11.2 实数（分层作业，11大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第11章 数的开方 11.2 实数（大题型提分练） 题型一 实数概念理解 1．下列说法中，正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 3．判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 题型二 实数的分类 1．是一个（    ） A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数 2．把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 3．把下列各数分别填入相应的集合内： ，0 ， ， ， ， ， 整数集合{                            }； 无理数集合{                          }； 负实数集合{                          }． 题型三 实数的性质 1．在数，0，和中，绝对值等于它本身的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 3．求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)； (2) (3)． 题型四 实数的大小比较 1．在，3，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B．3 C． D． 2．比较大小： 2； ． 3．观察表格，回答问题： a … 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，用含m的代数式表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 当________时，；当________时，；当________时，． 题型五 无理数的估算 1．估算的范围是（    ） A． B． C． D． 2．估算比较大小： 1（填“<”或“>”或“=”）； 3．通过估算，比较下面各组数的大小： (1)和； (2)和． 题型六 无理数整数部分的有关计算 1．已知m是的整数部分，n是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D．4 2．若的整数部分为m，的小数部分为n，则 ． 3．观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 题型七 实数的混合运算 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 题型八 程序设计与实数运算 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 2．下面是一个简单的数值运算程序： 当输入x的值是时，输出的结果是 3．如图所示的程序框图： (1)若，，输入的值为3，则输出的结果为______； (2)若输入的值为2，则输出的结果为；若输入的值为3，则输出的结果为0． ①求，的值； ②输入和，输出的结果分别为和，若，则______；（填“”“”或“”） ③若输入的值后，无法输出结果，请写出一个符合条件的的值：______． 题型九 新定义下的实数运算 1．对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算：．如，那么的结果为（   ） A． B．2 C． D．4 2．对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 3．阅读以下材料，回答问题． 对于三个数，用表示这三个数中最小的数，用表示不小于的最小整数，则．例如：，． (1)______． (2)若，求的值； (3)若，求的值． 题型十 实数运算的实际应用 1．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 2．请你规定一种适合非零实数a，b的新运算“”，使得下列算式成立：，，…你规定的新运算 .（用含a，b的一个代数式表示） 3．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 题型十一 与实数运算相关的规律题 1．数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A． B． C． D． 2．观察下面的数据：，，，，，，……．寻找规律，第个数据应是 ． 3．观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 1．下列各数中：0，，，，，，，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若，则表示实数a的点会落在数轴的（    ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 3．实数与数轴上的点一一对应，请观察如图所示的数轴，无理数在数轴上对应的点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 5．如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 7．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点，点表示的数为 ． 8．如图，数轴上A，B点对应的实数分别是1和．若点A关于点B的对称点为点C（即），则点C所对应的实数为 ．    9．若表示实数的整数部分，表示实数的小数部分，如，，，则 10．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ， ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 11．计算： (1)； (2)． 12．计算： (1)； (2)． 13．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是 __________________，的整数部分是 __________； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 14．先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题： (1)已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值． 解：因为， 所以， 所以， 解得______， ______． (2)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 15．阅读材料，完成下列任务： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ， ，即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且， 设，其中． 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积，得． 当较小时，忽略，得． 解得． 任务： (1)利用材料一中的方法，的小数部分是____________； (2)是的小数部分，是的小数部分，则的值是多少？ (3)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 数的开方 11.2 实数（大题型提分练） 题型一 实数概念理解 1．