， 解得（舍去）， 故． （3）设抛物线的左端点为A，右端点为B，垂足点为D，顶点为C，小抛物线的左端点为E，右端点为F，垂足点为H，顶点G， 根据题意，设左端点，右端点，垂足点， ∵抛物线， ∴顶点， 设抛物线解析式为， 把点代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， 设，则， 则，， ∴ 整理，得， 解得， 故或， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式的确定，新定义抛物线，熟练掌握待定系数法，正确理解新定义是解题的关键． 33．（2024·湖北随州·模拟预测）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线过点B和C，与x轴的另一个交点为A． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点M是第一象限内抛物线上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作直线轴于点N，交直线于点G，若点G为的三等分点，求点M的坐标； (3)将线段先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段．现另有抛物线，请你根据a的不同取值范围，探索抛物线与线段的交点个数（只需直接写出a的取值范围及对应的交点个数即可）． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，交点个数为0；当或时，交点个数为1；时，交点个数为2 【分析】利用一次函数求得点B和C，结合待定系数法求得抛物线的解析式； 设，，求得，，结合题意分两种情况求解即可求得m，进一步求得点M的坐标； 利用抛物线解析式求得点A和B，根据平移的性质可得，，且直线，根据题意列出，其判别式为，①当，直线与抛物线无交点；②当，直线与抛物线只有一个交点；③当，直线与抛物线有两个交点，如果方程的解与0的关系进一步判断与线段的交点即可． 【详解】（1）解：令，；令，， ，， 依题意得，解得， 则抛物线的解析式为； （2）解：根据题意得，，， ，， ∵点G为的三等分点， 或， 当时，，解得，（舍去）； 当时，，解得，（舍去）； 当时，； 当时，． 点M的坐标为或 （3）解：∵另，，解得， ∴， ∵线段先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段， ∴，，且直线， 令，整理得， 其判别式为，， ①当，即时，直线与抛物线无交点； ②当，即时，直线与抛物线只有一个交点，此交点在线段上； ③当，即时，直线与抛物线有两个交点． 解方程得， 结合函数图象的性质可知， 若时，抛物线与线段只有一个交点，； 若时，抛物线与线段有两个交点，． 综上所述，当时，交点个数为0；当或时，交点个数为1；时，交点个数为2． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质，涉及待定系数法求解析式、两点之间的距离、解一元二次方程、判别式的意义和解不等式，解题的关键是熟练应用分类讨论和二次函数的性质． 34．（2024·河北石家庄·二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴及点关于对称轴的对称点的坐标； (2)点是线段上的一个点，过点作x轴的垂线，与抛物线交于点． ①若点在对称轴上，判断此时点是否为线段的中点，说明理由； ②当最大时，求点的坐标； (3)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位得到线段，若抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，直线， (2)①点是线段的中点，理由见解析；② (3)或或 【分析】（1）将点代入可求，则，抛物线的对称轴为直线，可求，进而可得点关于对称轴的对称点的坐标； （2）①待定系数法求直线的解析式，进而可求的坐标为，由的坐标为，可知点为线段的中点．②设，，则，，然后求解作答即可； （3）由平移可知为，为，，①当时，图象开口向下，顶点为，当时，；此时顶点在线段上，抛物线与线段只有一个；当时，，可求；当时，，可求，即；②时，图象开口向上，当顶点在线段上时，同理①，（舍去）；当时，，可求；当时，，可求，即；然后作答即可． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，，即， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， ∴，抛物线的对称轴为直线，点关于对称轴的对称点的坐标为； （2）①解：点是线段的中点，理由如下； 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点的坐标为， 当时，，即的坐标为， ∴点为线段的中点． ②解：设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最长， 将，代入得，，即， ∴当线段最长时，点的坐标为； （3）解：由平移可知为，为， ∴， ①当时，图象开口向下，顶点为， 当时，；此时顶点在线段上，抛物线与线段只有一个； 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴； 综上所述，当或时，抛物线与线段只有一个； ②当时，图象开口向上， 当顶点在线段上时，同理①，（舍去）； 当时，， 解得； 当时，， 解得， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与长度综合，一次函数解析式．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与长度综合，一次函数解析式是解题的关键． 考点六 二次函数的临界点问题 35．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键在于数形结合的思想的运用． 当直线与抛物线相切时符合题意，则有，根据，求出m的值；当抛物线过，且对称轴在y轴右侧时符合题意，代入，求出此时的m的值，以及抛物线继续向左平移，仍符合题意． 【详解】解：由题意，当直线与抛物线相切时符合题意，如图： ∴，即． ∴． ∴． 令，则， ∴， 记直线与y轴交于点， 又当抛物线过，且对称轴在y轴右侧， ∴． ∴，此时刚好在对称轴左侧有一个交点，如图： 又继续向左平移符合题意，符合题意，如图： ∴． 综上，或． 故选：D． 36．（2024·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，且）经过和两点．已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，构建不等式解决问题． 由，得，，则其顶点坐标为，可知当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，分两种情况：当顶点在线段上方时，当顶点在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】解：将，代入中， 得，解得：， ∴，，则其顶点坐标为， 当时，，当时，， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 当顶点在线段上方时，，即：， ∵当时，随增大而减小， ∴此时，抛物线与线段有一个交点， 即：在上方，在下方， ∴，可得； 当顶点在线段上时，，可得； 综上：或． 故答案为：或． 37．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：函数的“镜面函数”的解析式为，，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有4个交点，则n的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象和性质，矩形的性质，坐标与图形变化对称，理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．先求出的“镜面函数”解析式，再分以及顶点在上的情况和时，列出不等式求解即可． 【详解】解：如图： 函数关于直线的“镜面函数”解析式为， 当时，， ∴， 解得：， 当的顶点在上时，， 解得或（舍）， 此时，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边有5个交点，不合题意， ∴， 当时，， ∴， 解得， 综上，n的取值范围为或． 故答案为：或． 38．（22-23九年级上·天津武清·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】分别将M，N坐标代入函数解析式，根据抛物线开口大小与a的关系求解． 【详解】解：点M在抛物线上时，将代入得， 时，抛物线开口变小，符合题意， 点N在抛物线上时，将代入得， 解得， 时，抛物线开口变大，符合题意． 结合，可知a的取值范围是或 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 39．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（b，c为常数）的图象交y轴于点，其对称轴为． (1)求该二次函数的关系式； (2)点A、C均在该二次函数的图象上，它们的横坐标分别为n和．以线段为对角线作矩形，轴、当矩形与该二次函数图象有且只有三个公共点时，设第三个公共点为P，若与矩形的面积之比为，请求出点A的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，得，可求得b，把代入，可求得c，即可求解； （2）当矩形与抛物线有且只有三个公共点时，存在如图所示的两种情况：①当点P在上时，②当点P在上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴ ∴ ∴ 把代入，得， ∴该二次函数的关系式为：． （2）解：当矩形与抛物线有且只有三个公共点时，存在如图所示的两种情况： ①当点P在上时，如图， 由题意，得，， ∵矩形，轴、 ∴轴 ∴点P纵坐标为， ∵点A、C均在该二次函数的图象上，它们的横坐标分别为n和． ∴， ∵与矩形的面积之比为， ∴， ∴点P横坐标为， ∴ ∴ 解得：， 当时， ∴ ②当点P在上时，如图， 由题意，得， ∵矩形，轴、 ∴点P纵坐标为， ∵点A、C均在该二次函数的图象上，它们的横坐标分别为n和． ∴ ∵与矩形的面积之比为， ∴， ∴点P横坐标为， ∴ ∴ 解得：， 当时， ∴ 综上，点A的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，用点的坐标求线段长度，矩形性质等，解题关键是熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题． 40．（2024九年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线，，为常数，且经过和两点． (1)求b和c的值（用含a的代数式表示）； (2)若该抛物线开口向下，且经过，两点，当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围； (3)已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点时，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键． （1）把和代入，即可求解； （2）先求出对称轴为：直线，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解； （3）分时，时，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：把和代入， 得：， 解得：； （2）解：抛物线经过，两点， 抛物线的对称轴为：直线， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， ，即； （3）解：①当时，，，即， 解得：，抛物线不经过点， 如图①，抛物线与线段只有一个交点，结合图象可知：； ②当时，若抛物线的顶点在线段上时，则， 解得：，， 当时，， 此时，定点横坐标满足，符合题意； 当时，如图②，抛物线与线段只有一个交点， 如图③， 当时，， 此时顶点横坐标不满足，不符合题意，舍去； 若抛物线与线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点时，把代入，得： ， 解得：， 当时，如图④，抛物线和线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点， 结合图象可知：时，抛物线与线段有一个交点， 综上所述：的取值范围为：或或． 