1.1.1集合的概念与表示（6知识点+10题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

1.1集合的概念与表示 课程标准 学习目标 1了解集合的含义 2.理解元素与集合的关系 3.掌握集合的表示方法) 1.理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法 2.解“属于"关系的意义 3.了解有限集、无限集、空集的意义 知识点01 元素与集合的概念 1.元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作. 【即学即练1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【即学即练2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各组对象中不能组成集合的是（    ）． A．2023年男篮世界杯参赛队伍 B．中国古典长篇小说四大名著 C．高中数学中的难题 D．我国的直辖市 知识点02 元素与集合关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 【即学即练3】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【即学即练4】（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，若，求实数的值． 知识点03 集合中元素的特征 1.确定性：集合的元素必须是确定的。 2.互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的。 3.无序性：集合中的元素可以任意排列。 【即学即练5】（2024高一上·全国·专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 【即学即练6】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，求集合． 知识点04 集合的分类 1.有限集：含有有限个元素的集合。 2.无限集：含有无限个元素的集合。 【即学即练7】（2022高一·全国·专题练习）设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【即学即练8】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)我国现在的直辖市； (2)比较小的自然数的全体； (3)数轴上到坐标原点距离是2的点的全体； (4)比2小的质数． 知识点05 常见数集与符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 【即学即练9】（24-25高一上·上海·随堂练习） Q.（填“∈”或“”） 【即学即练10】（24-25高一上·上海·课后作业）用符号“”或“”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 知识点06 集合的表示方法 1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2.描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 3.区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（interal）的概念． ①一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 ②实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． ③特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 【即学即练11】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 【即学即练12】（24-25高一上·上海·随堂练习）用列举法表示所有不大于的正整数组成的集合为 ． 难点：集合与一元二次方程结合 示例1：（21-22高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知集合，其中为常数，且. (1)若是空集，求的范围； (2)若中只有一个元素，求的值； (3)若中至多只有一个元素，求的范围. 难点：集合新定义 示例2：（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【题型1：判断所给对象能否构成集合】 例1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 变式1．（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 变式2．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的偶数 B．π的近似值 C．方程的实数根 D．最小的正整数 变式3．（2023高一上·江苏·专题练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 变式4．（多选）（2024高一上·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 变式5．（多选）（23-24高一上·江西景德镇·期中）下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 变式6．（23-24高一·全国·课堂例题）以下对象的全体能否构成集合？ (1)河北红星工厂的员工； (2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手； (3)一次函数的图象上的若干个点； (4)不超过2 019的非负数． 【方法技巧与总结】 判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关 【题型2：判断元素与集合的关系】 例2．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2023·河南驻马店·一模）已知集合，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 变式5．（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法： ①若，则； ②集合有两个元素； ③集合时有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式6.（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，判断是不是集合中的元素． 变式7．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合． (1)若为整数，试判断是否为集合中的元素； (2)求证：若，则． 【方法技巧与总结】 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可 【题型3：列举法表示集合】 例3．（23-24高一上·重庆·期中）将集合用列举法可以表示为（　　） A．1，2 B． C． D． 变式1．（23-24高一上·河北·阶段练习）用列举法表示小于4的自然数构成的集合，正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（多选）（23-24高一上·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习），用列举法表示为 ． 变式4．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，,则 （用列举法表示）. 变式5．（21-22高一上·上海嘉定·期末）已知集合，用列举法表示为 . 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合 ，用列举法表示集合． 变式7．（24-25高一上·上海·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【方法技巧与总结】 用列举法表示集合应注意的两点 (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素； (2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素． 【题型4：描述法表示集合】 例4．（2023高一·全国·课后作业）集合用描述法可表示为（    ） A． B． C． D． 变式1．（21-22高一·全国·课后作业）集合A＝{1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11，…}，用描述法表示正确的是（　　） ①{x|x＝2N±1，N∈N}； ②{x|x＝（﹣1）N（2N﹣1），N∈N}； ③{x|x＝（﹣1）N（2N+1），N∈N}． A．③ B．①③ C．②③ D．①②③ 变式2．（多选）（20-21高一·全国·课后作业）集合用描述法可表示为（    ） A．是不大于9的非负奇数 B．且 C． D． 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）用描述法表示“被除余的正整数构成的集合为 ． 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）被除余的所有整数组成的集合为 ． 