下列说法中，正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质分别判断即可． 【详解】解：①实数包括有理数、无理数，0属于有理数，故错误； ②实数和数轴上的点一一对应，故错误； ③无理数都是无限小数，故正确； ④，故错误； ⑤平方根等于它本身的数有：0，立方根等于它本身的数有：0、1、，则平方根、立方根都等于它本身的数为0，故错误； 正确结论的个数是1． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质，属于基础知识，要熟练掌握． 2．下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 3．判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)正确，理由见解析 (3)错误，理由见解析 (4)错误，理由见解析 (5)错误，理由见解析 (6)错误，理由见解析 (7)错误，理由见解析 (8)正确，理由见解析 【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可． 【详解】（1）（错误）无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误； （2）（正确）无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确； （3）（错误）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误； （4）（错误）0是有理数；故答案为：错误； （5）（错误）如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误； （6）（错误）如，虽然带根号，但，这是有理数；故答案为：错误； （7）（错误）有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误； （8）（正确）有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确． 【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键． 题型二 实数的分类 1．是一个（    ） A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的分类．根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：是一个无理数． 故选：D 2．把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 【答案】 ，，， ，，， ，，，， ，， 【分析】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键．根据实数的分类逐一填写即可． 【详解】， ，，，，，，，中， 有理数集合为：，，，； 无理数集合为：，，，； 正实数集合为：，，，，； 负实数集合为：，，； 故答案为：①，，，； ②，，，； ③，，，，； ④，，． 3．把下列各数分别填入相应的集合内： ，0 ， ， ， ， ， 整数集合{                            }； 无理数集合{                          }； 负实数集合{                          }． 【答案】整数集合0，，；无理数集合，，；负实数集合， 【分析】本题主要考查了实数的分类，算术平方根，立方根，掌握整数、无理数、负实数的定义是解答本题的关键． 根据整数、无理数、负实数的定义分类即可． 【详解】， 整数集合{ 0，，}； 无理数集合{ ，，}； 负实数集合{ ，}． 故答案为：0，，；，，；，． 题型三 实数的性质 1．在数，0，和中，绝对值等于它本身的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值，立方根的知识，求出每一个数的绝对值进行比较即可求出． 【详解】解：，绝对值不等于它本身 ，绝对值等于它本身 ，，绝对值不等于它本身 ，绝对值等于它本身 绝对值等于它本身的共有2个； 故选：B． 2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，先根据数轴推出，进而得到，据此化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)； (2) (3)． 【答案】(1)的相反数是，倒数是，绝对值是． (2)＝－，它的相反数是，倒数是－，绝对值是 (3)的相反数是，倒数是，绝对值是 【分析】本题考查实数的相反数、倒数的定义和绝对值的非负性，解题关键在于掌握各性质定义． 根据相反数、倒数的定义和绝对值的非负性，进行解答即可． 【详解】（1）解：的相反数是，倒数是，绝对值是； （2）解：， 它的相反数是，倒数是，绝对值是； （3）解：的相反数是，倒数是， ∵， ∴绝对值是． 题型四 实数的大小比较 1．在，3，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数大小比较的法则，解题的关键是牢记法则，正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小是本题的关键．根据实数大小比较的法则进行判断即可． 【详解】 解：在，3，，这四个数中，， 最大的数是3． 故选：B 2．比较大小： 2； ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ， 故答案为：；． 3．观察表格，回答问题： a … 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，用含m的代数式表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 当________时，；当________时，；当________时，． 【答案】(1)；10； (2)①；②； (3)，或0，． 【分析】本题考查了实数的比较，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）由表格得出规律，求出与的值即可； （2）根据得出的规律确定出所求即可； （3）分类讨论的范围，比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；10； （2）解：①根据题意得：， ②结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍， ∴． 故答案为：31.6；； （3）解：当或1时，； 当时，； 当或0时，； 当时，， 故答案为：，或0，． 题型五 无理数的估算 1．估算的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先估算出在哪两个连续整数之间，继而求得在哪两个连续整数之间． 【详解】解： ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查无理数的估算，估算出在哪两个连续整数之间是解题的关键． 2．估算比较大小： 1（填“<”或“>”或“=”）； 【答案】< 【分析】估算，即得出，从而可得出． 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案为：<． 【点睛】本题考查利用无理数的估算比较的大小．注意找出最接近的取值范围是解题关键． 3．通过估算，比较下面各组数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）算出两个数的平方，比较两个数平方的大小，即可得出结果； （2）比较与1的大小，即可得出结果． 