1.2.1 必要条件与充分条件（第1课时 必要条件与充分条件）课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

2.1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与充分条件 第一章　预备知识 北师大版 数学 必修第一册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系. 2.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系. 3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系. 4.掌握充分条件、必要条件的判断方法. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　必要条件与性质定理 1.当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论.当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作p⇒q. “若p,则q”为假命题时,得不出q是p的必要条件 2.一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的. 名师点睛 说条件是必要的,就是说该条件必须要有,是必不可少的.简单地说,就是“有它不一定能成立,但没它一定不成立”. 思考辨析 “若p,则q”与“p⇒q”一样吗? 提示 不一样,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)“x=3”是“x2=9”的必要条件.(　　) (2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.(　　) (3)q不是p的必要条件时,“p推不出q”成立.(　　) × × √ 2.[人教A版教材例题]下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等; (2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例; (3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形; (4)若x=1,则x2=1; (5)若ac=bc,则a=b; (6)若xy为无理数,则x,y为无理数. 解 (1)这是平行四边形的一条性质定理,p⇒q,所以,q是p的必要条件. (2)这是三角形相似的一条性质定理,p⇒q,所以,q是p的必要条件. (3)如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,但它不是菱形, p q,所以,q不是p的必要条件. (4)显然,p⇒q,所以,q是p的必要条件. (5)由于(-1)×0=1×0,但-1≠1,p q,所以,q不是p的必要条件. (6)由于 为无理数,但1, 不全是无理数,p q,所以,q不是p的必要条件. 知识点2　充分条件与判定定理 “若p,则q”为假命题时,得不出p是q的充分条件　　　   一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件. 综上,对于真命题“若p,则q”,即p⇒q时,称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件. 名师点睛 1.说条件是充分的,也就是说这个条件足以保证结论成立.即要使结论成立,只要有它就可以了. 2.可以把充分条件理解为“有之即可,无之也行”. 思考辨析 我们知道,当“x>1”成立时,能推出“x>0”.那么“x>0”的充分条件是否只能是“x>1”?  提示 不是.使结论“x>0”成立的条件并不唯一,如“x>1.2”,“3<x≤4”等,有无数个. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(　　) (2)如果p是q的充分条件,则p是唯一的.(　　) (3)“x>-1”是“x>1”的充分条件.(　　) √ × × 2.[人教A版教材习题]下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上,则PA=PB; (2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等,则这两个三角形全等; (3)若两个三角形相似,则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 解 (1)由线段垂直平分线的性质,p⇒q,p是q的充分条件. (2)两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等,p q,p不是q的充分条件. (3)由相似三角形的性质,p⇒q,p是q的充分条件. 3.[人教A版教材习题]如图,直线a与b被直线l所截,分别得到了∠1,∠2,∠3和∠4.请根据这些信息,写出几个“a∥b”的充分条件和必要条件. 解 “a∥b”的充分条件:∠1=∠2或∠1=∠4或∠1+∠3=180°; “a∥b”的必要条件:∠1=∠2或∠1=∠4或∠1+∠3=180°. 知识点3　充要条件 1.一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p⇔q. 2.p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”. 3.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件. 名师点睛 设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B. 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p与q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要的条件 p,q的关系 p⇒q,且q 不能推出p q⇒p,且p 不能推出q p⇔q p不能推出q,且q不能推出p 集合 A⫋B B⫋A A=B A不包含于B且B不包含于A         命题 真假 “若p,则q”是真命题,且“若q,则p”是假命题 “若p,则q”是假命题,且“若q,则p”是真命题 “若p,则q”是真命题,且“若q,则p”是真命题 “若p,则q”是假命题,且“若q,则p”是假命题 思考辨析 1.