变式5．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    变式6．（22-23高一上·陕西安康·阶段练习）表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 变式7．（21-22高一·湖南·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)偶数组成的集合； (2)正奇数组成的集合； (3)不等式－x2≥0的解集； (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. 【方法技巧与总结】 一.两步认识描述法表示的集合 (1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集． (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)． 二．利用描述法表示集合应关注五点 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． 【题型5：列举法与描述法的理解】 例5．（22-23高一·全国·课堂例题）选择适当方法用符号表示下列用自然语言说明的集合． (1)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (2)由方程的所有整数解组构成的集合． 变式1．（2021高一·全国·专题练习）把下列集合用适当方法表示出来： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 变式2．（20-21高一·江苏·课后作业）用适当方法表示下列集合： （1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合； （2）方程+|y﹣2|＝0的解集； （3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合. 变式3．（21-22高一·全国·课后作业）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它． （1）小于的自然数； （2）某班所有个子高的同学； （3）不等式的整数解． 变式4．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式的解集． 变式5．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 变式6．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【方法技巧与总结】 1．对于含有有限个元素且个数较少的集合，采用列举法表示集合较合适；对于元素个数较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，在不发生误解的情况下，可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如N*＝{1,2,3，…}． 2．一般地，元素较多的无限集用描述法表示集合． 【题型6：区间表示集合】 例6．（2023高一·全国·课后作业）下列语句中： （1）和表示同一集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解组成的集合是； （4）区间是有限集， 其中正确的是 .（填入所有正确的语句序号） 变式1．（23-24高一上·全国·课后作业）用区间表示下列集合： （1）： ； （2）： ； （3）： ； （4）： ． 变式2．（20-21高一·全国·课后作业）在数轴上表示集合或，并用区间表示该集合为 ． 变式3．（20-21高一·全国·课后作业）给出下列说法： ①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为； ②方程的解集为； ③集合与是不相同的； ④不等式的解集可用区间表示为. 其中正确的是 (填序号)． 变式4．（2023高一·全国·专题练习）用区间表示下列集合 ： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 变式5．（22-23高一·全国·随堂练习）用区间表示下列集合： (1)不等式的所有实数解组成的集合； (2)使有意义的所有实数x取值的集合． 变式6．（23-24高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型7：根据元素与集合的关系求参数】 例7．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 变式1．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 变式2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 变式4．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 变式5．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知集合，则集合中元素的个数为 ． （2）若，则 ． 变式6．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知集合，若，则 ． 变式7．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知关于x的不等式的解集为M，且，则实数a的取值范围是 . 【方法技巧与总结】 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 【题型8：集合元素互异性的应用】 例8．（2022·上海·高一专题练习）非零实数，构成的数能组成的集合是________________. 变式1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 变式2．（20-21高一上·全国·课后作业）由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．（多选）（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 变式4．（多选）（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）由组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B．2 C．3 D．6 变式5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 变式6．（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【题型9：集合与一元二次方程】 例9．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若方程的解集为单元素集，则m的值为 ． 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若集合中有且只有一个元素，则实数的取值集合是 ． 变式3．（22-23高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 变式4．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 变式5．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 变式6．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 变式7．（21-22高一上·上海普陀·阶段练习）已知集合． (1)若中只有1个元素，求实数的取值范围； (2)若关于的方程存在两个不相等实根且．求实数的值与集合． 变式8．（2023高一·全国·专题练习）若集合，根据下列条件，求k的取值范围. (1)有且仅有一个子集 (2)有且仅有两个子集 (3)有且仅有三个真子集 【题型10：集合新定义】 例题10．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 变式1．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）对于两个正整数、，定义某种运算“”如下，当、都为正偶数或正奇数时，；当、中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，求集合中元素的个数． 变式2．（20-21高一·全国·课后作业）设P，Q为两个集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是多少? 变式3．（20-21高一上·上海·课后作业）已知集合且．定义集合，求集合． 变式4．（18-19高一·全国·课后作业）现定义一种运算，当m，n都是正偶数或都是正奇数时，；当m，n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，．求中元素的个数． 变式5．（17-18高一·全国·课后作业）若，定义集合，用列举法表示集合. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）集合，、为实数是指（　　） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第二、四象限的所有点组成的集合 4．