精品解析：2024 年江苏省徐州市九年级中考第四次质量检测数学试题

2024年徐州市九年级第四次质量检测数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效考试结束后，只交答题卡． 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“的”字所在的面相对的面上标的汉字是（ ） A. 祖 B. 国 C. 伟 D. 大 5. 有理数a、b在数轴上如图所示，下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为:．这组数据的众数、中位数分别为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB直角边AB上的一点C，且AC＝2BC，连接OC，△AOC的面积为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 因式分解：______． 10. 当代数式有意义时，实数x的取值范围是_____． 11. 南海是我国固有领海，她的面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为360万平方千米，360万用科学记数法可表示为_____． 12. 一个圆锥的母线长是13，高为12，那么这个圆锥的表面积是__________． 13. 正五边形的一个外角的大小为__________度． 14. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为______． 15. 如图，点O是正八边形的中心，连接，若，则点O到的距离为___________． 16. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，若反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点，则的值为___________． 18. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接，若，则a的值是_______． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算： ； （2）化简： ． 20. （1）解方程： （2）解不等式组． 21. 太谷区中小学生展开“晋商故里，大美晋中”主题研学活动，太谷区八年级选取了四个研学基地： A．左权“走进桐峪1941博物馆”； B．介休“张壁古堡－－千年古堡”； C．祁县“元盛德手工老醋坊”； D．太谷“鑫炳记产业文化园”． 为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图． （1）在本次调查中，一共抽取了______名学生； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，B选项所在扇形的圆心角度数为________； （4）若该校有1200名学生，请估计喜欢D的学生人数有多少人． 22. 春季防流感，人人有责，勤洗手，加强个人卫生可以更好的防范病菌．小王和小李计划每人购买一瓶某品牌免洗洗手液，该品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同． （1）小王随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 ． （2）请你用列表法或画树状图法，求小王和小李选择同一种型号免洗洗手液的概率． 23. 如图所示，在正方形中，点在上，且． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 24. 如图，在中， ，点O在上，以O为圆心，长为半径的半圆分别交于点D，E，F，且E是的中点． （1）求证：是的切线． （2）若 ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 25. 实施乡村振兴战略，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村计划集中采购两种树苗，已知种树苗单价（每棵树苗的价格）比种树苗多3元，用360元购买种树苗和用540元购买种树苗的棵数相同． （1）求两种树苗的单价分别是多少？ （2）红旗村决定购买这两种树苗共1000棵，若预算总费用不超过7000元，问至多可以购买种树苗多少棵？ 26. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点在同一平面内，求古塔的高度．（结果保留一位小数，） 27. 如图，在中，平分，交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）判断四边形的形状，并说明理由． 28. 问题提出 （1）如图1，在正方形中，点N，M分别在边上，连接．已知，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：__________（选填“”或“”），从而可得：__________（选填“”“”或“”）； 问题探究 （2）在题（1）条件下，若，，求正方形的边长； 问题解决 （3）如图2，工人谢师傅现计划在一块如图所示的矩形材料中加工出一块四边形材料，要求加工出的材料中，点M，N分别在边上，同时工厂为了能继续利用加工后的剩余材料，要求点M落在边上，且满足，已知矩形的边，，若谢师傅加工材料时选择的长度为4，请问的长度是否满足要求，并计算说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年徐州市九年级第四次质量检测数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效考试结束后，只交答题卡． 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：A 【点睛】本题考查了倒数，正确把握倒数的定义是解本题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂乘法和幂的乘方计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂乘法和幂的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键． 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． C．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． D．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 4. 如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“的”字所在的面相对的面上标的汉字是（ ） A. 祖 B. 国 C. 伟 D. 大 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由图可知：“祖”字对面是“伟”，“我”字对面是“大”，“的”字对面是“国”，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查正方体的展开与折叠，熟练掌握正方体展开图的特征，是解答本题的关键． 5. 有理数a、b在数轴上如图所示，下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用数轴、绝对值的性质分别分析得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，，且， 则，故选项A正确，不符合题意； ，故选项B正确，不合题意； ，故选项C正确，不合题意； ，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了数轴、绝对值的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 6. 在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为:．这组数据的众数、中位数分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义解答即可． 【详解】解：这组数据中6出现的次数最多，则众数为6； 将这组数据从小到大排列为3、5、6、6、8，第三个数据为6，则中位数为6． 