1.2.1 必要条件与充分条件（第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用）课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

2.1　必要条件与充分条件 第2课时　习题课　充分条件与必要条件的综合应用 第一章　预备知识 北师大版 数学 必修第一册 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 重难探究·能力素养速提升 探究点一　充要条件的证明 【例1】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 证明 充分性:因为a+b+c=0,所以c=-a-b, 代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0, 所以方程有一个根为1,充分性成立. 必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1, 所以x=1满足方程ax2+bx+c=0, 所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0. 必要性成立. 综上所述,方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 变式探究 将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”,“a+b+c=0”改为“ac<0”,如何判断? 证明 充分性:因为ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0中有两个不等实根, 由根与系数关系可知这两个根的积为 <0,所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,充分性成立. 必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,由根与系数关系可知这两个根的积为 <0,所以ac<0,必要性成立. 综上,方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 规律方法　充要条件的证明 (1)根据充要条件的定义,证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明:一般地,证明“p成立的充要条件为q”①充分性:把q当作已知条件,结合命题的前提条件,推出p;②必要性:把p当作已知条件,结合命题的前提条件,推出q.解题的关键是分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求. (2)在证明过程中,若能保证每一步推理都满足等价性(⇔),也可以直接证明充要性. 探究点二　根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 【例2】 (1)若“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≥3} B.{a|a≤-1} C.{a|-1≤a≤3} D.{a|a≤3} B 解析 因为“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件,所以a≤-1.故选B. (2)若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　　　　.  {m|m>2} 解析 因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件,所以{x|x>m}是{x|x>2}的真子集,所以m>2. 规律方法　根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下: (1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)}; (2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系: 条件类别 集合M与N的关系 p是q的充分不必要条件 M⫋N p是q的必要不充分条件 M⫌N p是q的充要条件 M=N p是q的充分条件 M⊆N p是q的必要条件 M⊇N (3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组); (4)解不等式(组)求出参数的取值范围. 变式训练1(1)一次函数 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(　　) A.m>1,且n<1 B.mn<0 C.m>0,且n<0 D.m<0,且n<0 B ★(2)[2024山东泰安高一期末](多选题)一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　) A.a<0 B.a<-1 C.a<1 D.-3<a<-2 BD 探究点三　由传递性判断命题间的关系 【例3】 已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么: (1)s是q的什么条件? (2)r是q的什么条件? (3)p是q的什么条件? 解 (1)∵q是s的充分条件,∴q⇒s. ∵q是r的必要条件,∴r⇒q. ∵s是r的充分条件,∴s⇒r. ∴s⇒r⇒q⇒s.即s是q的充要条件. (2)由r⇒q,q⇒s⇒r,知r是q的充要条件. (3)∵p是r的必要条件,∴r⇒p,∴q⇒r⇒p. ∴p是q的必要不充分条件. 规律方法　解决传递性问题的关键是画出推出的结构图,也可以考虑命题之间的关系. 变式训练2如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么(　　) A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 A 解析 如图所示,∵甲是乙的必要条件, ∴乙⇒甲. ∵丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,∴丙⇒乙,但乙不能推出丙. 综上,有丙⇒乙⇒甲,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)充要条件概念的理解; (2)充要条件的证明; (3)根据条件求参数范围. 2.方法归纳:等价转化法、特例法. 3.常见误区:条件和结论辨别不清. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.在四边形ABCD中,“四边形ABCD为平行四边形”是“AB与CD平行且相等”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 C 解析 四边形ABCD为平行四边形等价于AB与CD平行且相等.故选C. 1 2 3 4 5 2.(多选题)在下列各选项中,p是q的充要条件的是(　　) A.p:A⊆B,q:A∩B=A B.p:a=b,q:|a|=|b| C.p:|x|+|y|=0,q:x=y=0 D.p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数 AC 解析A,C中,p都是q的充要条件;B中,p是q的充分不必要条件;D中,p是q的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 3.已知集合A={x|x2+x-6≤0},B={x|3-m≤x≤m+5},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数m的取值范围为　　　　　.  [6,+∞) 解析 由题得A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件, 所以实数m的取值范围为[6,+∞). 1 2 3 4 5 4.“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”是否可以作为直角三角形的定义?为什么? 解 可以作为直角三角形的定义. 因为“有两个角之和为90°的三角形”⇔“有一个内角为90°的三角形”⇔“直角三角形”,即“有两个角之和为90°的三角形”是“直角三角形”的充要条件, 故“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”可以作为直角三角形的定义. 1 2 3 4 5 5.在△ABC中,判断∠B=∠C是否为AC=AB的充要条件. 解 因为“在三角形中,等角对等边”, 所以∠B=∠C⇒AC=AB. 又因为“在三角形中,等边对等角”, 所以AC=AB⇒∠B=∠C. 因此△ABC中,∠B=∠C是AC=AB的充要条件. y=-x+ 解析 因为y=-x+的图象经过第一、三、四象限,故->0,<0,即m>0,n<0,故其必要不充分条件为mn<0.故选B. 解析 因为一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根,所以解得a<0,则一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件对应的集合应为{a|a<0}的真子集,故B,D正确,A,C错误. 所以A⊆B,即解得m≥6. $$