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 5．（2022高一上·全国·专题练习）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 6．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 7．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．（22-23高一下·河南焦作·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）给出下列说法，其中不正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 11．（21-22高一上·湖南株洲·开学考试）已知集合，则下列说法中错误的是（    ） A．若A中只有一个元素，则 B．若A中至少有一个元素，则 C．若A中至多有一个元素，则 D．若A中恰有两个元素，则 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·课前预习）方程的实数解集为 ． 13．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 14．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，方程的解集是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·假期作业）求下列方程组的解集： (1)； (2)； 16．（2022高一上·全国·专题练习）设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 17．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知集合 (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合. 18．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 19．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）设集合； (1)判断元素7是否属于，并说明理由； (2)已知实数，证明：； (3)对任意，判断是否是集合中的元素？并证明你的结论； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1集合的概念与表示 课程标准 学习目标 1了解集合的含义 2.理解元素与集合的关系 3.掌握集合的表示方法) 1.理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法 2.解“属于"关系的意义 3.了解有限集、无限集、空集的意义 知识点01 元素与集合的概念 1.元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作. 【即学即练1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的定义和性质判断可得答案． 【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 【即学即练2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各组对象中不能组成集合的是（    ）． A．2023年男篮世界杯参赛队伍 B．中国古典长篇小说四大名著 C．高中数学中的难题 D．我国的直辖市 【答案】C 【分析】根据组成集合的要素之确定性即可得解. 【详解】A，B，D所表示的对象都能确定，能组成集合，选项C高中数学中的难题，怎样算难题不能确定，不能组成集合， 故选：C． 知识点02 元素与集合关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 【即学即练3】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【答案】C 【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解. 【详解】由元素和集合关系可知：或或， 解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性， 所以的取值为或. 故选：C. 【即学即练4】（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，若，求实数的值． 【答案】 【分析】根据，分三种情况进行讨论，计算出的值，然后代入集合中，需要留意是否满足集合中元素的互异性． 【详解】解：①当，即时，而，， 不满足集合中元素的互异性，舍去； ②当，即时，而，，符合题意； ③当时，，而，，不满足集合中元素的互异性，舍去． 综上可知，实数的值为． 知识点03 集合中元素的特征 1.确定性：集合的元素必须是确定的。 2.互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的。 3.无序性：集合中的元素可以任意排列。 【即学即练5】（2024高一上·全国·专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 【答案】且且 【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可. 【详解】解：由元素的互异性，可知， 解得:且且. 故答案为：且且 【即学即练6】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，求集合． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，列方程，解方程求出，再根据元素互异性，即可确定集合B. 【详解】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 知识点04 集合的分类 1.有限集：含有有限个元素的集合。 2.无限集：含有无限个元素的集合。 【即学即练7】（2022高一·全国·专题练习）设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【答案】C 【分析】根据集合A、B的元素的个数，判断集合的类型. 【详解】由于面积为1的矩形有无数个，所以集合A为无限集， 而面积为1的正三角形只有一个，所以集合B为有限集，所以C正确； 故选：C． 【即学即练8】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)我国现在的直辖市； (2)比较小的自然数的全体； (3)数轴上到坐标原点距离是2的点的全体； (4)比2小的质数． 【答案】(1)能组成集合，为有限集 (2)不能组成集合，因为标准不明确 (3)能组成集合，为有限集，其中有2个元素 (4)能组成集合，为空集 【分析】（1）根据集合的定义判断； （2）根据集合的定义判断； （3）根据集合的定义判断； （4）根据集合的定义判断． 【详解】（1）我国现在的直辖市只有4个，能组成集合，是有限集； （2）“比较小的自然数”这个标准不明确，不能组成集合； （3）数轴上到坐标原点距离是2的点只有2和两个，能组成集合，是有限集； （4）没有比2小的质数，因此能组成集合，是空集． 知识点05 常见数集与符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 【即学即练9】（24-25高一上·上海·随堂练习） Q.（填“∈”或“”） 【答案】 【分析】由元素与集合的关系判断即可． 【详解】解：因为为无理数，所以， 故答案为： 【即学即练10】（24-25高一上·上海·课后作业）用符号“”或“”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 【分析】根据集合定义，确定元素与集合关系. 【详解】（1）不是自然数，则； （2）是整数，则； （3）是无理数，则； （4）是实数，则. 故答案为：（1）（2）（3）（4） 知识点06 集合的表示方法 1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2.描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 3.区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（interal）的概念． ①一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 ②实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． ③特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 【即学即练11】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 【答案】D 【分析】根据题意，说明同号，包括零.得到点的意义即可解题. 【详解】,说明同号，包括零. 则表示不在第二，四象限内的所有点. 故选：D． 【即学即练12】（24-25高一上·上海·随堂练习）用列举法表示所有不大于的正整数组成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据列举法的定义直接写出集合. 