41．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为C． (1)求点A，B的坐标． (2)若的面积为，求a的值． (3)如图，已知点，，，，当抛物线与正方形只有2个公共点时，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或者 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识， （1）现根据抛物线对称轴为求出对称轴，再令，可得，结合轴对称的性质可得； （2）将抛物线化为顶点式可得，根据，，可得，且轴，先得出顶点C距离线段的距离为：，再根据，问题得解； （3）画出满足条件的简图，点M的纵坐标与点的纵坐标相同，点N的纵坐标与点的纵坐标相同，据此可得点M的纵坐标为0，点N的纵坐标为，当顶点在点M与点N之间（不含端点）时，或者抛物线刚好经过点E、F时，抛物线与正方形只有2个公共点，据此即可作答． 【详解】（1）抛物线的对称轴为：， 当时，， ∴， ∵点B与点A关于该抛物线的对称轴对称， ∴； （2）将抛物线化为顶点式为：， ∴， ∵，， ∴，且轴， ∵， ∴抛物线开口朝上， ∴顶点C距离线段的距离为：， ∵的面积为，， ∴， ∴； （3）将抛物线化为顶点式为：， 即顶点坐标为：， 如图， 根据正方形的性质可知：点M的纵坐标与点的纵坐标相同，点N的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴点M的纵坐标为0，点N的纵坐标为， 即当顶点在点M与点N之间（不含端点）时，或者抛物线刚好经过点E、F时，抛物线与正方形只有2个公共点， 当顶点在点M与点N之间（不含端点）时 ∴， 解得：， 即此时a的取值范围为：； 当抛物线刚好经过点、F时， 将代入，可得：， 解得：； 综上所述：a的取值范围为：或者． 42．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（m为常数，）． (1)当时，求该函数的图象的顶点坐标； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； (3)已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. （1）把代入，求出顶点坐标即可； （2）把变形为,即可求出定点坐标； （3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， ∴函数的图象的顶点坐标； （2）解：， ∴当 时, ， 当时, , 当时, , ∴该函数的图象总经过点和； （3）∵二次函数的对称轴为， ∴点的对称点坐标为， 当时, ∵二次函数的对称轴为， ∴点在线段上，即， ∴； 当时,点在抛物线内， 即时, , 则满足题意， 此时, 解得， 故； 若该函数顶点在线段上时，即方程有两个相等时实数根， ∴ 解得， 综上所述，m的取值范围为或或． 43．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键． （1）把代入后再将抛物线化成顶点式为，即可求顶点坐标； （2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围； （3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线． ∴顶点坐标． （2）令，则， ∴， ∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个， ∴“完美点”的个数为4个或5个． ∵， ∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，； 当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，． ∴． ∴a的取值范围是． （3）根据， 得抛物线的顶点坐标为，过点，，． ∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 显然，“完美点”，，符合题意． 下面讨论抛物线经过，的两种情况： ①当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个． ②当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个． ∴a的取值范围是． 考点七 与二次函数有关的角度问题 44．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． ①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； ②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②的面积为定值 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）①根据题意得出，得出直线的解析式为，联立得出，在直线上；②设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：对于，令， 解得： ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，    ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则 ∴， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ （3）①点与点重合，则， ∵点为中点，， ∴, 设直线的解析式为，代入, ∴ 解得： ∴ 联立 解得：或 ∴，在直线上 即，，三点共线； ②设， ∵，，三点共线； ∴设的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， 设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的， ∴的面积为是定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 45．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）如图1，在平面直角坐标系中放置了一块30度的直角三角板，且直角三角板的三个顶点A，B，C均在坐标轴上，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知直线上方抛物线上一点D，连接，求的面积最大值以及此时点D的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点C，已知点P为新抛物线上的一点，过B作直线交新抛物线于第四象限的点E，连接，当时，写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）过D作轴于H交于M，设，，先利用待定系数法求得直线的表达式，由三角形的面积公式和坐标与图形性质可得，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据平移性质得到新抛物线的表达式，分点P在直线上方和下方，利用三角形的外角性质，结合坐标与图形和含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，，， ∴，则， 设抛物线的解析式为， 将、代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过D作轴于H交于M，设，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，面积最大，最大值为， 又当时，， 故点D的坐标为； （3）解：由（1）得：， ∵，， ∴将原抛物线沿射线方向平移，新抛物线与y轴交于点C，即就是将原抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到新抛物线， 则新抛物线的表达式为，即， 当点P在直线上方时，如图，设直线与新抛物线的另一个交点为F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即轴， 则点P的横坐标为， 当时，， ∴； 当点P在直线下方时，如图，设直线与新抛物线的另一个交点为F，过P作轴于H， 同理可得，又， ∴， ∴在中，， 由得， 设点P的横坐标为x，则， ∴，即 解得或（舍去） 则， ∴， 综上，满足条件的点P坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质、坐标与图形、解一元二次方程等知识，综合性强，计算量大，正确求得函数关系式，灵活运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． 46．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()与轴交于，两点，与轴交于点，其顶点为点，点的坐标为，该抛物线与交于另一点，连接．    (1)求该抛物线的解析式． (2)一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿与轴平行的方向向上运动，连接，，设运动时间为秒()，在点的运动过程中，当为何值时，？ (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使得被平分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式； （2）设出点，用勾股定理求出点的坐标，从而求出，最后求出时间； （3）由被平分，确定出过点的直线的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）如图1，    设， ， ， ， ， 解得：舍去 ， （3）存在点，使被平分， 如图，    ， 在y轴上取一点N， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 点， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为 联立 解得：或 ． 【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、三角形的面积角平分线等知识，解题时根据灵活运用所学知识，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标． 考点八 与二次函数有关的线段问题 47．