判断p是q的什么条件时,有哪些可能情况?  提示 (1)如果p⇒q,且q不能推出p,则称p是q的充分不必要条件; (2)如果p不能推出q,且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件; (3)如果p⇒q,且q⇒p,则称p是q的充要条件; (4)如果p不能推出q,且q不能推出p,则称p是q的既不充分也不必要的条件. 2.若p是q的充分条件,p是唯一的吗?q是唯一的吗?  提示 不一定唯一,凡是能使结论q成立的条件都是它的充分条件,如“x>2” “x>5”“x>10”等都是x>1的充分条件;凡是能由条件p推出的结论都是它的必要条件,如“同位角相等”“内错角相等”“同旁同角互补”等都是“两直线平行”的必要条件. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)“x=0”是“(2x-1)x=0”的充分不必要条件.(　　) (2)若p是q的充要条件,则条件p和q是两个相互等价的条件.(　　) √ √ 2.已知A,B,C是△ABC的三个内角,则“A+C=2B”是“B=60°”的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 3.[人教A版教材习题]分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. 解 “两个三角形全等”的充要条件如下: ①三边对应相等;②两边及其夹角对应相等;③两角及其夹边对应相等;④两角及一角的对边对应相等. “两个三角形相似”的充要条件如下: ①三个内角对应相等(或两个内角对应相等);②三边对应成比例;③两边对应成比例且夹角相等. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　必要条件与充分条件的判断 角度1必要条件的判断 【例1-1】 指出下列哪些命题中q是p的必要条件? (1)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等; (2)p:A⊆B,q:A∩B=A; (3)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5. 解 (1)因为矩形的对角线相等,即p⇒q,所以q是p的必要条件. (2)因为p⇒q,所以q是p的必要条件. (3)因为p推不出q,所以q不是p的必要条件. 规律方法　必要条件的两种判断方法 (1)定义法: (2)命题判断方法: 如果命题:“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件; 如果命题:“若p,则q”是假命题,则q不是p的必要条件. 变式训练1下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若|x|=|y|,则x=y; (2)若△ABC是直角三角形,则△ABC是等腰三角形; (3)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形.   解 (1)若|x|=|y|,则x=y或x=-y,因此p推不出q,所以q不是p的必要条件. (2)直角三角形不一定是等腰三角形,因此p推不出q,所以q不是p的必要条件. (3)等边三角形一定是等腰三角形,所以p⇒q,所以q是p的必要条件. 角度2充分条件的判断 【例1-2】 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若a∈Q,则a∈R; (2)在△ABC中,若∠A>∠B,则BC>AC; (3)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0. 解 (1)由于Q⊆R,所以p⇒q,所以p是q的充分条件. (2)由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,则BC>AC,因此p⇒q,所以p是q的充分条件. (3)因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p⇒q,所以p是q的充分条件. 规律方法　充分条件的两种判断方法 (1)定义法: (2)命题判断方法: 如果命题:“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件; 如果命题:“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件. 变式训练2下列命题中,p是q的充分条件的是　　　　　　　.(填序号)  ①p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0; ②p:a是自然数,q:a是正整数; ③p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根. ③ 解析 ①∵(x-2)(x-3)=0, ∴x=2或x=3,不能推出x-2=0. ∴p不是q的充分条件. ②0是自然数,但是0不是正整数, ∴p推不出q, ∴p不是q的充分条件. ③∵m<-2,∴1+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根, ∴p是q的充分条件. 角度3充要条件的判断 【例1—3】 指出p是q的什么条件(充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件). (1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除; (2)p:x>1,q:x2>1; (3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形; (4)p:|ab|=ab,q:ab>0. 解 (1)∵p⇒q,q不能推出p,∴p是q的充分不必要条件. (2)∵p⇒q,q不能推出p,∴p是q的充分不必要条件. (3)∵p不能推出q,q⇒p,∴p是q的必要不充分条件. (4)∵当ab=0时,|ab|=ab,∴“|ab|=ab”不能推出“ab>0”,即p不能推出q.又当ab>0时,有|ab|=ab,即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件. 