专题03 勾股定理的应用一（六大题型，60题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

专题03 勾股定理的应用一（六大题型，60题） 目录 题型一：求梯子滑落高度 1 题型二：求旗杆高度 5 题型三：求小鸟飞行距离 9 题型四：求大树折断前的高度 12 题型五：解决水杯中的筷子问题 15 题型六：解决航海问题 18 题型一：求梯子滑落高度 1．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图，一根长为米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端与墙根之间的距离为米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动米至处，则梯子的顶端将沿墙向下移动 ． 2．（23-24八年级下·陕西安康·期末）2023年8月18日，世界机器人大会在北京亦庄召开．某科技公司展示了首款人形通用机器人．乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人的跑步测试方案如下：在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着方向滑下，同时机器人从乐乐对面的A处向B处跑去，恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同．已知滑梯的高度米，滑梯底部与机器人的出发点之间的距离米．请问，机器人跑步多少米与乐乐相遇？ 3．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作： ①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离的长为8米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？ 4．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，一个梯子长为米，顶端带在墙上，这时梯子下端与墙角之间的距离是米，将梯子的底端向方向挪动米，如图，求梯子的顶端向上移动了多少米（即求的长）？ 5．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到处，问梯子底部B将外移多少米？ 6．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高与右边滑梯水平方向的长度相等． (1)求证：； (2)若两个滑梯的长度，右边滑梯的高度，由于太陡，在保持的长度不变的情况下，现在将点E向下移动，点F随之向右移动．若点E向下移动的距离为，求滑梯底端F向右移动的距离； (3)在（2）的移动过程中，直接写出面积的最大值为 ． 7．（23-24八年级下·广东珠海·期中）小莉在白莲洞公园划船结束后，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以一定的速度收绳．当绳长为8米时船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 8．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，某消防救援车云梯最多只能伸长到米（即米），消防车高米，救人时云梯伸长至最长，此时最长可救援距地面米（即米）高的处的人．在不变前提下消防车从A处前行至B处，可救援距地面米）（即米）高的处的人，求的长．    9．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为米．    (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，） 10．（23-24八年级下·山西朔州·期中）校训对师生的行为规范有指导意义，它向所有师生指明了努力的方向．校训往往设置在学校最为醒目的地方，使每一个师生经常性地看到它，受其潜移默化的心理脉冲．如图，山西省实验中学有一处教学楼高，其上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号）    题型二：求旗杆高度 11．（23-24八年级下·广东广州·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．风云岭的大草坪上，视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 则如图，风筝的垂直高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 12．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 13．（23-24八年级下·山东临沂·期末）在数学活动课上，老师让学生用勾股定理内容设计一个测量旗杆的高度的方案．下面是小明同学的设计方案，请根据小明的设计方案计算出旗杆的高度． 课题 测量学校旗杆高度 工具 皮尺 方案 测量过程： 步骤一：如图1，线段AB表示旗杆高度，AB垂直地面于点B，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度； 步骤二：如图2，将绳子拉直，并且使绳子末端D处恰好接触地面，用皮尺测出BD距离． 数据 绳子垂到地面多出部分为1米 绳子末端D到旗杆的水平距离为5米 14．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）小明同学在学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝离地面的高度（如图），他进行了如下操作： ①测得的长度为（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长度为； ③牵线放风筝的小明同学的身高为． 求风筝离地面的高度（结果保留两位小数，）． 15．（23-24八年级下·河南信阳·期末）风筝是由中国古代劳动人民发明于春秋时期，至今已有2000多年的历史，北宋张择端的《清明上河图》，苏汉臣的《百子图》里都有放风筝的生动景象．某校八年级五班的实践探究小组的同学学习了“勾股定理”之后，在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度CE（如图，线段AE表示水平地面），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②已经放出的风筝线的长为39米（其中风筝本身的长宽忽略不计）；③牵线放风筝的小辉同学的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果实践探究小组的同学想让风筝沿方向下降到距地面21.7米，则小辉同学应该往回收线多少米？ 16．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）体会空气动力，展示飞天梦想−−纸飞机大比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的旗杆，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)若旗杆的高度米，那么绳子的长度可以表示为______米（用含x的代数式表示）； (2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？ 17．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图 2，再将绳子末端拉到距离旗杆6m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．    18．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺），大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．    (1)图中______尺，______尺； (2)求水池中水的深度． 19．