（2024·湖北武汉·二模）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴正半轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式为：__________； (2)如图1，连接，D为x轴上方抛物线上的点，且满足，求D点坐标； (3)如图2，M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，N为抛物线上另一点，分别连接、、，且，抛物线对称轴为直线l，线段、与直线l分别交于点P、Q，延长交直线l于点R，若满足，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）直接由待定系数法求解析式即可； （2）设，分类讨论，当时，由，建立关于m的方程并求解即可；当时，由，建立关于m的方程并求解即可； （3）延长交x轴于E，过M作轴于F，设直线的直线解析式为：，求出P点坐标，联立并求出点坐标，由等腰三角形的性质和中点坐标公式求出E点坐标，利用待定系数法求出的解析式，并求出Q点坐标，进而求出，联立求出N点坐标，利用待定系数法求出的解析式，求出R坐标，进而求出，再根据，建立关于k的方程，解方程求解即可； 【详解】（1）把和代入得， ，解得：， 抛物线的解析式为， 故答案为：； （2）设， 当时，， ， ， 当时，如图， ， ， 解得，（舍）， ， ， 当时，如图， ， ， 解得（舍），， ， ， 综上所述，或； （3）延长交x轴于E，过M作轴于F， 抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 设直线的直线解析式为：， 把代入得，， 直线的直线解析式为：， 当时，， ， 联立， 得 ，即， 解得， 当时，， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 把，，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 联立，得，即， 解得， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， 解得：或， M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点， ， ， 直线的解析式为：； 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式，面积问题，角度问题，等腰三角形的性质和判定，中点坐标公式等知识点；解题的关键是分割法求面积，根据，建立关于k的方程； 48．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)为定值3，证明见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，． ∴， ∴的值为定值； （3）设，则， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴当时，线段长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 49．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、两点点在点的左侧，与轴交于点，且  (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限的抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，点为第四象限的抛物线上一点，直线交轴于点，过点作直线，交轴于点，当点运动时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】(1)； (2)； (3)线段的长度不会改变，长度为12． 【分析】（1）将代入中，得，令，即，求出点的坐标，进而求出的值； （2）当点在第一象限抛物线上时，时，过点作，，，设，，，在中，，可得，则，求出直线解析式为，则，由在抛物线上，可得，求出的值，即可求解； （3）设，分别求出直线、直线的解析式，根据可得的解析式，可得出、的坐标，即可得线段的长度． 【详解】（1）解：由图象，可知， 将代入中，得， 点， ， 令，即， 解得，， 点A在点B的左侧， 点，， ， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，当点在第一象限抛物线上时，，过点A作于，   ， ， ， ， ， ， ， 设，，， 在中，， ， 解得或（负值不合题意，舍去）， ∴， 直线解析式为， 在抛物线上， ，解得（不合题意，舍去）或4， ； （3）解：设， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， 同理得：直线的解析式为， ∵， 设的解析式为， ， ，解得， 的解析式为， ， 线段的长度为， 线段的长度不会改变，线段的长度为12． 【点睛】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 考点九 与二次函数有关的特殊三角形问题 50．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 51．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，则 ，解得，（舍去），故； （3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）存在，理由： 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设点，则点，设直线交轴于点， 设直线表达式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得 则， 则， 则 ， 即存在最小值为； 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线表达式为：， 令，得 则， 则， 则 即存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求， 即存在最小值为， 综上所述，的面积是否存在最小值，且为． 52．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 53．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 54．（2024·甘肃陇南·二模）如图，抛物线经过，两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点Q在该抛物线的对称轴上，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的坐标； (3)若P为的中点，过点P作轴于点F，G为抛物线上一动点，轴于点M，N为直线上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)或或 (3)或或或 【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分、两种情况，利用等腰三角形腰相等求解即可； （3）计算出，，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则，即可求解． 【详解】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得: ，解得， 故抛物线的表达式为； （2）由抛物线的表达式知，点，函数的对称轴为直线， 则设点Q的坐标为， 由点A、C、Q的坐标得：， 同理可得：，， 当时，则，解得； 当时，同理可或0（舍去）， 故点Q的坐标为或或； （3）∵，故点D的坐标为， 由点B、D的坐标得，点， 则点， 设点M的坐标为，则点， 则，， 当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则， 即， 当时，解得， 当时，解得， 故点M的坐标为或或或． 55．（2024·四川凉山·二模）如图①，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，设是点，间抛物线上的点（包括端点）．其横坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为何值时，面积取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，最大，理由见解析 (3)存在，或 【分析】本题考查了二次函数综合问题；待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）连接，，过点作轴交于．过点作分别交直线，于、，求得直线的解析式为．得出点在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，则最大，即要使最大，进而根据二次函数的性质求得的最大值，即可求解； （3）设，进而勾股定理求得，根据等腰三角形的定义，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）把，代入抛物线解析 式中得：， 抛物线解析式为； （2）如图所示，连接，，过点作轴交于． 过点作分别交直线，于、 设直线的解析式为， 直线过点，． ， 直线的解析式为． 直线与直线平行， ， 点在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大， 则最大，即要使最大， ， 当最大时，最大，即此时的面积最大， 是点，间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为． ，， ， 当时，最大，即此时的面积最大；    （3）设 ， ∵是以为底的等腰三角形 解得：， 或 考点十 与二次函数有关的特殊四边形问题 56．（2024·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b为常数）经过点．点P在抛物线上，且横坐标为m，点Q的坐标为，连接、． (1)求该抛物线对应的函数表达式． (2)连接，当轴时，求m的值． (3)以线段、为邻边构造， ①边的长的最小值为________，此时的面积为________． ②当，且抛物线在的内部（不含的边界）的部分的y值随x的增大而增大或随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①，8；②， 【分析】（1）待定系数求出二次函数解析式即可； （2）根据点P在抛物线上，且横坐标为m，得出点P的坐标为，根据轴，得出点P的纵坐标为5，即，求出m的值即可； （3）①根据平行四边形的性质得出，根据，，得出，根据二次函数的最值，得出当时，的最小值为2，得出的最小值为，即可求出的最小值，先求出点N的坐标为，利用割补法求出平行四边形的面积即可； ②先求出点，说明点N在直线上，根据，得出点Q在直线上，分两种情况画出图形，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点P在抛物线上，且横坐标为m， ∴点P的坐标为， ∵轴， ∴点P的纵坐标为5， ∴， 解得：或（舍去）． （3）①解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴ ， ∴当时，的最小值为2， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 此时点Q的坐标为，点P的坐标为， 设点N的坐标为， ∵为平行四边形， ∴，， 解得：，， ∴点N的坐标为， ∴ ； ②根据题意可知：，，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴点N在直线上， ∵， ∴点Q在直线上， 当点Q正好在直线与抛物线的交点K或在点K的上方时，在平行四边形内部的抛物线，正好都在对称轴的右侧，随x的增大而增大，符合题意，如图所示： 令， 解得：或， ∴当点Q在点K处时，， 解得：， ∴此时m的取值范围是：； 把代入得：， 当点N在直线与抛物线的交点上时，， 解得：或， 此时在内部的抛物线在对称轴的左侧，且当点P继续向上移动时，点N在直线与抛物线交点的上方，在内部的抛物线在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，符合题意， ∴当时，在内部的抛物线，y随x的增大而减小； 综上分析可知：，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，平行四边形的性质，求二次函数的最值，两点间距离公式，中点坐标公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 57．