【详解】所有不大于的正整数组成的集合为， 故答案为：. 难点：集合与一元二次方程结合 示例1：（21-22高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知集合，其中为常数，且. (1)若是空集，求的范围； (2)若中只有一个元素，求的值； (3)若中至多只有一个元素，求的范围. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）方程ax2﹣3x+2＝0无解，则，根据判别式即可求解； （2）分a＝0和a≠0讨论即可； （3）综合（1）（2）即可得出结论. 【详解】（1）若是空集，则方程无解， 此时，即， （2）若中只有一个元素，则方程有且只有一个实根， 当时方程为一元一次方程，满足条件 当，此时，解得：. ∴或； （3）若中至多只有一个元素，则为空集，或有且只有一个元素 由①②得满足条件的的取值范围是：或. 难点：集合新定义 示例2：（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【详解】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交. 【题型1：判断所给对象能否构成集合】 例1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【答案】A 【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可. 【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合； B：，方程根确定，可构成集合； C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. 故选：A 变式1．（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【答案】C 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断. 【详解】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误； 对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确. 故选：C. 变式2．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的偶数 B．π的近似值 C．方程的实数根 D．最小的正整数 【答案】B 【分析】结合集合的确定性直接判断即可. 【详解】对A，不超过20的偶数是确定的，可以组成集合； 对B，π的近似值无法确切取到，不能组成集合； 对C，方程的实数根是确定的，就是1，可以组成集合； 对D，最小的正整数是确定的，是1，可以组成集合， 故选：B 变式3．（2023高一上·江苏·专题练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【答案】C 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体电竞选手是确定的，可以构成集合； 对于B，小于的正整数是确定的，可以构成集合； 对于C，2023年高考数学难题，难题的标准是不确定的，不能构成集合； 对于D，所有无理数都是确定的，能构成集合， 故选：C 变式4．（多选）（2024高一上·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 故选：ACD 变式5．（多选）（23-24高一上·江西景德镇·期中）下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 【答案】BC 【详解】根据集合的知识确定正确答案. 【分析】A选项，“难题”无法确定，所以不能组成集合. B选项，“2023年参加杭州亚运会的全体运动员”可以组成集合. C选项，“小于9的所有素数” 是“”，可以组成集合. D选项，“视力比较好”无法确定，所以不能组成集合. 故选：BC 变式6．（23-24高一·全国·课堂例题）以下对象的全体能否构成集合？ (1)河北红星工厂的员工； (2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手； (3)一次函数的图象上的若干个点； (4)不超过2 019的非负数． 【答案】(1)能构成一个集合 (2)不能构成一个集合 (3)不能构成一个集合 (4)能构成一个集合 【详解】（1）能构成集合．河北红星工厂的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合． （2）“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合． （3）“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数的图象上的若干个点”不能构成一个集合． （4）任给一个实数x，可以明确地判断x是不是“不超过2019的非负数”，故“不超过2 019的非负数”能构成一个集合． 【方法技巧与总结】 判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关 【题型2：判断元素与集合的关系】 例2．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可. 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误. 故选：A. 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题首先可根据题意分为“、均为正数”，“、为一正一负”，“、均为负数”三种情况进行讨论，然后确定集合中所包含的元素，即可得出结果. 【详解】当、均为正数时，代数式； 当、为一正一负时，代数式或； 当、均为负数时，代数式， 故集合， 故选：B. 变式2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合与元素之间的关系即可求解. 【详解】，所以与集合的关系为. 故选：B. 变式3．（2023·河南驻马店·一模）已知集合，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合元素与集合的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由方程，解得或，所以， 所以，，. 故选：A. 变式4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令分别为选项中不同值，求出的值进行判定. 【详解】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 变式5．（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法： ①若，则； ②集合有两个元素； ③集合时有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①特殊值判断；②由方程根判断；③列举出集合中元素，结合有限集定义判断. 【详解】①当时不成立，不正确； ②有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确； ③集合是有限集，正确． 故选：B 变式6.（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，判断是不是集合中的元素． 【答案】是，理由见解析 【分析】假设命题成立，进行推导是否能符合集合中元素的特性即找出整数，使得导，对于存在性的命题，找出一个实例即可． 【详解】解：是集合中的元素， 假设，则必，，使得， 此时取，即可，所以假设成立． 变式7．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合． (1)若为整数，试判断是否为集合中的元素； (2)求证：若，则． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合的表示方法，以及元素与集合的关系，即可求解. （2）若，则，，且，计算 的形态，从而确定它与集合的关系. 【详解】（1）是．∵，∴，其中，，∴整数． （2）证明：∵， ∴可设，，且， ∴ ． 又，， ∴． 【方法技巧与总结】 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可 【题型3：列举法表示集合】 例3．（23-24高一上·重庆·期中）将集合用列举法可以表示为（　　） A．1，2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的描述法和列举法分析求解. 【详解】对于方程，解得或， 所以，故C正确，ABD错误. 故选：C. 变式1．（23-24高一上·河北·阶段练习）用列举法表示小于4的自然数构成的集合，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据列举法即可得结果. 【详解】小于4的自然数构成的集合为， 故选：A. 变式2．（多选）（23-24高一上·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 【答案】ACD 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：ACD. 