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    (1)根据题意，______m，______m，______m； (2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度． 20．（23-24八年级下·山东济宁·期中）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务． (1)已知：如图，在中，，求线段的长． (2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 题型三：求小鸟飞行距离 21．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 22．（22-23八年级下·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·吉林长春·期末）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 24．（23-24八年级下·广西贺州·期中）姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树上的点B处，且，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为． (1)请用含有x的整式表示线段的长为 m； (2)求这棵树高有多少米？ 25．（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 26．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 27．（22-23八年级下·山东聊城·期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：    ①测得的长度为8米；（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的王明身高米； (1)求风筝的垂直高度． (2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 28．（21-22八年级下·河南周口·期中）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？ 题型四：求大树折断前的高度 29．（23-24八年级下·广西南宁·期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地x尺，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24八年级下·山东德州·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题： “一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？” （说明：1丈10尺 ）．如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A 处，竹子底端为点B，尺，折断处为点 C，可以求得折断处离地面的高度为（     ） A．4尺 B．尺 C．尺 D．尺 31．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 32．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则 尺． 33．（2024八年级下·北京·专题练习）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知米，米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 34．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处，这棵大树在折断前有多高？ 35．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度． 36．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 37．（21-22八年级上·四川资阳·期末）如图，在倾斜角为（即）的山坡上有一棵树，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树的根部C处，已知， ． (1)求这两棵树的水平距离； (2)求树的高度． 38．（21-22八年级下·安徽合肥·期末）如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB． 题型五：解决水杯中的筷子问题 39．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24八年级上·山东青岛·期末）世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 43．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是 ． 44．（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，有一个水池，水面是一个边长为丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺． 45．（21-22八年级下·河北保定·期末）葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺）大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．图中 尺；水的深度是 尺；这根芦苇的长度是 尺．    46．（22-23八年级·全国·假期作业）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．    47．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 48．（23-24八年级下·陕西延安·期中）如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？ 题型六：解决航海问题 49．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知一轮船以18海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海里/时的速度也从港口A出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？（    ） A． B． C． D． 50．（23-24八年级下·贵州贵阳·阶段练习）一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘轮船以的速度同时从港口A出发向东南方向航行，则离开港口后，两船相距（    ） A． B． C． D． 51．（23-24八年级下·河南开封·期末）一艘小船上午7点从某港口出发，它以海里/时的速度向北航行，1小时后另一艘小船也从该港口出发，以海里/时的速度向西航行，9点时两艘小船相距 海里． 52．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，一艘小船以24海里/时的速度从港口A出发，向东北方向航行，另一小船以10海里/时的速度同时从港口A出发，向东南方向航行，离开港口1小时后，两船相距 海里． 53．（23-24八年级下·山东临沂·期中）一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为 ． 54．（23-24八年级下·北京丰台·期中）一帆船从某处出发时受风向影响，先向正西航行8千米，然后向正南航行15千米，这时它离出发点有 千米． 55．（23-24八年级下·安徽六安·期末）小明和小红同时骑车从新华书店出发，小明家在新华书店北偏西方位上，小红家在新华书店南偏西方位上，小红骑车平均速度为，1.5小时后他们同时到达各自的家，已知小明家和小红家相距，根据题意，在下面图中画出示意图，并求小明骑车的平均速度． 56．