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)最大值为 (4)存在， 【分析】（1）先由题意得出的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）先设出的坐标，然后将的面积表示出来，根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）表示出，根据二次函数的性质，即可求解． （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点， ∴ 设抛物线解析式为 将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时， ∴, （2）解：∵ ∴ ∴ ∵点为抛物线上一点，且 设， ∴ ∵ ∴ ∵为顶点， ∴ ∴ 解得： ∴或 （3）解：设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴ 设，则 ∴ 当时，线段的最大值为 （4）存在， ∵抛物线对称轴为直线，设，，又 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：； ∴ ∴ 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴ 当为矩形的对角线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：或； ∴或； ∴ 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，线段问题，特殊四边形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 58．（2024·广东汕头·三模）如图1，抛物线和直线交于A，两点，过点作直线轴于点． (1)求的度数． (2)如图2，点从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上． ①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 【答案】(1) (2)①当时，矩形的面积最小： ；②、或2. 【分析】本题属于二次函数的综合应用，主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、二次函数求最值等知识点，掌握数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）设直线与轴交于点，然后确定点 、，进而说明是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可解答； （2）①如图，过点作轴于点，根据题意可得、、，再联立和可得，秒时点坐标为、点坐标为，即；再证明可得，即,进而得到再结合可得，然后根据二次函数的性质即可解答；②由（1）点坐标为、、；由①证得可得，进而说明 、，然后讨论M、N、Q的位置情况并分别求出t值即可． 【详解】（1）解：设直线与轴交于点， 当时，， ， 当时，， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ； （2）解：①如图，过点作轴于点，   ，点速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度， ，，， 联立和可得， ，， 秒时点坐标为，点坐标为， ， 矩形， ， ，， ， 又， ， ， 矩形的面积， ， ， 当时， 矩形的面积最小：； ②当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上． 由（1）点坐标为，，， ， ， ， 点坐标为， 矩形对边平行且相等，，，， 点坐标为， 当在抛物线上时，则有，解得：， 当点到时，在抛物线上，此时， 当在抛物线上时，，重合： ，解得：， 综上所述，当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上． 59．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 60．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一动点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点P在直线上方时，过点P作y轴的平行线交直线于点E． ①求面积的最大值； ②点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作交抛物线于点Q，过点D作于点H，请直接写出点H到抛物线对称轴距离的最大值． 【答案】(1) (2)①；②点M的坐标为或或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①先求出直线的解析式，然后设设，则，即可表示并配方得到最值即可； ②分为，，三种情况，利用菱形的性质解题即可； （3）过点作轴，过点作轴,交过点作轴的平行线于点，，则，即可得到，然后利用根与系数得的关系解题即可． 【详解】（1）∵抛物经过点，， ∴ 解得 ∴该抛物线的函数解析式为； （2）①∵点，， 设直线的解析式为，把代入得， ∴直线的解析式为. 设， 则， ∴ ∴， ∴当时，； ②∵抛物线与x轴交于A、两点， 令，则，解得或， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴. 以下分三种情况讨论： （i）如答图9-1，当四边形为菱形时，此时， 又∵， ∴垂直平分， ∴点P与点E关于x轴对称 ∴，即 解得，(舍去) ， ∴，， ∴ . （ii）如答图9-2，当四边形为菱形时，此时， ∴. ∴点P与点A重合 ∴，， ∴ . （iii）如答图9-3，当四边形为菱形时，此时， ∵，， ∴， ∴， 解得，(舍去) ， ∴，， ∴ . 综上，点M的坐标为或 或 . （3）如图，过点作轴，过点作轴,交过点作轴的平行线于点，， 则， ∴ ∴， ∴， ，，已知，则有， 整理得：①， 设直线的解析式为，联立抛物线， 消去y可得：， 由韦达定理得，， 代入①得， 整理得， ∴直线为， ∴直线过定点， ∴， ∵， ∴点H的轨迹是以为直径的圆， 点H到抛物线对称轴距离的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法是解题的关键． 61．（2024·吉林长春·三模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在抛物线上．设点P的横坐标为m，记抛物线对称轴与x轴的交点为 D． (1)求点D的坐标； (2)若时，，则m的取值范围为 ； (3)点M的横坐标为，且轴，将线段的中点绕点P逆时针旋转 得到点Q， 以、为邻边作矩形． ①当点N落在抛物线时，求的长； ②设矩形的对称中心为点 R，当点R位于抛物线的对称轴右侧时，连接，当 垂直于矩形的一条对角线时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)①10；②或 【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，进而可得点坐标； （2）结合顶点，求出函数值等于对应的x的值，再结合图像求解即可； （3）①设点的横坐标为，则纵坐标为，得，则，，可得点的坐标为，根据点落在抛物线，进而求得的值，即可求解； ②求出点的坐标，可表示出，，，再 垂直于矩形的一条对角线时，分两种情况：当时，，当时，，列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 则，抛物线的对称轴为， ∴点的坐标为； （2）， 对称轴为直线，顶点为， 令，解得：，， 画图如下：    ∵若时，， ∴由图可知：， 故答案为：； （3）①设点的横坐标为，则纵坐标为， ∵点的横坐标为，且轴， ∴，则， 则线段的中点的坐标为，即， ， ∵时，矩形不存在， 故， 将线段的中点绕点逆时针旋转得到点， 则点的坐标为：，即， ∴点的坐标为， ∵点落在抛物线上， ∴，解得：， 此时； ②∵，，，， ∴矩形的对称中心点的坐标为：， 即：， ∵点位于抛物线的对称轴右侧， ∴， ∴，且， ， ， ， 当时，， 则， 解得： ，，（舍去）， 当时，， 则，得（舍去）； 综上，当 垂直于矩形的一条对角线时，或． 【点睛】本题考查矩方形的性质，二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法求二次函数解析式等知识，运用数形结合思想是解题的关键．由于无论还是，用m表的点的坐标都一致，因此可以不用分类讨论． 62．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)当时，求点P的坐标． (3)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或； (3)P的横坐标为或 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为； （2）分两种情况：①当在轴下方时，设交轴于，求出，直线解析式为，由，知，可得直线解析式为，联立，即可解得；②当在轴上方时，交轴于，可知与关于轴对称，从而可得，直线解析式为，联立，可解得； （3）分两种情况：①当在对称轴左侧时，延长交轴于，求得抛物线对称轴为直线，证明，即轴，知直线，故当在直线上时，也在直线上，求得，；设，得，即可解得此时的横坐标为；②当在对称轴右侧时，同理可知，；设，有，可解得此时的横坐标为． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：①当在轴下方时，设交轴于，如图： 点是的中点，， ， 设直线解析式为 把，代入 ∴ 得直线解析式为， ， ， 设直线解析式为， 把代入得：， 解得， 直线解析式为， 联立， 解得或； ； ②当在轴上方时，交轴于，如图， ， ∴与关于轴对称， 由①知直线解析式为， ， ， 由，得直线解析式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：当在对称轴左侧时，延长交轴于，如图： 由可得抛物线对称轴为直线， ，， ，直线解析式为， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ，即轴， 抛物线对称轴直线垂直轴， 直线， 当在直线上时，也在直线上， 如图： 由得， ，； 设，则，， ， ， 解得（舍去）或， 此时的横坐标为； ②当在对称轴右侧时，如图： 同理可知，； 设，则，， ， ， 解得或（舍去）， 此时的横坐标为； 综上所述，的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数的性质，涉及待定系数法，梯形的面积，正方形，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 考点十一 二次函数营销问题 63．（2024·湖南怀化·一模）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 【答案】(1)， (2)①；②第周或第周销售额最大，最大销售额是元 (3) 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的实际应用以及一元二次方程的应用， （1）利用待定系数法即可求解； （2）①利用待定系数法即可求解； ②分和两种情况讨论，利用销售额=销售量销售价格，再运用二次函数的性质求解即可； （3）由题意列一元二次方程计算出的值，再利用估算法即可求解． 【详解】（1）把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：，； （2）①设函数关系式为： 把，代入得：， 解得：， 与的函数表达式为：； ②当时， ，， ， ， 是正整数， 当或时，有最大值； 当时，，， 当时，，， ， 是正整数，， 当时，有最大值； 综上所得：第周或第周销售额最大，最大销售额是元； （3）由题意得： ， 解得：或(舍去)， ∵， ∴． 64．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 【答案】(1) (2)当为第天时日销售额最大，最大为元 (3)元 【分析】（1）根据前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，可求出当时，与的关系； （2）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值即可得到结论； （3）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值，再和作比较，从而确定能获得较大利润的天数，即可求解． 