【详解】（1）解：，， ∵，且， ∴； （2）解：∵， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法是解题的关键． 题型六 无理数整数部分的有关计算 ．已知m是的整数部分，n是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，先估算出，进而得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵m是的整数部分，n是的小数部分， ∴， ∴， 故选：B． 2．若的整数部分为m，的小数部分为n，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小及乘法运算，求得m、n的值是解题的关键． 先估算数，的大小，然后可求得m、n的值，最后代入求解即可． 【详解】，， ，， 的整数部分为m，的小数部分为n， ，， ， 故答案为：． 3．观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了无理数的估算． （1）先估算出，得到，根据定义即可得到答案； （2）先估算出的小数部分，的整数部分为，进一步计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）∵， 即， ∴的整数部分为2，小数部分．     ∵，即， ∴的整数部分．      ∴．    ∴． ∴． 题型七 实数的混合运算 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根以及立方根；根据实数的性质以及实数的加减，算术平方根，立方根进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根以及绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型八 程序设计与实数运算 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：若开始输入的的值是64，则其立方根为4，它是有理数； 然后求得4的算术平方根是2，它是有理数； 则2的立方根为，它是无理数，输出答案； 故选：C． 2．下面是一个简单的数值运算程序： 当输入x的值是时，输出的结果是 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，根据题意可得算式，据此计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 3．如图所示的程序框图： (1)若，，输入的值为3，则输出的结果为______； (2)若输入的值为2，则输出的结果为；若输入的值为3，则输出的结果为0． ①求，的值； ②输入和，输出的结果分别为和，若，则______；（填“”“”或“”） ③若输入的值后，无法输出结果，请写出一个符合条件的的值：______． 【答案】(1) (2)①；②；③4（答案不唯一） 【分析】（1）把，，的值为3代入运算程序计算，即可； （2）①根据题意得到关于a，b的方程组，解出即可；②根据不等式的性质，即可求解；③根据算术平方根的非负性可得，解出即可． 【详解】（1）解：当，，输入的值为3时，输出的结果为 ； 故答案为： （2）解∶ ①根据题意得：，即， 解得：， ②根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为： ③∵输入的值后，无法输出结果， ∴， ∴， ∴一个符合条件的的值为4． 故答案为：4（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，算术平方根的非负性，不等式的性质，熟练掌握算术平方根的非负性，不等式的性质是解题的关键． 题型九 新定义下的实数运算 1．对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算：．如，那么的结果为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算．根据定义的新运算可得12※，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故选：A． 2．对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算并掌握二次根式乘除法计算法则是解题的关键． 根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：3． 3．阅读以下材料，回答问题． 对于三个数，用表示这三个数中最小的数，用表示不小于的最小整数，则．例如：，． (1)______． (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了实数的新定义以及一元一次不等式的运算， （1）根据表示这三个数中最小的数，进行作答即可． （2）结合用表示不小于的最小整数，则，且，即可作答． （3）要进行分类讨论，分三种情况，然后解出的范围，再对比是否成立，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，∵ ∴ 故答案为：2 （2）解：∵， ∴ 即 解得 （3）解：依题意， 当时，即时， ∴ ∵ ∴ ∴与相矛盾，故舍去 当时，即时， ∴ ∵ ∴ ∴ 当时，即时， ∴ ∵ ∴ 即 ∴与相矛盾，舍去 ∴，则 题型十 实数运算的实际应用 1．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 2．请你规定一种适合非零实数a，b的新运算“”，使得下列算式成立：，，…你规定的新运算 .（用含a，b的一个代数式表示） 【答案】 【分析】根据已知等式，归纳总结得到结果即可． 【详解】解：根据题意得： 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 题型十一 与实数运算相关的规律题 1．数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的规律问题，根据所给算式总结规律计算即可，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 【详解】解：由，，；； 则原式， ， 故选：． 2．观察下面的数据：，，，，，，……．寻找规律，第个数据应是 ． 【答案】 【分析】本题考查找规律，正确通过观察，分析、归纳发现其中的规律，根据二次根式的性质，把根号外面的数都平方转化到根号内，便不难发现规律，然后写出第n个即可． 【详解】第1个数据， 第2个数据， 第3个数据， 第4个数据， 第5个数据， 第个数据， 故答案为：． 3．观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，解题的关键是得出第n个等式为：． （1）根据前三个式子写出第4个式子即可； （2）根据前三个式子猜想、归纳出该类式子的规律即可； （3）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第n个等式为：， 故答案为：； （3）解： ． 1．下列各数中：0，，，，，，，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像（相邻两个1之间0的个数逐渐增加）等有这样规律的数，也考查了求立方根、算术平方根． 【详解】解：∵，， ∴无理数有，，共个， 故选：B． 2．若，则表示实数a的点会落在数轴的（    ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【答案】D 【分析】此题主要考查了算术平方根的含义和无理数的估算．判断出的取值范围，推出表示实数a的点会落在数轴的哪个段上即可． 