规律方法　判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法:直接判断命题“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法:即利用集合之间的包含关系判断. (3)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,例如由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn;充要条件也有传递性. 变式训练3指出下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”). (1)p:-1≤x≤5,q:x≥-1且x≤5; (2)p:x+2≠y,q:(x+2)2≠y2; (3)a是自然数;q:a是正数. 解 (1)∵-1≤x≤5⇔x≥-1且x≤5, ∴p是q的充要条件. (2)由q:(x+2)2≠y2,得x+2≠y,且x+2≠-y,故q⇒p, 又当x+2=-y≠y时,(x+2)2=y2,故p不能推出q, 故p是q的必要不充分条件. (3)0是自然数,但0不是正数,故p不能推出q;又 是正数,但 不是自然数,故q不能推出p,故p是q的既不充分也不必要条件. 探究点二　必要条件、充分条件、充要条件的探求与应用 【例2】 (1)不等式1- >0成立的充分不必要条件是(　　) A.x>1 B.x>-1 C.x<-1或0<x<1 D.-1<x<0或x>0 A 解析由1- >0可得 <1,解得x>1或x<0,结合四个选项可得其成立的充分不必要条件是x>1. (2)已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解 因为p是q的必要不充分条件, 所以{x|1-m≤x≤1+m}⫋{x|-2≤x≤10}, 又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. (3)已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个正实数根的充要条件. 规律方法　1.探究一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分条件时,往往可以先找到其成立的充要条件,然后通过对充要条件的范围放大或缩小,得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件. 2.充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题. (2)方法:先等价转化,再利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解. 变式训练4(1)1<2x+2<8的一个必要不充分条件是(　　) B ★(2)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件是(　　) A.m> B.m< C.m<1 D.m>1 A 解析 ∵不等式x2-x+m>0在R上恒成立, ∴Δ=1-4m<0,解得m> 又∵m> 时,Δ=1-4m<0,∴“m> ”是“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件. ★(3)已知条件p:x2+x-6=0,条件q:mx+1=0,且p是q的必要条件,则实数m的取值集合是　　　　　.  解析 令A={x|x2+x-6=0}={-3,2},B={x|mx+1=0}, ∵p是q的必要条件,∴B⊆A.∴B=⌀,或{-3},{2}. 若B=⌀,则m=0; 本节要点归纳 1.知识清单: (1)必要条件、充分条件的概念; (2)必要性、充分性的判断; (3)必要条件与性质定理、充分条件与判定定理的关系; (4)充要条件的概念、判断和证明; (5)必要条件、充分条件的应用. 2.方法归纳:反例法,等价转化法. 3.常见误区:必要条件、充分条件不唯一;求参数范围能否取到端点值;不能正确理解“倒装”的命题;充要条件中的条件和结论辨别不清. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.若p是q的充分不必要条件,则q是p的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 B 解析 因为p是q的充分不必要条件,所以p⇒q,q推不出p,所以q是p的必要不充分条件. 6 1 2 3 4 5 2.“两条直线都和第三条直线平行”是“这两条直线互相平行”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析 由两条直线都和第三条直线平行可得这两条直线互相平行,但由两条直线相互平行不能得出这两条直线都和第三条直线平行.故选A. 6 1 2 3 4 5 6 3.(多选题)在下列各选项中,p是q的充要条件的是(　　) A.p:a=b,q:|a|=|b| B.p:A⊆B,q:A∩B=A C.p:|x|+|y|=0,q:x=y=0 D.p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数 BC 1 2 3 4 5 4.已知a,b是实数,则“a>0,且b>0”是“a+b>0,且ab>0”的　　　　　条件.  充要 解析 a>0,且b>0⇒a+b>0,且ab>0;a+b>0,且ab>0⇒a>0,且b>0,故为充要条件. 6 1 2 3 4 5 5.写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件: 充要条件①　 　 　 　;  充要条件②　 　 　 .  (写出你认为正确的两个充要条件) 两组对边分别平行 一组对边平行且相等 6 6.[2024陕西宝鸡高一期末]已知p:x<-2或x>3,q:4x+m<0,若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 {m|m≥8} 1 故有解得m≤3. 解 方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个正实数根等价于解得k,且k≠0,以上过程每一步都是等价的,因此所求充要条件为k,且k≠0. A.-<x<3 B.-1<x<6 C.-<x<0 D.-3<x< 解析 求解不等式1<2x+2<8可得-<x<3,结合所给的选项可知它的一个必要不充分条件是-1<x<6. {0,,-} 若B={-3},则-3m+1=0,解得m=; 若B={2},则2m+1=0,解得m=- 综上,m的取值集合是{-,0,}. 解析 设A={x|x<-2或x>3},B={x|4x+m<0}={x|x<-}.因为p是q的必要不充分条件,所以B⫋A,所以--2,即m≥8,所以实数m的取值范围为{m|m≥8}. $$