【详解】（1）解：∵前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， ∴当时，， ∴当时，写出与的关系式为：； （2）由题意得，销售量为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为， 综上所述，当时，取最大值为， 答：当为第天时日销售额最大，最大为元； （3）当时， ， 当时，取最大值为：， ∵， ∴时不可能获得较大利润． 当时，， 当时，取最大值为，得：， 当时， 解得：或， ∴当时，， ∴获得较大利润天数为天， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的最小值为元． 【点睛】本题考查列函数关系式，一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，二次函数实际中的应用和一元一次不等式的实际．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 65．（2024·湖南常德·一模）2023年6月29日，安乡“中国酱卤之乡”成功授牌，安乡的酱卤美食深受全国各地人们喜爱．某酱卤店开通了网上销售渠道，在开始售卖当天提供150件某酱卤制品，很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过网上预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m件（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）的供应量（单位：件）和需求量（单位：件）的部分数据如下表，其中需求量与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数） 第x天 1 2 … 6 … 11 … 15 供应量（件） 150 … … … 需求量（件） 220 229 … 245 … 220 … 164 (1)直接写出与x和与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围） (2)已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136件） (3)在第（2）问m取最小值的条件下，若每件酱卤制品售价为100元，求第4天的销售额． 【答案】(1)， (2)的值为20或21 (3)第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元． 【分析】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组解决问题． （1）由已知直接可得，设，用待定系数法可得的函数关系式； （2）求出前9天的总供应量为个，前10天的供应量为个，根据前9天的总需求量为2136个，前10天的总需求量为（个，可列出不等式组，而为正整数，即可解得的值； （3）最小值为20，从而第4天的销售量即供应量为，销售额为21000元，第12天的销售量即需求量为，销售额为20900元． 【详解】（1）根据题意得：， 设，将，，代入得： ， 解得， ； （2）前9天的总供应量为个， 前10天的供应量为个， 在中，令得， 前9天的总需求量为2136个， 前10天的总需求量为（个， 前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量， ， 解得， 为正整数， 的值为20或21； （3）由（2）知，最小值为20， 第4天的销售量即供应量为， 第4天的销售额为（元， 而第12天的销售量即需求量为， 第12天的销售额为（元， 答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元． 66．（2023·山东青岛·三模）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10 市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4 已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克． (1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，解答下列问题： ①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围； ②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式； ③求厂家每天获得的最大利润y是多少？并求出取到最大利润时x的值． (3)若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为_________元/千克． 【答案】(1)（）； (2)①；②；③最大利润y是百元，取到最大利润时x的值为； (3)5 【分析】（1）设q与x的函数关系式为：，将表格中数据代入，即可求解； （2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有，得出不等式，解不等式，即可求解；②由①可知，当时，，当时，，即可求解；③分别求出当，时的最值，进行比较，取最大值，即可求解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：由表格的数据，设q与x的函数关系式为：， 根据表格的数据得：， 解得：， ∴q与x的函数关系式为：（）； （2）解：①当每天的半成品食材能全部售出时，有， ， 解得：， ， ； ②由①可知，当时， ； 当时， ； ； ③当时， 的对称轴为 直线， 当时，y随x的增大而增大， ∴时，y有最大值， 最大值为， 当时， ， ，， 当时，y取最大值，最大值为， ∵， 厂家每天获得的最大利润y是百元，取到最大利润时x的值为； （3）解：要使每天的利润不低于24百元， 当时，由（2）知y最大为20，故不存在这种情况； 令，解得：， 由于函数图象开口向下， ∴当时，每天的利润不低于24（百元）， ∴当时，能保证不低于24百元，并尽可能地减少半成品食材的浪费， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，二次函数与不等式，待定系数法，能根据等量关系式及不等关系式列出函数及不等式，再根据二次函数的性质求解是解题的关键． 考点十二 动点背景下的二次函数问题 67．（2024·河北保定·二模）如图1，一块矩形电子屏中，G为上一感应点，，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域．因发生故障，只有光带和正常工作，，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图像，其中点Q表示P点运动到B点时情形． (1)时，照亮的区域面积______，并求a值． (2)当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数． ①求出点P在线段上运动时S关于t的函数解析式； ②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域的面积S为17． 【答案】(1)； (2)①；②的值为、或时，照亮区域的面积为17 【分析】（1）先得出，利用勾股定理求出的长即可得出，根据及图像得出点运动到点时，理由勾股定理求出即可得值； （2）①如图连接，根据垂线段最短得出点经过点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小时，利用证明，得出可求出此时的值，根据点纵坐标可得，利用勾股定理求出的长，根据，及时的值，利用待定系数法即可求出关于的函数解析式；②分点在和上两种情况，分别求出值即可． 【详解】（1）解：∵，点的速度为每秒个单位， ∴， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， 由图2可知，时， ∵， ∴时，点运动到点， ∴， ∴． 故答案为：； （2）如图，连接， ∵点经过点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小， ∴此时，， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴时，， 由图2可知，点运动到点时，， ∴， ∴，， ∴时，， 设， ∴， 解得：， ∴． ②当点在上时，， ∴， 解得：，（负值舍去） 当点在上时，， 解得：，， 综上所述：的值为、或时，照亮区域的面积为17． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及待定系数法求二次函数解析式，正确提取函数图像中的信息并分类讨论是解题关键． 68．（2024·江西赣州·二模）如图，在矩形中，已知，点是的中点．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，当一个点到达点时，另一点也随之停止运动．连接，，设动点运动的时间为秒，的面积为，图中的曲线是动点在线段上时与的函数图象． (1) 填空： ①____________； ②当时，直接写出与的函数解析式为____________． (2)经探究，发现当点在线段上运动时，是关于的二次函数．请求出此时与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． (3)在整个运动过程中，若存在某个时刻，，，使得的值相等． ①求出的取值范围； ②当时，求的值． 【答案】(1)①；② (2)， (3)①；② 【分析】（1）①由图可得时，点在点处，从而可得，即可得解；②由中点得，进而求得当点在上运动时，点在上运动，由，的高为，利用三角形的面积公式即可得解； （2）根据三角形形的面积公式可得是关于的二次函数； （3）由（）（）得，①对于，当时，，当时，，从而可得；②得，从而根据时刻，，，使得的值相等构造方程求解即可得，进而代入求解即可． 【详解】（1）解：①由图可得时，点在点处， ∴， 故答案为：， ②∵点是的中点， ∴， ∵动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动， ∴， ∴当点在上运动时，点在上运动， ∵，的高为， ∴当时，， 故答案为：； （2）解：如图，当点在线段上运动时， ，， 此时， ∴， 自变量的取值范围为； （3）解：由（）（）得， ①如图，， 对于，当时，， ∵， ∴当时， ； ②， ， ∴， 解得：或（舍去）， 把，代入得： ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，从函数图像获取信息，矩形的性质以及求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 69．（2024·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点，点在第一象限，点在边上（点不与点，重合），过点作，交的直角边于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为，连接． (1)如图①，若点落在上，点的坐标是__________，点的坐标是__________； (2)设与重合部分面积为，． ①如图②，若重合部分为四边形，与边交于点，，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①②当时，的取值范围为． 【分析】（1）作于点，利用等腰直角三角形的性质求得，设，点落在上时，，，由，列式计算即可求解； （2）①作于点，推出、、和都是等腰直角三角形，四边形为矩形，求得，，，根据计算即可求解； ②分当、、时，分别求得的值，当时，利用二次函数的性质求得的最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 作于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标是， 设，则，， 点落在上时，，， ∴，即， ∴， ∴点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：①作于点， 同（1）、、和都是等腰直角三角形，四边形为矩形， 由（1），，， ∴， ∴四边形的面积 ； ②当时， 当时，； 当时，； 当时， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 当时，如图，同理， ∴； 综上，当时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，学会用分类讨论的思想思考问题． 70．（2023·吉林松原·三模）如图，在中，，，，点P从点A出发以的速度向点C运动，到点C停止，过点P作交点Q，以线段的中点为对称中心将旋转得到，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为，与重合部分的面积为S（）．    (1)求当点D落在边上时t的值； (2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)直接写出当是等腰三角形时t的值． 【答案】(1)2 (2) (3)1或或 【分析】（1）由题意易得，然后可得方程，进而问题可求解； （2）由题意可分当时和当时，进而分类求解即可； （3）由题意可当时，当时，当时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：如图，当点D落在边上时，      ． 由，解得， 所以当点D落在边上时t的值是2． （2）解：当时，如图，    ，． ； 当时，如图，    ，， ． 综上，； （3）解：当时，如图，      ， 由，解得； 当时，如图5， ，， 由，解得（负值舍去）；    当时，如图6， ，， 由， 解得，（舍去）． 综上，当是等腰三角形时t的值为1或或． 【点睛】本题主要考查勾股定理、二次函数的综合及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理、二次函数的综合及等腰三角形的性质是解题的关键． 71．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）问题提出： 四边形是正方形，是射线上的动点，点在线段的延长线上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，四边形的面积为（可等于0）． (1)如图①，当点由点运动到点过程中，发现是关于的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，抛物线经过原点且顶点为，请根据图象信息，回答下列问题： ①正方形的边长为___________（直接填空）； ②求关于的函数关系式； (2)如图③，当点在线段的延长线上运动时，求关于的函数关系式； (3)若在射线上从下至上依次存在不同位置的两个点，对应的四边形的面积与四边形的面积相等，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)①4；  ② (2)； (3)四边形的面积为3或． 【分析】（1）①由抛物线顶点为，可得时，四边形的面积最大为4；此时为的中点，故，即正方形的边长为4； ②过作于，证明，得，而，由三角形面积公式可得； （2）当点在线段的延长线上运动时，过作于，证明，得，而，故四边形的面积；即； （3）当，都在边上时，设，则，由，有，可得，即可得，解得，从而四边形的面积为3；当在边上，在边延长线上时，同理可得四边形的面积为． 【详解】（1）解：①由图②知，抛物线顶点为， 时，四边形的面积最大为4； 此时为的中点， ， 即正方形的边长为4； 故答案为：4； ②过作于，如图： ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形的面积； 关于的函数关系式为； （2）解：当点在线段的延长线上运动时，过作于，如图： ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形的面积； 关于的函数关系式为； （3）解：当，都在边上时，如图： 设，则， ， ， ， 在中，令和得：，， ， 解得， ， ， 即四边形的面积为3； 当在边上，在边延长线上时，如图： 设，则， ， ， ， 在中，令得：， 在中，令得：， ， 解得（大于4，舍去）或， ， ， 即四边形的面积为； 由在下方，知，不可能，都在的延长线上； 综上所述，四边形的面积为3或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及动点问题的函数图象，结合图形分析题意及分类讨论思想的应用是解题关键． 72．（2023·山东青岛·二模）如图1，在菱形中，、交于点E，厘米，点F在上，厘米．点P、Q分别从A、E两点同时出发，点P以k厘米/秒的速度沿向点E匀速运动，用时8秒到达点E；点Q以m厘米/秒的速度沿向点E匀速运动，设运动的时间为x秒，的面积为平方厘米，的面积为平方厘米．    (1)图2中的线段是与x的函数图象，则与x的函数关系式为________，m的值为________； (2)图2中的抛物线是与x的函数图象，其顶点坐标是，求点P的速度及对角线的长； (3)在图2中，点G是x轴正半轴上一点（，过G作垂直于x轴，分别交抛物线和线段于点M、N． ①直接写出线段的长在图1中所表示的意义； ②当时，求线段长的最大值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)①线段的长表示与的差；②当时，线段长最大，最大值为． 【分析】（1）根据函数图象利用待定系数法求解的解析式即可，再根据面积求解的长，从而可得的值； （2）由抛物线的顶点坐标是，可得当时，面积最大，最大为，此时，，可得，则，从而可得答案； （3）①根据的长度等于两点纵坐标之差可得其含义；②由线段长为，而，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设，把代入可得：， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，，， ∴，解得：； （2）∵抛物线的顶点坐标是， 设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为：； 当时，面积最大，最大为， 此时，， ∴，则， ∴，， ∴； （3）①线段的长表示与的差； ②∵，， ∴线段长为 ，而， ∴对称轴为直线， ∴当时，线段长最大，最大值为． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的性质，理解题意，建立函数模型是解本题的关键． 试卷第2页，共170页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数综合题拓展训练 目录与链接 考点一 二次函数规律探究…………………………………………………………………………2 考点二 与二次函数有关的最值问题………………………………………………………………8 考点三 二次函数背景下分段函数……………………………………………………………… 26 考点四 二次函数背景下的最值讨论问题………………………………………………………32 考点五 二次函数图象的变换问题………………………………………………………………41 考点六 二次函数的临界点问题…………………………………………………………………66 考点七 与二次函数有关的角度问题……………………………………………………………83 考点八 与二次函数有关的线段问题……………………………………………………………94 考点九 与二次函数有关的特殊三角形问题……………………………………………………104 考点十 与二次函数有关的特殊四边形问题……………………………………………………122 考点十一 二次函数营销问题……………………………………………………………………147 考点十二 动点背景下的二次函数问题…………………………………………………………155 考点一 二次函数规律探究 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为 ．    2．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，点、、、…、在抛物线图象上，点、、、…、在y轴上，若、、…、都为等腰直角三角形（点是坐标原点），则的腰长=    3．（2023·浙江台州·二模）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题： 如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点．则的值为 ．    4．（2021·山东德州·二模）如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．则顶点M2014的坐标为 ． 考点二 与二次函数有关的最值问题 5．（21-22九年级上·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C． （1）求直线BC的解析式； （2）求抛物线的顶点及对称轴； （3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； （4）若点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC的面积；若不存在，说明理由． 6．（2022·天津滨海新·二模）已知：抛物线（b，c为常数），经过点A（－2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标； (3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值． 7．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点坐标为．    (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及周长最小值； (3)如图2，点为直线上方抛物线上的一个动点，当面积最大时，求点的坐标． 9．（2022·湖北恩施·一模）如图，已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点是，且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，过点P作于点G． (1)求b、c的值； (2)若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． (3)当点P运动到何处时，线段的长最小？最小值为多少？ 10．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 考点三 二次函数背景下分段函数 11．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 12．（2024·湖北武汉·二模）如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，若关于x的方程有3个不相等的实数根，则k的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 13．（19-20九年级上·湖北黄石·期中）已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为 ． 14．（18-19九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中两点P（x，y），Q（x，y′），其中y′＝，则称Q点是P点的可控点．若P（x，y）满足y＝－x2＋16，其中（－5≤x≤a）时，可控点Q（x，y′）满足－16≤y′≤16，则a的取值范围为 ． 15．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 考点四 二次函数背景下的最值讨论问题 16．（2023·辽宁大连·模拟预测）已知二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 17．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，则a的值为（    ） A．1或 B．2或 C．2或 D．或 18．