【详解】∵， ∵ ∴， ∴表示实数a的点会落在数轴的段④上． 故选：D． 3．实数与数轴上的点一一对应，请观察如图所示的数轴，无理数在数轴上对应的点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，估算无理数的大小，进而得出的取值范围，再根据数轴表示数的意义进行判断即可，掌握算术平方根的定义，理解数轴表示数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 通过数轴可知：点符合题意， 故选：． 4．观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与实数规律有关的计算，根据已知等式，得到，进而求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 5．如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为， ， ，即， 又， ， ， ， ， 与最接近的整数是6， 即大正方形的边长最接近的整数是6， 故选：D． 6．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键． 按照程序的运算步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 7．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点，点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，解决本题时需注意圆的半径即是点A到1的距离，而求A点表示的数时，需求出A点到原点的距离即A点的绝对值，再根据绝对值的性质和数轴上点的特征求解． 利用正方形的面积公式求出正方形的边长，再求出原点到点G的距离（即点G的绝对值），然后根据数轴上原点左边的数为负数即可求出点G表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴正方形的边长为． ∴G点距离O的距离为， ∴点G表示的数为． 故答案为：． 8．如图，数轴上A，B点对应的实数分别是1和．若点A关于点B的对称点为点C（即），则点C所对应的实数为 ．    【答案】/ 【分析】此题的考查了实数与数轴，一元一次方程的应用等知识，点C所对应的实数为x，根据列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设点C所对应的实数为x， ∵， ∴ 解得 即点C所对应的实数为． 故答案为： 9．若表示实数的整数部分，表示实数的小数部分，如，，，则 【答案】/ 【分析】本题主要考查新定义下的实数加减混合运算，根据的范围求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， ，， 则， 故答案为：． 10．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ， ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 【答案】 3 4 4，5，6，7，8 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义： （1）根据新定义可得，估算出，即可得到； （2）根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意得，； ∵， ∴， ∴， 故答案为：3；4； （2）∵， ∴，即， ∴满足题意的的整数值为4，5，6，7，8． 故答案为：4，5，6，7，8 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键．要明确的是，在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算，求一个数的算术平方根，立方根，绝对值，熟练掌握各计算法则是解题的关键： （1）分别计算绝对值，乘方，立方根和算术平方根，再计算加减法； （2）先计算算术平方根，立方根，绝对值，再计算加减法． 【详解】（1）解：； （2） 13．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是 __________________，的整数部分是 __________； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)，1 (2) 【分析】（1）由题意知，，即的小数部分是；由，可得，即的整数部分是 1； （2）由，可得的整数部分为8，即，由，可求，则，然后求平方根即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴的小数部分是； ∵， ∴，则， ∴的整数部分是 1， 故答案为：，1； （2）解：， 的整数部分为8，即， ， 的整数部分为2， ∴， ， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了无理数的整数部分，不等式的性质，实数的混合运算，平方根等知识．熟练掌握无理数的整数部分，不等式的性质，实数的混合运算，平方根是解题的关键． 14．先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题： (1)已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值． 解：因为， 所以， 所以， 解得______， ______． (2)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）运用代入法解出b的值，即可作答． （2）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程组，然后解方程即可． 此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算，代入法解方程，其中关键是理解解方程组的思路就是消元．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 【详解】（1）解：∵ ∴ 把代入 ∴ 解得 ∴ （2）解：∵， ∴ ∴ 解得或 ∴或 15．阅读材料，完成下列任务： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ， ，即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且， 设，其中． 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积，得． 当较小时，忽略，得． 解得． 任务： (1)利用材料一中的方法，的小数部分是____________； (2)是的小数部分，是的小数部分，则的值是多少？ (3)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）先估算出的范围，再求出、的值，最后代入值计算即可； （3）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， 的整数部分是， 的小数部分是， 故答案为：； （2）， ，即， 的整数部分是， 的整数部分是，的整数部分是， 的小数部分是，即； 的小数部分是，即， ； （3）解：面积为的正方形的边长是，且， 设，其中． 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积得：， 当较小时，忽略，得， 解得：， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$