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 57．（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 58．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 59．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）现有甲船和乙船在同一港口同时出发，甲船以海里时的速度向北方向航行，乙船以海里时的速度向东方向航行，求离开港口小时后两船之间的距离． 60．（2024·安徽·一模）甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离    14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理的应用一（六大题型，60题） 目录 题型一：求梯子滑落高度 1 题型二：求旗杆高度 10 题型三：求小鸟飞行距离 19 题型四：求大树折断前的高度 26 题型五：解决水杯中的筷子问题 33 题型六：解决航海问题 40 一、题型一：求梯子滑落高度 1．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图，一根长为米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端与墙根之间的距离为米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动米至处，则梯子的顶端将沿墙向下移动 ． 【答案】米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，用移动前梯子顶端到地面的距离减去移动后梯子顶端到地面的距离即可得到答案． 【详解】解：梯子的顶端沿墙向下移动的距离为（米） 故答案为：米 2．（23-24八年级下·陕西安康·期末）2023年8月18日，世界机器人大会在北京亦庄召开．某科技公司展示了首款人形通用机器人．乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人的跑步测试方案如下：在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着方向滑下，同时机器人从乐乐对面的A处向B处跑去，恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同．已知滑梯的高度米，滑梯底部与机器人的出发点之间的距离米．请问，机器人跑步多少米与乐乐相遇？ 【答案】5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设机器人跑步x米与乐乐相遇，在中，利用勾股定理构建关于x的方程求解即可． 【详解】解：设机器人跑步x米与乐乐相遇，则米，米， ∵机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同， ∴米， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴机器人跑步5米与乐乐相遇． 3．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作： ①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离的长为8米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用（1）利用勾股定理求得的值，再利用求解即可； （2）根据勾股定理求得的值，再利用求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：风筝的垂直高度为； （2）解：由题意得，， ∴， 在中，， ∴， 答：他应该往回收线． 4．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，一个梯子长为米，顶端带在墙上，这时梯子下端与墙角之间的距离是米，将梯子的底端向方向挪动米，如图，求梯子的顶端向上移动了多少米（即求的长）？ 【答案】米． 【分析】本题考查了勾股定理得应用，根据勾股定理可得米，设米，在中由勾股定理可得，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，米，米， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴米， 答：梯子的顶端向上移动了米． 5．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到处，问梯子底部B将外移多少米？ 【答案】梯子底部外移0.8米． 【分析】本题考查正确运用勾股定理，在中，根据已知条件运用勾股定理可将的长求出，又知的长可得的长，在中再次运用勾股定理可将求出，的长减去的长即为底部外移的距离． 【详解】解：在中，，， 米， 又， ， 在中，米， 则米． 故：梯子底部外移0.8米． 6．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高与右边滑梯水平方向的长度相等． (1)求证：； (2)若两个滑梯的长度，右边滑梯的高度，由于太陡，在保持的长度不变的情况下，现在将点E向下移动，点F随之向右移动．若点E向下移动的距离为，求滑梯底端F向右移动的距离； (3)在（2）的移动过程中，直接写出面积的最大值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)25 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定，二次函数的最值，掌握勾股定理是关键． （1）直接利用即可证明； （2）在中，由勾股定理即可求得的长，则可求得的长； （3）设，由勾股定理得，则可表示出面积，利用完全平方公式即可求得面积的最大值． 【详解】（1）证明：在与中， ， ； （2）解：如图，设点E下滑到点G，点F向右滑动到点H； 在中，， 则， 由勾股定理得， ； 答：滑梯底端F向右移动的距离为； （3）解：设， 在中，由勾股定理得， ， 令，，则， ， y最大值为2500， 的最大值为； 故答案为：25． 7．（23-24八年级下·广东珠海·期中）小莉在白莲洞公园划船结束后，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以一定的速度收绳．当绳长为8米时船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】船向岸边移动了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是关键；在和中，分别利用勾股定理求得，，再利用求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 在中，， ∴， 答：船向岸边移动了． 8．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，某消防救援车云梯最多只能伸长到米（即米），消防车高米，救人时云梯伸长至最长，此时最长可救援距地面米（即米）高的处的人．在不变前提下消防车从A处前行至B处，可救援距地面米）（即米）高的处的人，求的长．    【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的应用．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意可得，米， ∵米，米， ∴米，米， 在中，米， 在中，米， ∴米， 答：的长为米． 9．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为米．    (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，） 【答案】(1)米 (2)他应该往回收线6米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意可知：米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴（负值已舍去)， 米， 答：风筝的垂直高度为米； （2）∵风筝沿方向下降7米，保持不变，如图，    ∴此时的(米)， 即此时在中，米，有(米)， 相比下降之前，缩短长度为(米)， ∴他应该往回收线6米． 10．（23-24八年级下·山西朔州·期中）校训对师生的行为规范有指导意义，它向所有师生指明了努力的方向．校训往往设置在学校最为醒目的地方，使每一个师生经常性地看到它，受其潜移默化的心理脉冲．如图，山西省实验中学有一处教学楼高，其上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号）    【答案】工程车向教学楼方向行驶米，长的云梯刚好接触到的顶部点处 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键． 根据题意，过点作交于点，在中，由勾股定理可求出的长，在中，由勾股定理可求出的长，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，    由题意得：，， 在中，由勾股定理得： ， 设， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 答：工程车向教学楼方向行驶米，长的云梯刚好接触到的顶部点处． 二、题型二：求旗杆高度 11．（23-24八年级下·广东广州·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．风云岭的大草坪上，视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 则如图，风筝的垂直高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由勾股定理得，， ∴（米）， 故选：B． 12．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．设旗杆米，则米，根据勾股定理列方程即可求出旗杆的高度．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】设旗杆米，则米，根据勾股定理可得， ， ， 解得． 故选：A 13．（23-24八年级下·山东临沂·期末）在数学活动课上，老师让学生用勾股定理内容设计一个测量旗杆的高度的方案．下面是小明同学的设计方案，请根据小明的设计方案计算出旗杆的高度． 课题 测量学校旗杆高度 工具 皮尺 方案 测量过程： 步骤一：如图1，线段AB表示旗杆高度，AB垂直地面于点B，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度； 步骤二：如图2，将绳子拉直，并且使绳子末端D处恰好接触地面，用皮尺测出BD距离． 数据 绳子垂到地面多出部分为1米 绳子末端D到旗杆的水平距离为5米 【答案】旗杆的高度为12米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程是解问题的关键． 先设旗杆的高度，并表示绳子的长度，再根据勾股定理列方程，求出解即可． 【详解】解：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆长为米，则绳子长为米 由图2可得，在中，米， 由勾股定理得： ， 解得：， 米， 答：旗杆的高度为12米． 14．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）小明同学在学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝离地面的高度（如图），他进行了如下操作： ①测得的长度为（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长度为； ③牵线放风筝的小明同学的身高为． 求风筝离地面的高度（结果保留两位小数，）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴风筝离地面的高度为． 15．（23-24八年级下·河南信阳·期末）风筝是由中国古代劳动人民发明于春秋时期，至今已有2000多年的历史，北宋张择端的《清明上河图》，苏汉臣的《百子图》里都有放风筝的生动景象．某校八年级五班的实践探究小组的同学学习了“勾股定理”之后，在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度CE（如图，线段AE表示水平地面），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②已经放出的风筝线的长为39米（其中风筝本身的长宽忽略不计）；③牵线放风筝的小辉同学的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果实践探究小组的同学想让风筝沿方向下降到距地面21.7米，则小辉同学应该往回收线多少米？ 【答案】(1)37.7米 (2)14米 【分析】此题考查了勾股定理的应用， （1）根据勾股定理求出，进而求解即可； （2）首先求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）由题意，得，，． 在中，由勾股定理，得． （米）． 答：风筝的高度为37.7米． （2）如图，由题意，得． ． 在中，由勾股定理，得 ． （米）． 答：小辉同学应该往回收线14米． 16．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）体会空气动力，展示飞天梦想−−纸飞机大比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的旗杆，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)若旗杆的高度米，那么绳子的长度可以表示为______米（用含x的代数式表示）； (2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？ 【答案】(1) (2)小明同学的纸飞机飞越的高度是13米． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设米，则绳子长为米， 故答案为：； （2）在中，米，米，米， 由勾股定理得：， 解得：， 答：小明同学的纸飞机飞越的高度是13米． 17．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图 2，再将绳子末端拉到距离旗杆6m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．    【答案】10m 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形． 根据题意画出示意图，设旗杆高度为x m，可得，在中利用勾股定理可求出x． 【详解】解：如图所示    设旗杆高度为x m，则， 在中， 解得：， 答：旗杆的高度为10m． 18．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺），大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．    (1)图中______尺，______尺； (2)求水池中水的深度． 【答案】(1)1，5 (2)水深为12尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用等知识． （1）根据题意即可求解； （2）设水深x尺，则芦苇尺，在中，根据勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：尺，尺． 故答案为：1，5； （2）解：设水深x尺， 则芦苇尺， 在中，， 解得：， 答：水深为12尺． 19．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    (1)根据题意，______m，______m，______m； (2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键． （1）由题意得，，，证四边形是矩形，得，则； （2）设秋千的长度为，则 ，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； 【详解】（1）由题意得：，，， ，，， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：，，； （2）， ， 设秋千的长度为， 则，， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：， 即秋千的长度是． 20．（23-24八年级下·山东济宁·期中）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务． (1)已知：如图，在中，，求线段的长． (2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【答案】(1)9.7米 (2)8米 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ， 又米，米， 米， 答：线段的长为9.7米； （2）∵风筝沿方向再上升12米后，米， ∴此时风筝线的长为：（米）， ∴风筝应该放出线的长度为：米， 答：他应该再放出8米线． 三、题型三：求小鸟飞行距离 21．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 22．（22-23八年级下·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示：    由题意可知，， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， 它要飞回巢中所需的时间至少是（）， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键． 23．（23-24八年级上·吉林长春·期末）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键． 如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图：过点D作于点E，则米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：2． 24．（23-24八年级下·广西贺州·期中）姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树上的点B处，且，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为． (1)请用含有x的整式表示线段的长为 m； (2)求这棵树高有多少米？ 【答案】(1) (2)这棵树高3.2米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系，并根据求的长是解题的关键． （1）根据，计算即可； （2）在中，由勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：由题意知，则在中， 有， ∴， 解得：， ∴． 答：这棵树高有3.2米 25．（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 26．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 27．（22-23八年级下·山东聊城·期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：    ①测得的长度为8米；（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的王明身高米； (1)求风筝的垂直高度． (2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米； (2)7米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：连接，由题意得，米，   ， （米）， （米）， 他应该往回收线7米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形． 28．（21-22八年级下·河南周口·期中）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？ 【答案】13 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图所示，AB，CD为树，且AB=14米，CD=9米，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE=BD=12，AE=AB-CD=5， 在直角三角形AEC中， ． 答：小鸟至少要飞13米． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题． 四、题型四：求大树折断前的高度 29．（23-24八年级下·广西南宁·期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地x尺，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了 勾股定理的应用，设竹子折断处离地x尺，则折断部分的竹子长尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地x尺，则折断部分的竹子长尺，依题意得： ， 故选：D． 30．（23-24八年级下·山东德州·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题： “一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？” （说明：1丈10尺 ）．如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A 处，竹子底端为点B，尺，折断处为点 C，可以求得折断处离地面的高度为（     ） A．4尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、根据勾股定理得出方程是解题的关键．设尺，则尺，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设尺，则尺， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 即， 解得：，即的长为尺； 故选：C． 31．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】A 【分析】 此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 竹子折断后刚好构成直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，根据勾股定理得： ， 解得： 所以，竹子折断处离地有尺． 故选：A． 32．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则 尺． 【答案】12 【分析】本题考查勾股定理与实际问题，熟练掌握勾股定理是解此题的关键，利用竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 故答案为：12． 33．（2024八年级下·北京·专题练习）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知米，米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 【答案】19米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：延长，过点C作延长线于点D， 由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 答：树原来的高度19米． 34．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处，这棵大树在折断前有多高？ 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度，再根据大树的高度进行解答． 【详解】解：如图所示： ∵是直角三角形，，， ∴ 答：这棵大树在折断前高． 35．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，最后由这棵树原来的总高度为，进行计算即可，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 这棵树原来的总高度为：． 36．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1) (2)有危险，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据题意，，结合，代入计算即可． （2）根据，，得到，求得，根据勾股定理求出的长，比较后判断即可． 【详解】（1）根据题意，，， ∵， ∴， 解得， 故的长度为3米． （2）根据(1)得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 故有危险． 37．（21-22八年级上·四川资阳·期末）如图，在倾斜角为（即）的山坡上有一棵树，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树的根部C处，已知， ． (1)求这两棵树的水平距离； (2)求树的高度． 【答案】(1)3m (2)6m 【分析】（1）根据平行的性质，证得，根据勾股定理即可求得． （2）在中，根据勾股定理即可解得． 【详解】（1）由题可知，     ∴， ∴     在中， ， ∴， ∴（m）． 即这两棵树的水平距离为3m． （2）在中，    ∴， ∴（m）． 即树的高度为6m． 【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的实际应用． 38．（21-22八年级下·安徽合肥·期末）如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB． 【答案】风筝距离地面的高度AB为12米 【分析】设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度AB． 【详解】解：设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米， 由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5米， 在Rt△ABC中，， 即， 解得x＝12， 答：风筝距离地面的高度AB为12米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 五、题型五：解决水杯中的筷子问题 39．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，， 最长时等于杯子斜边长度是：， 此时， 的取值范围是：， 故选：D． 40．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，由勾股定理可得，据此即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， 由题意可得，， 故选：． 41．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．根据杯子内牙刷长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于牙刷斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，， 最长时等于牙刷斜边长度是：， ∴h的取值范围是：， 即， 故选：A． 42．（23-24八年级上·山东青岛·期末）世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设湖水的深度尺，根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可，运用勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：设湖水的深度尺，则荷花的长为尺， 在直角三角形中，根据勾股定理得，， 解得， 故选：． 43．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出收纳盒里面筷子的最大长度是解题的关键．求出筷子露在收纳盒外的最长长度和最短长度，即可得出结论． 【详解】解：当筷子放进收纳盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长； 当筷子放进收纳盒里露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线长，高为， 由勾股定理得：收纳盒里面筷子长度， 筷子露在收纳盒外的长度最短； 筷子露在盒外的部分的取值范围是， 故答案为：． 44．（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，有一个水池，水面是一个边长为丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水池里水的深度为尺，根据题意，可得方程，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设水池里水的深度为尺，则芦苇的长度为尺， 由题意可得，， 解得， ∴水池里水的深度为尺， 故答案为：． 45．（21-22八年级下·河北保定·期末）葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺）大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．图中 尺；水的深度是 尺；这根芦苇的长度是 尺．    【答案】 1 12 13 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是善于观察题目的信息，找到解题需要的，设水深为x尺，表示斜边的长，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：尺， 设水深为x尺，芦苇尺，尺 中，由勾股定理：， 解得：， 所以， 答：水深12尺，芦苇的长度是13尺． 故答案为：1，12，13． 46．（22-23八年级·全国·假期作业）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．    【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺，   尺， 尺 在中，， 解得， 即芦苇长13尺， 水深为（尺）， 故答案为：12． 47．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 48．（23-24八年级下·陕西延安·期中）如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？ 【答案】筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，根据筷子露在杯子口外的最短长度以及筷子的长度，求出筷子插入茶杯的最大长度，根据勾股定理求出的长度是解答此题的关键． 【详解】解：由题意，得，，， 由勾股定理，得， ∴， ∴筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是． 六、题型六：解决航海问题 49．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知一轮船以18海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海里/时的速度也从港口A出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，熟练运用勾股定理进行计算是解题的关键． 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了36，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：如图， 两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ， 两小时后， (海里)，(海里)， 根据勾股定理得：(海里)． 