故选：D． 【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，掌握中位数和众数的确定方法是解答本题的关键． 7. 将抛物线向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可得出答案． 【详解】向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换,，理解“上加下减，左加右减”是解题关键． 8. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB直角边AB上的一点C，且AC＝2BC，连接OC，△AOC的面积为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】设出点C的坐标，由AC＝2BC可表示出点A的坐标，再利用分割图形法求三角形的面积结合三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】设点C的坐标为(m，)(m＞0)， ∵AC＝2BC， ∴点A的坐标为(m，)． ∴S△AOC＝S△ABO﹣S△BOC＝×m×﹣×2＝2． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及三角形的面积公式．在解决该题型题目时，找出点的坐标，再结合反比例函数系数k的几何意义求出图形的面积是关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行分解即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关进，注意分解一定要分解到各个因式不能分解为止． 10. 当代数式有意义时，实数x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出8+x≥0，求出即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 11. 南海是我国固有领海，她的面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为360万平方千米，360万用科学记数法可表示为_____． 【答案】3.6×106． 【解析】 【详解】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．360万=3 600 000一共7位，从而360万=3 600 000=3.6×106． 12. 一个圆锥的母线长是13，高为12，那么这个圆锥的表面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求得圆锥的底面半径，从而得到底面周长，然后求出底面圆面积与圆锥的侧面展开图面积的和即可． 【详解】解：圆锥的底面半径是：， 圆锥的底面周长是：， 则圆锥的表面积是． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥的相关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 13. 正五边形的一个外角的大小为__________度． 【答案】72 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角的度数为：， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和为360°是解题的关键． 14. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r． 【详解】解：由题意得：母线长l为，， ， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，点O是正八边形的中心，连接，若，则点O到的距离为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，过点O作于点M，根据题意，得,，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，本题考查了正多边形的性质，垂径定理，直角三角形的特征，熟练掌握正多边形的性质，垂径定理是解题的关键． 【详解】连接， 过点O作于点M， 根据题意，得,， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到， 故答案为：3． 16. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为______． 【答案】． 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，则DE：AB＝3：4，再证明△DEF∽△BAF，利用相似比得到，然后根据三角形面积公式求△DEF的面积与△DAF的面积之比． 【详解】四边形为平行四边形， ，平行四边形性质， ， ，相似三角形对应边成比例， ，，， 与同高， ，， 故答案为：3:4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质． 17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，若反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点，则的值为___________． 【答案】21 【解析】 【分析】作轴于，，由正方形的性质可得，由等角的余角相等可得，根据“”可证明，可得到，从而可得出点的坐标，即可得到的值． 【详解】解：如图，作轴于， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：21． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的特征，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的特征，添加适当的辅助线，是解题的关键． 18. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接，若，则a的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，过C作轴于点D．设出各点坐标，则，，设抛物线解析式为，把代入，得到关于的方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：过C作轴于点D． 由题意可知， ∵， ∴， 设，则，， 设抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得； 故答案为： 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算： ； （2）化简： ． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算； （1）先计算零指数幂、负整数指数幂，平方根及立方根，再进行加减运算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 20. （1）解方程： （2）解不等式组． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程及解一元一次不等式，组熟记一元二次方程的解法及一元一次不等式组的解法是解决问题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由一元一次不等式的解法分别解不等式组中的不等式，再由不等式组解集的求法求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， ， ，； （2） 由①得， 由②得， ∴原不等式组的解集为． 21. 太谷区中小学生展开“晋商故里，大美晋中”主题研学活动，太谷区八年级选取了四个研学基地： A．左权“走进桐峪1941博物馆”； B．介休“张壁古堡－－千年古堡”； C．祁县“元盛德手工老醋坊”； D．太谷“鑫炳记产业文化园”． 为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图． （1）在本次调查中，一共抽取了______名学生； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，B选项所在扇形的圆心角度数为________； （4）若该校有1200名学生，请估计喜欢D的学生人数有多少人． 