（2024·山东济南·二模）抛物线，将其图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形是上的任意一点，当时，的最大值记为，则取得最小值时，的值为(    ) A． B． C． D． 19．（2024·浙江·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．4 20．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线过点，两点，若，时，y的最大值为，则t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．4 21．（2024·陕西宝鸡·二模）已知二次函数（a为常数），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则a的值为（    ） A． B．4 C． D． 22．（21-22九年级上·湖北荆州·期中）已知二次函数，当时有最小值10，则m的值为 ． 23．（21-22九年级上·湖南长沙·期末）二次函数y＝-(x-1)2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为 ． 24．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数）的图像与轴的公共点为，． (1)当时，求的值； (2)当，且时，求的取值范围； (3)线段长的最小值为　　． 考点五 二次函数图象的变换问题 25．（2024·四川南充·二模）如图，将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，原抛物线轴上方的图象与翻折得到图象组成一个新函数的图象，若直线与新函数的图象有三个交点，则的取值范围是 ． 26．（2024·辽宁大连·三模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作y轴的垂线交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 ． 27．（2024·四川广元·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与其关于直线对称的图象交于四点， 则四边形的面积为 ．    28．（2024·陕西商洛·三模）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点且以为边的四边形是矩形，求满足条件的点的坐标． 29．（2024·河南焦作·二模）已知抛物线的顶点为D． (1)若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标； (2)在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． ①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）； ②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围． 30．（2024·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点． (1)如图1，若点的坐标为，求抛物线的表达式和点的坐标； (2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形． ①在（1）的条件下，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②如图2，已知点和点是图形上的点．设，当时，请直接写出的取值范围． 31．（2024·湖北恩施·二模）如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线经过B、C两点． (1)求出该二次函数的解析式． (2)已知点P为直线l上的一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N． ①当时，求点P的横坐标． ②当的长度随t的增大而增大时，直接写出t的取值范围． (3)如图2，将二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有3个公共点时，求n的值． 32．（2024·安徽滁州·三模）如图1，以点 A，B 为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点C 是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，于点 D，，则称实线表示的部分为该抛物线上的“正抛线”，点A，B 分别为“正抛线”的左、右端点，点 C 为“正抛线”的顶点，的长为“正抛线”的高． (1)已知高为4的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式； (2)已知抛物线 上的“正抛线”以原点为左端点，求b； (3)如图2，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点都在x轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直线上．求大“正抛线”与小“正抛线”高之比． 33．（2024·湖北随州·模拟预测）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线过点B和C，与x轴的另一个交点为A． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点M是第一象限内抛物线上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作直线轴于点N，交直线于点G，若点G为的三等分点，求点M的坐标； (3)将线段先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段．现另有抛物线，请你根据a的不同取值范围，探索抛物线与线段的交点个数（只需直接写出a的取值范围及对应的交点个数即可）． 34．（2024·河北石家庄·二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴及点关于对称轴的对称点的坐标； (2)点是线段上的一个点，过点作x轴的垂线，与抛物线交于点． ①若点在对称轴上，判断此时点是否为线段的中点，说明理由； ②当最大时，求点的坐标； (3)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位得到线段，若抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 考点六 二次函数的临界点问题 35．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 36．（2024·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，且）经过和两点．已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 37．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：函数的“镜面函数”的解析式为，，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有4个交点，则n的取值范围是 ． 38．（22-23九年级上·天津武清·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是 ． 39．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（b，c为常数）的图象交y轴于点，其对称轴为． (1)求该二次函数的关系式； (2)点A、C均在该二次函数的图象上，它们的横坐标分别为n和．以线段为对角线作矩形，轴、当矩形与该二次函数图象有且只有三个公共点时，设第三个公共点为P，若与矩形的面积之比为，请求出点A的坐标． 40．（2024九年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线，，为常数，且经过和两点． (1)求b和c的值（用含a的代数式表示）； (2)若该抛物线开口向下，且经过，两点，当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围； (3)已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点时，结合函数图象，求a的取值范围． 41．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为C． (1)求点A，B的坐标． (2)若的面积为，求a的值． (3)如图，已知点，，，，当抛物线与正方形只有2个公共点时，求a的取值范围． 42．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（m为常数，）． (1)当时，求该函数的图象的顶点坐标； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； (3)已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 43．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 考点七 与二次函数有关的角度问题 44．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． ①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； ②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 45．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）如图1，在平面直角坐标系中放置了一块30度的直角三角板，且直角三角板的三个顶点A，B，C均在坐标轴上，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知直线上方抛物线上一点D，连接，求的面积最大值以及此时点D的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点C，已知点P为新抛物线上的一点，过B作直线交新抛物线于第四象限的点E，连接，当时，写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 46．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()与轴交于，两点，与轴交于点，其顶点为点，点的坐标为，该抛物线与交于另一点，连接．    (1)求该抛物线的解析式． (2)一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿与轴平行的方向向上运动，连接，，设运动时间为秒()，在点的运动过程中，当为何值时，？ (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使得被平分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点八 与二次函数有关的线段问题 47．（2024·湖北武汉·二模）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴正半轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式为：__________； (2)如图1，连接，D为x轴上方抛物线上的点，且满足，求D点坐标； (3)如图2，M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，N为抛物线上另一点，分别连接、、，且，抛物线对称轴为直线l，线段、与直线l分别交于点P、Q，延长交直线l于点R，若满足，求直线的解析式． 48．