故选：A． 50．（23-24八年级下·贵州贵阳·阶段练习）一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘轮船以的速度同时从港口A出发向东南方向航行，则离开港口后，两船相距（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设两个小时后两船的位置分别为B、C，由方向角得出；再由时间与速度之间的关系得出然后运用勾股定理求的长，即可完成解答． 【详解】解：如图所示，设后两船的位置分别为B、C，则，，，    ∴， 即后，两船相距． 故选：D． 51．（23-24八年级下·河南开封·期末）一艘小船上午7点从某港口出发，它以海里/时的速度向北航行，1小时后另一艘小船也从该港口出发，以海里/时的速度向西航行，9点时两艘小船相距 海里． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，勾股定理的应用．熟练掌握方向角，勾股定理的应用是解题的关键． 如图，为9点时两艘小船的距离，由题意知，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，为9点时两艘小船的距离， 由题意知，， 由勾股定理得，， 故答案为：． 52．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，一艘小船以24海里/时的速度从港口A出发，向东北方向航行，另一小船以10海里/时的速度同时从港口A出发，向东南方向航行，离开港口1小时后，两船相距 海里． 【答案】26 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是关键． 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了24海里和10海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：设两艘船航行1小时后分别到达B、C的位置，连接，如图所示： ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 根据勾股定理得：（海里）， 即离开港口1小时后，两船相距26海里． 故答案为：26． 53．（23-24八年级下·山东临沂·期中）一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为 ． 【答案】40 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键． 根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，得，，，，    ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即A，C两港之间的距离为． 故答案为：40． 54．（23-24八年级下·北京丰台·期中）一帆船从某处出发时受风向影响，先向正西航行8千米，然后向正南航行15千米，这时它离出发点有 千米． 【答案】 【分析】根题考查了勾股定理的应用，能够运用数学知识解决生活中的问题，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形． 【详解】解：根据题意得： ，， 构成直角三角形， 根据勾股定理， ， ， 千米． ∴这时它离出发点有17千米． 故答案为：17． 55．（23-24八年级下·安徽六安·期末）小明和小红同时骑车从新华书店出发，小明家在新华书店北偏西方位上，小红家在新华书店南偏西方位上，小红骑车平均速度为，1.5小时后他们同时到达各自的家，已知小明家和小红家相距，根据题意，在下面图中画出示意图，并求小明骑车的平均速度． 【答案】小明骑车的平均速度为． 【分析】本题考查方位角，勾股定理的应用，正确画出图形，求得是解题的关键． 根据方位角正确画出图形，然后求得，即可由勾股定理求解． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴小明的平均速度为， 答：小明骑车的平均速度为． 56．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 【答案】千米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，过点B作于E，先根据题意求出，，再求出千米，千米，接着证明是等腰直角三角形，得到千米，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E，    由题意得，， ∴，， 在中，千米， ∴千米， ∴千米， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴千米， ∴千米． 57．（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 【答案】(1)从岛返回港所需的时间为3小时 (2)岛在港的北偏西 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单． （1）中，利用勾股定理求得的长度，则；然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间间路程速度； （2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定义作答． 【详解】（1）由题意， 中，，得． ． ． ． （小时）． 答：从岛返回港所需的时间为3小时． （2）， ． ． ． 岛在港的北偏西． 58．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】“中山”号沿北偏西（或西北）方向航行 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，方向角，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 求出，的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“中山”号航行方向． 【详解】解：由题意可得：(海里)，(海里)，海里， ， ， “惠州”号沿东北方向航行，即沿北偏东方向航行， ， ∴． “中山”号沿北偏西（或西北）方向航行． 59．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）现有甲船和乙船在同一港口同时出发，甲船以海里时的速度向北方向航行，乙船以海里时的速度向东方向航行，求离开港口小时后两船之间的距离． 【答案】离开港口小时后两船之间的距离为海里． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，分别求出甲船和乙船小时航行的路程，再根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：小时后， 甲船向北航行了海里， 乙船向东航行了海里， 由勾股定理求得两船相距为海里， 答：离开港口小时后两船之间的距离为海里． 60．（2024·安徽·一模）甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离    【答案】甲、乙两船之间的距离为海里． 【分析】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理．首先计算出甲乙两船的路程，再根据甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东证明，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得：甲船分钟的路程=海里，乙船分钟的路程=海里，即：，， ∵甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东， ∴， ∴， ∴， ∴甲、乙两船之间的距离为海里． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$