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习），用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】对从最小的自然数0开始进行逐一列举，将满足条件的点用集合表示出来即可． 【详解】解： 故答案为：． 变式4．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，,则 （用列举法表示）. 【答案】 【分析】根据集合的元素特征直接列举出即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 变式5．（21-22高一上·上海嘉定·期末）已知集合，用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据集合的意义直接表示集合. 【详解】， 故答案为：. 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合 ，用列举法表示集合． 【答案】 【分析】理解“且”连接的是需要同时满足，求出条件下的取值，再选出满足即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． ∵， ∴． 变式7．（24-25高一上·上海·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定出集合中的元素，然后写出集合； （2）确定出集合中的元素，然后写出集合； （3）解方程组得定出集合中的元素，然后写出集合； 【详解】（1）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示； （3）由得，方程组的解集可累表示为． 【方法技巧与总结】 用列举法表示集合应注意的两点 (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素； (2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素． 【题型4：描述法表示集合】 例4．（2023高一·全国·课后作业）集合用描述法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合中的元素特征即可求解. 【详解】中的元素满足，所以， 故选：D 变式1．（21-22高一·全国·课后作业）集合A＝{1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11，…}，用描述法表示正确的是（　　） ①{x|x＝2N±1，N∈N}； ②{x|x＝（﹣1）N（2N﹣1），N∈N}； ③{x|x＝（﹣1）N（2N+1），N∈N}． A．③ B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】取N＝0，1，2分别验证三个集合即可． 【详解】解：取N＝0，{x|x＝2N±1，N∈N}＝{0，1}，故①错误； 取N＝0，{x|x＝（﹣1）N（2N﹣1），N∈N}＝{﹣1}，故②错误； 取N＝0，{x|x＝（﹣1）N（2N+1），N∈N}＝{1}，取N＝1，{x|x＝（﹣1）N（2N+1），N∈N}＝{﹣3}，取N＝2，{x|x＝（﹣1）N（2N+1），N∈N}＝{5}，……，故③正确； 故选：A． 变式2．（多选）（20-21高一·全国·课后作业）集合用描述法可表示为（    ） A．是不大于9的非负奇数 B．且 C． D． 【答案】AB 【分析】利用描述法的定义逐一判断即可. 【详解】对A，是不大于9的非负奇数表示的集合是，故A正确； 对B，且表示的集合是，故B正确； 对C，表示的集合是，故C错误； 对D，表示的集合是，故D错误. 故选：AB. 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）用描述法表示“被除余的正整数构成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据集合的表示方法直接可得解. 【详解】用描述法表示“被被除余的正整数构成的集合”为， 故答案为：． 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）被除余的所有整数组成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据集合的表示方法直接表示. 【详解】被除余的所有整数为，， 所以被除余的所有整数组成的集合为， 故答案为：. 变式5．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    【答案】 【分析】看图得出x，y的取值范围，用集合的描述法表示出来即可. 【详解】由图知，，，所以由集合的描述法可知 . 故答案为：. 变式6．（22-23高一上·陕西安康·阶段练习）表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）方程的解集为. （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 变式7．（21-22高一·湖南·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)偶数组成的集合； (2)正奇数组成的集合； (3)不等式－x2≥0的解集； (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. 【答案】(1){x|x＝2n, n∈Z}或{x|x为偶数} (2){x|x＝2n＋1, n∈N}或{x|x为正奇数} (3){x|－x2≥0} (4){(x, y)|x>0,y<0} (5)且 【分析】根据描述法的定义，结合各个小题的条件，依次分析即得解 【详解】（1）由偶数可以表示成整数的两倍， 故偶数组成的集合可表示为{x|x＝2n, n∈Z}或{x|x为偶数} （2）由奇数可以表示成整数的两倍加1， 故正奇数组成的集合可表示为{x|x＝2n＋1, n∈N}或{x|x为正奇数} （3）不等式－x2≥0的解集可表示为{x|－x2≥0} （4）由第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负 故平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合可表示为：{(x, y)|x>0,y<0} （5）集合可用描述法表示为且 【方法技巧与总结】 一.两步认识描述法表示的集合 (1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集． (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)． 二．利用描述法表示集合应关注五点 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． 【题型5：列举法与描述法的理解】 例5．（22-23高一·全国·课堂例题）选择适当方法用符号表示下列用自然语言说明的集合． (1)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (2)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）（2）由集合的表示法即可求解/ 【详解】（1）用描述法：； （2）用列举法： ， 用描述法： 变式1．（2021高一·全国·专题练习）把下列集合用适当方法表示出来： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 【答案】（1）{且}；（2）；（3）；（4）；（5）. 【分析】根据集合的元素个数和元素特征选择列举法和描述法即可解出． 【详解】（1）因为集合中的元素都是偶数，所以{且}． （2） . （3）由得，因此. （4）由，且，得或，因此. （5）由得或，.因此. 变式2．（20-21高一·江苏·课后作业）用适当方法表示下列集合： （1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合； （2）方程+|y﹣2|＝0的解集； （3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合. 【答案】（1）{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2）；（3）{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}. 【解析】（1）利用列举法求解即可； （2）先解出方程的解，然后利用列举法； （3）利用描述法即可 【详解】解：（1）当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3； 当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32； 当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312. 由于元素个数有限，故用列举法表示为 {1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}. （2）由算术平方根及绝对值的意义，可知： ，解得， 因此该方程的解集为{（﹣，2）}. （3）首先此集合应是点集，是二次函数y＝3x2+1图象上的所有点， 故用描述法可表示为{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}. 变式3．（21-22高一·全国·课后作业）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它． （1）小于的自然数； （2）某班所有个子高的同学； （3）不等式的整数解． 【答案】（1）能，集合为；（2）不能，理由见解析；（3）能，集合为. 【分析】（1）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合； （2）根据集合元素的确定性进行判断即可； （3）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合. 【详解】（1）小于的自然数为、、、、，元素确定，所以能构成集合，且集合为； （2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合； （3）由得，因为为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个， 所以用描述法表示为. 变式4．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据描述法及列举法的定义结合题意即可得出答案. 【详解】（1）由得，，解得，， 所以集合为； （2）由，得x为，，0，1，2， 当或时，； 当或时，； 当时，． 所以集合为； （3）； （4）解不等式得， 所以不等式的解集可表示为． 变式5．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）结合质数的概念以及列举法即可求解. （2）由奇数的概念以及描述法即可求解. （3）由描述法即可求解. （4）用列举法即可求解. 【详解】（1）大于1且不大于17的质数组成的集合. （2）所有奇数组成的集合. （3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合. （4）. 变式6．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【答案】(1)，无限集 (2)，有限集 (3)，有限集 【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示； （2）解方程组，解集为有限，用列举法表示； （3）元素有限个，所以用列举法表示. 【详解】（1）因为，所以解集为，为无限集； （2）二元二次方程组，所以，解得或， 所以解集为，为有限集； （3）大于且小于9的偶数有， 所以解集为，为有限集. 【方法技巧与总结】 1．对于含有有限个元素且个数较少的集合，采用列举法表示集合较合适；对于元素个数较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，在不发生误解的情况下，可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如N*＝{1,2,3，…}． 2．一般地，元素较多的无限集用描述法表示集合． 【题型6：区间表示集合】 例6．（2023高一·全国·课后作业）下列语句中： （1）和表示同一集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解组成的集合是； （4）区间是有限集， 其中正确的是 .（填入所有正确的语句序号） 【答案】（2）（3） 【分析】根据集合的相关概念即可结合选项逐一求解. 【详解】对于（1），表示集合中只有这一个元素，而表示不等式的解，故不是同一集合； 对于（2），集合中的元素满足无序性，所有由1，2，3组成的集合可表示为或； 对于（3），方程的所有解组成的集合是； 对于（4），区间中有无限多个元素，所以是无限集， 故答案为：（2）（3） 变式1．（23-24高一上·全国·课后作业）用区间表示下列集合： （1）： ； （2）： ； （3）： ； （4）： ． 【答案】 【分析】利用集合与区间的对应关系即可直接写出答案. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 故答案为：，，，. 变式2．（20-21高一·全国·课后作业）在数轴上表示集合或，并用区间表示该集合为 ． 【答案】 ； 【分析】答案见数轴，用区间表示出集合即可 【详解】如图： ，表示成集合为： 变式3．（20-21高一·全国·课后作业）给出下列说法： ①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为； ②方程的解集为； ③集合与是不相同的； ④不等式的解集可用区间表示为. 其中正确的是 (填序号)． 【答案】①③④ 【分析】根据题意，结合集合的表示方法列举法和描述法，以及点集和数集的定义，分析各项集合中元素具有的性质，逐项判定，即可求解，得到答案． 【详解】解：对于①中，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0， 且集合中的代表元素为点，所以①正确； 对于②中，方程的解为， 解集为：或，所以②不正确； 对于③中，集合，集合， 这两个集合不相等，所以③正确． 对于④，不等式的解集为，用区间表示为，所以④正确． 答案：①③④. 【点睛】本题考查集合的表示方法及其应用，熟记集合的表示方法：列举法、描述法是解答的关键，考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 变式4．（2023高一·全国·专题练习）用区间表示下列集合 ： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据区间的定义即可求解； （2）求解一元一次不等式，即可由区间定义求解. 【详解】（1） ，故集合可用区间表示； （2）由可得，所以不等式的解集为，即用区间表示为. 变式5．（22-23高一·全国·随堂练习）用区间表示下列集合： (1)不等式的所有实数解组成的集合； (2)使有意义的所有实数x取值的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求解一元一次不等式，即可由区间定义求解， （2）根据根式有意义即可求解. 【详解】（1）由可得，所以不等式的解集为， 即用区间表示为 （2）由有意义得，故， 所以所有实数x取值的集合，即为 变式6．（23-24高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据区间与集合的对应关系即可写出对应的区间表示. 【详解】（1） （2） （3） （4） 【题型7：根据元素与集合的关系求参数】 例7．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系，分类讨论、、，即可求解. 【详解】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故. 故选：B. 变式1．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 【答案】D 【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合. 【详解】因为集合的元素之和为1， 所以一元二次方程有等根时，可得，即， 当方程有两不相等实根时，，即， 综上，实数a 所有取值的集合为. 故选：D 变式2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助元素与集合的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 变式3．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 变式4．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解. 【详解】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 变式5．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知集合，则集合中元素的个数为 ． （2）若，则 ． 【答案】 5 【分析】（1）通过分论讨论求解，然后再根据元素的互异性即可求解； （2）通过分两类或进行求解，求解出值后代入集合里面，看元素是否满足互异性即可． 【详解】解析：（1）①当时，，此时的值分别为0，，； ②当时，，此时的值分别为1，0，； ③当时，，此时的值分别为2，1，0． 综上可知，的可能取值为，，0，1，2，共5个， （2）由题意知，或． ①当时，．把代入，得集合的三个元素为，，12，不满足集合中元素的互异性； ②当时，或（舍去），当时，集合的三个元素为，，12，满足集合中元素的互异性，由①②知， 故答案为：;． 变式6．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知集合，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解. 【详解】因为，且， 则或，解得. 故答案为：. 变式7．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知关于x的不等式的解集为M，且，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【详解】由且，得所以. 故答案为： 【方法技巧与总结】 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 【题型8：集合元素互异性的应用】 例8．（2022·上海·高一专题练习）非零实数，构成的数能组成的集合是________________. 【答案】 【分析】分别讨论，的符号，分四种情况讨论，计算的值结合元素的互异性即可求解. 【详解】当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 由元素的互异性可知数能组成的集合是， 故答案为： . 变式1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据集合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合元素的互异性可知，，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D. 变式2．（20-21高一上·全国·课后作业）由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合互异性,根据题意,分a＝0和a≠0分类讨论,得出答案. 【详解】当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致.故组成的集合中有两个元素. 故选:B. 【点睛】本题考查集合中元素的特征，其中互异性即集合中元素要求互不相同考查较多，解题时，注意分类讨论． 变式3．（多选）（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 【答案】CD 【分析】利用集合的互异性即可判断实数a的范围条件，根据选项筛选即可. 【详解】由题意得,解得a≠2且a≠±1，则符合要求的只有CD. 故选：CD. 变式4．（多选）（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）由组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】ACD 【分析】根据集合元素互异性求解即可. 【详解】由题意知，，解得且. 所以实数的取值可以是，3,6 故选：ACD 变式5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】由集合中元素的互异性可知，，解得且， 故答案为：且 变式6．（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且； (2)或或. 【分析】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可； （2）若，则或，进而求解即可得答案. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 【题型9：集合与一元二次方程】 例9．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【分析】根据给定条件，按方程是一元一次方程和一元二次方程分类求解即得. 【详解】因为集合中至多有一个元素，则： ①当时，只有一个元素，符合题意； ②当时，方程有两个相等的实数根或没有实数根， 于是，即，解得， 所以实数a应满足或． 故选：C 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若方程的解集为单元素集，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】按与，借助判别式求解即得. 【详解】当时，方程的解为，其解集为单元素集，则， 当时，由，解得，原方程有等根，其解集为单元素集， 所以m的值为或. 故答案为：或 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若集合中有且只有一个元素，则实数的取值集合是 ． 【答案】 【分析】根据集合中有且仅有一个元素，分析讨论和两种情况即可. 【详解】由集合中有且仅有一个元素， 当时，集合为成立， 当时，方程有两个相等的实根， 则，解得，集合为成立， 综上所述实数的取值集合为. 故答案为：. 变式3．（22-23高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案. 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 变式4．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解； （2）由（1）可得或，再讨论当时的情况即可. 【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合； （2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或， ②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知的取值范围为或. 变式5．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为 (3) 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 变式6．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2)0或 (3)且 【分析】（1）将代入方程解得答案. （2）考虑和两种情况，根据得到答案. （3）考虑且，计算得到答案. 【详解】（1），故，解得. （2）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 变式7．（21-22高一上·上海普陀·阶段练习）已知集合． (1)若中只有1个元素，求实数的取值范围； (2)若关于的方程存在两个不相等实根且．求实数的值与集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）按方程是一次方程，二次方程讨论，即可求出实数的取值范围； （2）由根与系数的关系知，且，从而得到方程，即可求得或，再代入求集合A即可. 【详解】（1）解：当时，，解得，符合题意， 当时，，解得，符合题意， 故实数的取值范围为； （2）（2）∵关于的方程存在两个不相等实根， ∴， 且， 则， 即， 故或， 当时，， 当时，． 变式8．（2023高一·全国·专题练习）若集合，根据下列条件，求k的取值范围. (1)有且仅有一个子集 (2)有且仅有两个子集 (3)有且仅有三个真子集 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】由子集的个数确定集合中元素的个数，结合一元二次方程根的个数与、、的关系列式即可求得结果. 【详解】（1）因为集合A有且仅有一个子集， 所以，即方程无根， 所以，解得. 故当集合A有且仅有一个子集时，. （2）因为集合A有且仅有两个子集， 所以集合A中有且只有1个元素，即方程有且只有一个根， 所以，解得或. 故当集合A有且仅有两个子集时，或. （3）因为集合A有且仅有三个真子集， 所以集合A中有且只有2个元素，即方程有两个不等的实根， 所以，解得或. 故当集合A有且仅有三个真子集时，或. 【题型10：集合新定义】 例题10．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 【答案】21 【分析】首先求集合中的元素，再求和. 【详解】因为，所以中的元素有： ，，，，（舍去），，（舍去），， 所以， 所以中的所有元素数字之和为21． 变式1．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）对于两个正整数、，定义某种运算“”如下，当、都为正偶数或正奇数时，；当、中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，求集合中元素的个数． 【答案】13 【分析】根据运算规则，分情况讨论当、都为正偶数或正奇数时和、中一个为正偶数，另一个为正奇数时，分别写出取值的可能，即可得到. 【详解】由已知得，当、都为正偶数或正奇数时，， 要使，则可能的情况有、、、、、、、、，共9种情况； 当、中一个为正偶数，另一个为正奇数时，， 要使，则可能的情况有、、、，共4种情况. 所以集合 ， 共13个元素． 变式2．（20-21高一·全国·课后作业）设P，Q为两个集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是多少? 【答案】8个. 【分析】按当a=0，a=2和a=5时讨论，b依次取1，2，6，得出a+b的值，利用集合元素的互异性，得出P+Q中元素的个数． 【详解】当a=0时，b依次取1，2，6，得a+b的值分别为1，2，6; 当a=2时，b依次取1，2，6，得a+b的值分别为3，4，8; 当a=5时，b依次取1，2，6，得a+b的值分别为6，7，11. 由集合元素的互异性知P+Q中元素为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个. 【点睛】本题考查集合中元素个数的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 变式3．（20-21高一上·上海·课后作业）已知集合且．定义集合，求集合． 【答案】 【分析】先用列举法表示集合，从而得出的取值情况，然后依次讨论的值，求出的值，进而得出集合． 【详解】根据题意可知， 由，可知，． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 根据集合中元素的互异性，得． 【点睛】本题主要考查了集合描述法的应用，考查了集合元素的互异性，难度不大. 变式4．（18-19高一·全国·课后作业）现定义一种运算，当m，n都是正偶数或都是正奇数时，；当m，n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，．求中元素的个数． 【答案】17个 【分析】分别列举当都是正偶数或都是正奇数时,及当中一个为正奇数,另一个为正偶数时的元素,从而得到元素的个数 【详解】解:当a,b都是正偶数时,可以是,,,,,,,共7个； 当a,b都是正奇数时,可以是,,,,,,,,共8个； 当a,b中一个为正奇数,一个为正偶数时,可以是,,共2个 所以满足题意的元素的个数为17 【点睛】本题考查元素的个数,考查列举法的应用,考查对新定义的理解 变式5．（17-18高一·全国·课后作业）若，定义集合，用列举法表示集合. 【答案】 【分析】根据题意，结合的计算方法，可得，即可得答案． 【详解】∵当时，b依次取，得的值分别为； 当时，b依次取，得的值分别为； 当时，b依次取，得的值分别为. ∴． 【点睛】本题考查集合的运算，是新定义题型，关键是理解集合的含义，并注意集合中元素的性质． 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据集合元素的互异性可以得出答案 【详解】因为三角形的三边长为一个集合的3个元素，根据集合元素的互异性，三角形的三条边长互不相等，所以一定不可能是等腰三角形. 故选：D. 2．（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式性质进行计算的结果 【详解】由得，则 ． 故选：C 3．（24-25高一上·上海·课后作业）集合，、为实数是指（　　） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第二、四象限的所有点组成的集合 【答案】C 【分析】由已知判断出同号，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】解：集合，、为实数， ， 同号， 当时，集合指第一象限内的所有点组成的集合， 当时，集合指第三象限内的所有点组成的集合， 故是指第一和第三象限内的所有点组成的集合． 故选：C． 4．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集. 【详解】由，解得， 所以方程组的解构成的集合是. 故选：D 5．（2022高一上·全国·专题练习）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系逐个判断即可. 【详解】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3. 故选：D. 6．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 【答案】A 【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 即a为奇数，b为偶数，则为奇数， 所以BD错误，A正确； 例如，令，即， 解得，所以，故C错误； 故选：A. 7．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据1是集合中的一个元素，求得a，进而再解方程求解. 【详解】解：， 集合中的方程为， 解得或， ， 故选：C． 8．（2024高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 二、多选题 9．（22-23高一下·河南焦作·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】AD 【分析】集合有且只有一个元素，可得方程为一次方程时有唯一实根或二次方程时两个相等实根，分类求解即可. 【详解】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素，由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为1，4. 故选：AD. 10．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）给出下列说法，其中不正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【答案】BCD 【分析】根据集合的表示法可以依次判断. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，R就表示实数集，实数集用为错误表示，另外花括号具有所有的意义，描述内容中不能再出现所有字眼，故B错误； 对于C，解集应为，原表示错误，故C错误； 对于D，集合为y的取值集合，集合表示上点的集合，所以两个集合不是同一个集合，故D错误； 故选：BCD. 11．（21-22高一上·湖南株洲·开学考试）已知集合，则下列说法中错误的是（    ） A．若A中只有一个元素，则 B．若A中至少有一个元素，则 C．若A中至多有一个元素，则 D．若A中恰有两个元素，则 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的个数以及方程的解即可判断选项. 【详解】对于选项A：若A中只有一个元素， 即方程有一个根，或两个相等实根， 当时，原方程变为，此时符合题意， 当时，方程有两个相等实根， 所以，即， 所以当A中只有一个元素时，则或，故A错误； 对于选项B：若A中至少有一个元素，即A中有一个元素或两个元素， 当A中有一个元素时，由前面可知，或； 当A中有两个元素时，方程有两个不等实根， 所以即且， 所以若A中至少有一个元素，则，故B正确； 对于选项C：若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素， 当A中有一个元素时，由前面可知，或； 当A中没有元素时，即方程无实根， 所以即， 所以若A中至多有一个元素，则或；故C错误； 对于选项D：若A中恰有两个元素，由前面可知，且，故D错误； 故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·课前预习）方程的实数解集为 ． 【答案】 【分析】解出方程后用集合表示即可. 【详解】,则，则方程无实数解.故方程的实数解集为. 故答案为：． 13．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 14．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，方程的解集是 ． 【答案】 【分析】根据给定的方程，分段去绝对值符号求解即得. 【详解】当时，，， 则方程恒成立，因此； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 则方程恒成立，因此， 所以方程的解集是. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·假期作业）求下列方程组的解集： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程组的解法，利用消元法，即可求解； （2）联立方程组，结合一元二次方程的解法，即可求解. 【详解】（1）由不等式组， ①+②，可得，②③，可得， 联立方程组，解得， 代入①式，可得， 所以不等式组的解集为. （2）由方程组， 整理得，解得或， 当时，可得； 时，可得， 所以方程组的解集为. 16．（2022高一上·全国·专题练习）设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 （1）根据题意，由，得，进而，得证； （2）反证法证明. 【详解】（1） 若，则, 又因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以A中另外两个元素为. （2） 若A为单元素集，则， 即，方程无实数解． 所以，所以集合A不可能是单元素集． 17．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知集合 (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据是空集，可知，解不等式组即可； （2）根据中只有一个元素，分和两种情况进行讨论. 【详解】（1）因为是空集，所以，即解得， 所以的取值范围为. （2）当时，集合，符合题意； 当时，即，解得，此时集合， 综上所述，的值为或， 当时，集合，当时，集合. 18．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 【答案】(1)8个； (2)证明见解析． 【分析】（1）需要对的取值进行分类讨论，然后计算出，再根据元素的互异性求解； （2）设，计算出，即可证明． 【详解】（1）时，； ，； ，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； 所以，它有8个元素； （2）因为， 所以设，． ，所以得证． 19．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）设集合； (1)判断元素7是否属于，并说明理由； (2)已知实数，证明：； (3)对任意，判断是否是集合中的元素？并证明你的结论； 【答案】(1)，理由见解析； (2)证明见解析； (3)，证明见解析. 【分析】（1）由题设且，讨论、对应值，求出参数，判断是否满足即可； （2）假设，讨论分解的可能组成，讨论、求，结合即可证结论； （3）令且，研究是否为两个整数的平方差形式，即可得结果. 【详解】（1）若，则，又， 所以或或或， 解得或或或，显然满足要求， 所以. （2）若，则，而可分解为一个奇数与偶数的乘积形式， 不妨令或或或， 解得或或或，，显然不符合， 所以. （3），证明如下： 由，即，且， 所以 ， 显然、，故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$