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 49．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、两点点在点的左侧，与轴交于点，且  (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限的抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，点为第四象限的抛物线上一点，直线交轴于点，过点作直线，交轴于点，当点运动时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 考点九 与二次函数有关的特殊三角形问题 50．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 51．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 52．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 53．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 54．（2024·甘肃陇南·二模）如图，抛物线经过，两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点Q在该抛物线的对称轴上，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的坐标； (3)若P为的中点，过点P作轴于点F，G为抛物线上一动点，轴于点M，N为直线上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标． 55．（2024·四川凉山·二模）如图①，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，设是点，间抛物线上的点（包括端点）．其横坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为何值时，面积取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点的坐标，不存在，请说明理由． 考点十 与二次函数有关的特殊四边形问题 56．（2024·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b为常数）经过点．点P在抛物线上，且横坐标为m，点Q的坐标为，连接、． (1)求该抛物线对应的函数表达式． (2)连接，当轴时，求m的值． (3)以线段、为邻边构造， ①边的长的最小值为________，此时的面积为________． ②当，且抛物线在的内部（不含的边界）的部分的y值随x的增大而增大或随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 57．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 58．（2024·广东汕头·三模）如图1，抛物线和直线交于A，两点，过点作直线轴于点． (1)求的度数． (2)如图2，点从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上． ①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 59．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 60．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一动点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点P在直线上方时，过点P作y轴的平行线交直线于点E． ①求面积的最大值； ②点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作交抛物线于点Q，过点D作于点H，请直接写出点H到抛物线对称轴距离的最大值． 61．（2024·吉林长春·三模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在抛物线上．设点P的横坐标为m，记抛物线对称轴与x轴的交点为 D． (1)求点D的坐标； (2)若时，，则m的取值范围为 ； (3)点M的横坐标为，且轴，将线段的中点绕点P逆时针旋转 得到点Q， 以、为邻边作矩形． ①当点N落在抛物线时，求的长； ②设矩形的对称中心为点 R，当点R位于抛物线的对称轴右侧时，连接，当 垂直于矩形的一条对角线时，直接写出m的值． 62．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)当时，求点P的坐标． (3)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标． 考点十一 二次函数营销问题 63．（2024·湖南怀化·一模）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 64．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 65．（2024·湖南常德·一模）2023年6月29日，安乡“中国酱卤之乡”成功授牌，安乡的酱卤美食深受全国各地人们喜爱．某酱卤店开通了网上销售渠道，在开始售卖当天提供150件某酱卤制品，很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过网上预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m件（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）的供应量（单位：件）和需求量（单位：件）的部分数据如下表，其中需求量与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数） 第x天 1 2 … 6 … 11 … 15 供应量（件） 150 … … … 需求量（件） 220 229 … 245 … 220 … 164 (1)直接写出与x和与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围） (2)已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136件） (3)在第（2）问m取最小值的条件下，若每件酱卤制品售价为100元，求第4天的销售额． 66．（2023·山东青岛·三模）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10 市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4 已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克． (1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，解答下列问题： ①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围； ②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式； ③求厂家每天获得的最大利润y是多少？并求出取到最大利润时x的值． (3)若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为_________元/千克． 考点十二 动点背景下的二次函数问题 67．（2024·河北保定·二模）如图1，一块矩形电子屏中，G为上一感应点，，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域．因发生故障，只有光带和正常工作，，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图像，其中点Q表示P点运动到B点时情形． (1)时，照亮的区域面积______，并求a值． (2)当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数． ①求出点P在线段上运动时S关于t的函数解析式； ②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域的面积S为17． 68．（2024·江西赣州·二模）如图，在矩形中，已知，点是的中点．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，当一个点到达点时，另一点也随之停止运动．连接，，设动点运动的时间为秒，的面积为，图中的曲线是动点在线段上时与的函数图象． (1) 填空： ①____________； ②当时，直接写出与的函数解析式为____________． (2)经探究，发现当点在线段上运动时，是关于的二次函数．请求出此时与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． (3)在整个运动过程中，若存在某个时刻，，，使得的值相等． ①求出的取值范围； ②当时，求的值． 69．（2024·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点，点在第一象限，点在边上（点不与点，重合），过点作，交的直角边于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为，连接． (1)如图①，若点落在上，点的坐标是__________，点的坐标是__________； (2)设与重合部分面积为，． ①如图②，若重合部分为四边形，与边交于点，，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 70．（2023·吉林松原·三模）如图，在中，，，，点P从点A出发以的速度向点C运动，到点C停止，过点P作交点Q，以线段的中点为对称中心将旋转得到，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为，与重合部分的面积为S（）．    (1)求当点D落在边上时t的值； (2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)直接写出当是等腰三角形时t的值． 71．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）问题提出： 四边形是正方形，是射线上的动点，点在线段的延长线上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，四边形的面积为（可等于0）． (1)如图①，当点由点运动到点过程中，发现是关于的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，抛物线经过原点且顶点为，请根据图象信息，回答下列问题： ①正方形的边长为___________（直接填空）； ②求关于的函数关系式； (2)如图③，当点在线段的延长线上运动时，求关于的函数关系式； (3)若在射线上从下至上依次存在不同位置的两个点，对应的四边形的面积与四边形的面积相等，当时，求四边形的面积． 72．（2023·山东青岛·二模）如图1，在菱形中，、交于点E，厘米，点F在上，厘米．点P、Q分别从A、E两点同时出发，点P以k厘米/秒的速度沿向点E匀速运动，用时8秒到达点E；点Q以m厘米/秒的速度沿向点E匀速运动，设运动的时间为x秒，的面积为平方厘米，的面积为平方厘米．    (1)图2中的线段是与x的函数图象，则与x的函数关系式为________，m的值为________； (2)图2中的抛物线是与x的函数图象，其顶点坐标是，求点P的速度及对角线的长； (3)在图2中，点G是x轴正半轴上一点（，过G作垂直于x轴，分别交抛物线和线段于点M、N． ①直接写出线段的长在图1中所表示的意义； ②当时，求线段长的最大值． 试卷第2页，共170页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$