【答案】（1） （2）补全条形统计图如图所示： （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，读懂条形统计图和扇形统计图的信息是解题的关键． （1）利用选项的人数除以其占比即可求解； （2）根据抽取的总人数求出选项的人数，再补全统计图即可； （3）用乘以选项的占比即可求解； （4）用该校的总人数乘以选项的占比即可． 【小问1详解】 解：抽取的总人数为：（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 选项的人数：（人）， 图略； 【小问3详解】 选项所在扇形的圆心角度数为：． 【小问4详解】 该校喜欢的学生人数为：（人）． 22. 春季防流感，人人有责，勤洗手，加强个人卫生可以更好的防范病菌．小王和小李计划每人购买一瓶某品牌免洗洗手液，该品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同． （1）小王随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 ． （2）请你用列表法或画树状图法，求小王和小李选择同一种型号免洗洗手液的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小王随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： A B C A (A，A) (B，A) (C，A) B (A，B) (B，B) (C，B) C (A，C) (B，C) (C，C) 由表可知，共有9种等可能结果，其中王和小李选择同一种型号免洗洗手液有3种结果， 所以小王和小李选择同一种型号免洗洗手液的概率为． 23. 如图所示，在正方形中，点在上，且． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定，熟练掌握正方形的性质和菱形的判定是解答的关键． （1）先由正方形的性质得到，，再推导出，进而利用全等三角形的判定可证得结论； （2）连接，则，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，证明四边形是平行四边形即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 24. 如图，在中， ，点O在上，以O为圆心，长为半径的半圆分别交于点D，E，F，且E是的中点． （1）求证：是的切线． （2）若 ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可证得结论成立； （2）设，则 从而可表示出，另一方面，由此建立方程求出x的值，利用即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图． ，， ， ∵， ， ， ∵E是的中点， ． ． ． 是半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：， 是等腰直角三角形． 设，则 解得 ． 【点睛】本题考查了切线的判定，不规则图形的面积，勾股定理及等腰直角三角形的性质，掌握切线的判定和性质是关键 25. 实施乡村振兴战略，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村计划集中采购两种树苗，已知种树苗单价（每棵树苗的价格）比种树苗多3元，用360元购买种树苗和用540元购买种树苗的棵数相同． （1）求两种树苗的单价分别是多少？ （2）红旗村决定购买这两种树苗共1000棵，若预算总费用不超过7000元，问至多可以购买种树苗多少棵？ 【答案】（1）种树苗的单价每棵6元，种树苗的单价每棵株9元 （2）333棵 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用， （1）设A种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是元，利用数量＝总价÷单价，结合用360元购买A种树苗和用540元购买B种树苗的棵数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即A种树苗的单价），再将其代入中，即可求出B种树苗的单价； （2）设购买m棵B种树苗，则购买棵A种树苗，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过7000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【小问1详解】 设种树苗的单价每棵元，则种树苗的单价每棵元． 则依题意可得：， 解得， 经检验：是原方程的解． 答：种树苗的单价每棵6元，种树苗的单价每棵9元． 【小问2详解】 设红旗村决定购买种树苗棵，则购买种树苗棵． 依题意可得：， 解得： ∵是整数， ∴ 答：红旗村最多可以购买种树苗333棵． 26. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点在同一平面内，求古塔的高度．（结果保留一位小数，） 【答案】古塔的高度为 【解析】 【分析】利用坡度比，在中，设，，由勾股定理列方程求解即可得到和，在中，由特殊角的三角函数定义求出，数形结合，由代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在中，斜坡的斜面坡度，， 设，， 由勾股定理可得，解得， ，， ， ， 在中，，，则，解得， ， 答：古塔的高度为． 【点睛】本题考查解三角形的实际应用-测高，涉及坡度定义、俯角仰角定义、勾股定理、特殊角的三角函数值定义等知识，根据题意，数形结合构造直角三角形求解是解决问题的关键． 27. 如图，在中，平分，交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图： （1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图； （2）先由角平分线的定义得到，再由线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对角推出，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 平分， ， 的垂直平分线是， ，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 28. 问题提出 （1）如图1，在正方形中，点N，M分别在边上，连接．已知，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：__________（选填“”或“”），从而可得：__________（选填“”“”或“”）； 问题探究 （2）在题（1）条件下，若，，求正方形的边长； 问题解决 （3）如图2，工人谢师傅现计划在一块如图所示的矩形材料中加工出一块四边形材料，要求加工出的材料中，点M，N分别在边上，同时工厂为了能继续利用加工后的剩余材料，要求点M落在边上，且满足，已知矩形的边，，若谢师傅加工材料时选择的长度为4，请问的长度是否满足要求，并计算说明． 【答案】（1），；（2）正方形的边长是12；（3）满足要求，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据证明得，进而可证； （2）由勾股定理得，则，设正方形的边长为x，则，，得，求解即可； （3）延长至P，使，过P作的平行线交的延长线于Q，延长交于点E，连接，则四边形是正方形，得，设，则，证，得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 由旋转的性质得， ，，，， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：，=． （2）在中， 由勾股定理得， 则， 设正方形的边长为x， 则，， ， 解得， 即正方形的边长是12． （3）满足要求，理由如下： 延长至P，使，过P作的平行线交的延长线于Q，延长交于点E，连接，如图所示， 则四边形是正方形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中， 由勾股定理得：， 解得， 即的长是8，而， ，满足要求． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $