第二十一章本章小结与复习（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课(人教版)

www.youyi100.com 2024秋季学期 《学练优》· 九年级数学上 · RJ 第二十一章　一元二次方程 本章小结与复习 目 录 CONTENTS 01 单元情境串联 02 考点整合训练 例：已知关于 x 的一元二次方程 kx2－（2 k ＋4） x ＋ k －6＝0. （1）若 x ＝－1是方程的一个根，则 k 的值为 ⁠； 　 （2）若方程有两个不相等的实数根，则 k 的取值范 围是 ⁠； k ＞－ 且 k ≠0　 （3）当 k ＝1时，用配方法解方程； 解：（3）当 k ＝1时，方程为 x2－6 x －5＝0， ∴ x2－6 x ＋9＝5＋9. ∴（ x －3）2＝14.∴ x1＝3＋ ， x2＝3－ . （4）若方程的两根 x1， x2满足（ x1＋1）（ x2＋1）＝2，求 k 的值. （4）∵ x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ， ∴（ x1＋1）（ x2＋1）＝ x1 x2＋ x1＋ x2＋1＝ ＋ ＋1＝2.∴ k ＝1（符合题意）. ◆考点一　一元二次方程的有关概念 1. （2023－2024·唐山路南区期末）若方程□－3＝ x 是关于 x 的一元二次方程，则“□”可以是（　C　） A. －2 x B. 22 C. 2 x2 D. y2 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 2. 方程2 x （ x －3）＝7化成一般形式后，若二次项 系数为2，则常数项为（　C　） A. －6 B. 7 C. －7 D. 6 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 3. （2023－2024·石家庄赵县期末）已知 m 是方程 2 x2－7 x ＋1＝0的一个根，则代数式 m （2 m －7）＋5的值是 ⁠. 4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 ◆考点二　一元二次方程的解法 4. 解下列方程： （1） x2－3 x －4＝0； 解：（ x ＋1）（ x －4）＝0， x ＋1＝0， 或 x －4＝0， ∴ x1＝－1， x2＝4. （2）（ x －3）2＝9－3 x ； 解：（ x －3）2＋3（ x －3）＝0， 即（ x －3）（ x －3＋3）＝0，∴ x1＝3， x2＝0. 解：（ x －3）2＋3（ x －3）＝0， 即（ x －3）（ x －3＋3）＝0，∴ x1＝3， x2＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 （3）2 x2－4 x －5＝0. 解：∵2 x2－4 x －5＝0， ∴ a ＝2， b ＝－4， c ＝－5. ∴Δ＝ b2－4 ac ＝16＋40＝56＞0. ∴ x ＝ ＝ . ∴ x1＝1＋ ， x2＝1－ . 解：∵2 x2－4 x －5＝0， ∴ a ＝2， b ＝－4， c ＝－5. ∴Δ＝ b2－4 ac ＝16＋40＝56＞0. ∴ x ＝ ＝ . ∴ x1＝1＋ ， x2＝1－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 ◆考点三　根的判别式及根与系数关系的综合运用 5. （2023·天津中考）若 x1， x2是方程 x2－6 x －7＝0 的两个根，则（　A　） A. x1＋ x2＝6 B. x1＋ x2＝－6 C. x1 x2＝ D. x1 x2＝7 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 6. 易错题　在平面直角坐标系中，若直线 y ＝－ x ＋ m 不经过第一象限，则关于 x 的方程 mx2＋ x ＋1＝0的实数根的个数为（　D　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 7. （2023·天门中考）已知关于 x 的一元二次方程 x2－（2 m ＋1） x ＋ m2＋ m ＝0. （1）求证：无论 m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （1）证明：∵Δ＝[－（2 m ＋1）]2－4（ m2＋ m ）＝ 4 m2＋4 m ＋1－4 m2－4 m ＝1＞0， ∴无论 m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 （2）解：∵该方程的两个实数根为 a ， b ， ∴ a ＋ b ＝2 m ＋1， ab ＝ m2＋ m . ∵（2 a ＋ b ）（ a ＋2 b ）＝2 a2＋4 ab ＋ ab ＋2 b2＝ 2（ a2＋2 ab ＋ b2）＋ ab ＝2（ a ＋ b ）2＋ ab ， （2）设该方程的两个实数根为 a ， b ，若（2 a ＋ b ）（ a ＋2 b ）＝20，求 m 的值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 ∴2（ a ＋ b ）2＋ ab ＝20. ∴2（2 m ＋1）2＋ m2＋ m ＝20. 整理，得 m2＋ m －2＝0. 解得 m1＝－2， m2＝1，∴ m 的值为－2或1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 ◆考点四　利用一元二次方程解决实际问题 8. （2023－2024·白城月考）在某次聚会上，每两人 都握了一次手，所有人共握手10次，设有 x 人参加 这次聚会，则列出方程正确的是（　B　） A. x （ x －1）＝10 B. x （ x －1）＝10 C. x （ x ＋1）＝10 D. x （ x ＋1）＝10 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 9. 如图，在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中 AB ＝ CD ＝ EF ＝ GH ＝ x m，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为864m2，那么 x ＝ ⁠. 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 10. （2023－2024·邢台信都区月考）某农产品促销 活动正在启动，某种商品的进价为每件30元，售价 为每件40元，每天可销售48件.为尽快减少库存，商 场决定降价促销. （1）若该商品连续两次按相同的百分率下调售价后 售价降至每件32.4元，求每次降价的百分率； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 解：（1）设每次降价的百分率为 x . 依题意，得40（1－ x ）2＝32.4， 解得 x ＝0.1＝10％， x ＝1.9（不符合题意，舍去）. 答：每次降价的百分率为10％. 解：（1）设每次降价的百分率为 x . 依题意，得40（1－ x ）2＝32.4， 解得 x ＝0.1＝10％， x ＝1.9（不符合题意，舍去）. 答：每次降价的百分率为10％. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 （2）经调查，该商品每降价0.5元，每天可多销售4 件，若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存， 求每件应降价多少元. 解：（2）设每件应降价 y 元.依题意，得（40－30－ y ）（48＋4× ）＝504， 整理，得 y2－4 y ＋3＝0，解得 y1＝1， y2＝3. ∵要尽快减少库存，∴取 y ＝3. 解：（2）设每件应降价 y 元.依题意，得（40－30－y ） （48＋4× ）＝504， 整理，得 y2－4 y ＋3＝0，解得 y1＝1， y2＝3. ∵要尽快减少库存，∴取 y ＝3. 答：每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每 件应降价3元. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 综合素养提升 11. 新角度数形结合我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程 x2＋5 x －14＝0，即 x （ x ＋5）＝14为例加以说明，构造如图①，大正方形的面积是（ x ＋ x ＋5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得 x ＝2.那么，图②是方程 ⁠ 的几何解法. x2＋3 x －10＝0 （答案不唯一）　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 【解析】由图②知大正方形的面积是（ x ＋ x ＋3）2， 它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积， 即4×10＋32，∴图②可看作 x （ x ＋3）＝10的几何 解法.故答案为 x2＋3 x －10＝0（答案不唯一）. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 $$