专题2.1 不等式的基本性质、区间（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

专题2.1 不等式的基本性质、区间 【考纲要求】 1. 会比较两个实数的大小. 2. 通过运用不等式的有关内容提高逻辑思辨能力. 3. 会用不等式的性质解决有关实际问题，会用区间表示结果. 【考向预测】 1.比较实数的大小 2.运用不等式的性质判断大小关系 3.区间的表示 1．两个实数大小的比较 (1)a＞b⇔a－b＞0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a＜b⇔a－b＜0. 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (3)不等式加等量：a>b⇔a＋c > b＋c； (4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒ac>bc，不等式乘负量：a>b，c<0⇒ac<bc； (5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d； (7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒＞； (9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒＜； (10)不等式的乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N且n≥2)； (11)不等式的开方：a>b>0⇒>(n∈N且n≥2)． 注意： 1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减； 2.(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除． 2．区间 (1)设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} 考点一：实数比较大小 【例1】求证：. 【变式探究】已知则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 【例2】若，则____________（在空格处填入“>”“<”） 【变式探究】与的大小关系为 . 【例3】若，则A、B的大小关系是（    ） A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B 【变式探究】设，，，则P、Q的大小为（       ） A． B． C． D． 比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系． 考点二：用不等式的性质比较大小 【例1】若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【例2】已知，则下列大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】已知 ，那么 的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【例3】下列不等式中正确的是（    ） A．若且，则； B．若，则 C．若，则； D．若，则. 【变式探究】下列命题是正确序号 . ①若，则；     ②若，则； ③若，则；  ④若，则 运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac与bc的大小关系应注意从c＞0，c＝0，c＜0三个方面讨论． 考点三：不等式性质的应用 【例1】已知，则的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【变式探究】已知，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例2】下列命题是正确序号 . ①若，则；     ②若，则； ③若，则；  ④若，则 【变式探究】若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【例3】已知，，求的范围． 【变式探究】已知,,求的取值范围． 利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围． 考点四：区间 【例1】已知集合，则集合 . 【变式探究】全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知集合，，若是假命题，则实数a的取值范围是 ． 【变式探究】已知，且，则的取值范围为 . 【例3】已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 对于用区间表示的集合，要清楚的知道所表示的范围，可以在数轴上把表示的范围画出来，这样就可以看的很清楚，不容易出错。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 不等式的基本性质、区间 【考纲要求】 1. 会比较两个实数的大小. 2. 通过运用不等式的有关内容提高逻辑思辨能力. 3. 会用不等式的性质解决有关实际问题，会用区间表示结果. 【考向预测】 1.比较实数的大小 2.运用不等式的性质判断大小关系 3.区间的表示 1．两个实数大小的比较 (1)a＞b⇔a－b＞0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a＜b⇔a－b＜0. 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (3)不等式加等量：a>b⇔a＋c > b＋c； (4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒ac>bc，不等式乘负量：a>b，c<0⇒ac<bc； (5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d； (7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒＞； (9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒＜； (10)不等式的乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N且n≥2)； (11)不等式的开方：a>b>0⇒>(n∈N且n≥2)． 注意： 1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减； 2.(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除． 2．区间 (1)设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} 考点一：实数比较大小 【例1】求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为， 故，又， 故. 【变式探究】已知则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【解析】由题得， 故选：B. 【例2】若，则____________（在空格处填入“>”“<”） 【答案】 【解析】因为，可得， 所以，所以， 故答案为：. 【变式探究】与的大小关系为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 故答案为：． 【例3】若，则A、B的大小关系是（    ） A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B 【答案】B 【解析】，， 故选：B. 【变式探究】设，，，则P、Q的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，所以， 故选：A. 比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系． 考点二：用不等式的性质比较大小 【例1】若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，由，则，故C正确； 对于D，当时，，则，故D错误， 故选：C. 【变式探究】若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确； 对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误； 对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误； 对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误. 故选：A. 【例2】已知，则下列大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为正数，为负数，所以，， ，所以. 故选：C. 【变式探究】已知 ，那么 的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，． ，， ， 故选：B． 【例3】下列不等式中正确的是（    ） A．若且，则； B．若，则 C．若，则； D．若，则. 【答案】A 【解析】且，则，A正确； 当时，，B错误； 若，则，，即，C错误； 若，满足，但，D错误， 故选：A． 【变式探究】下列命题是正确序号 . ①若，则；     ②若，则； ③若，则；  ④若，则 【答案】② 【解析】对于①：不等式，若，解得，若，解得，故①错误； 对于②：若，显然，则，所以，故②正确； 对于③：当，，，时满足，，但是，，显然，故③错误； 对于④：因为，当时，故④错误；故答案为：②. 运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac与bc的大小关系应注意从c＞0，c＝0，c＜0三个方面讨论． 考点三：不等式性质的应用 【例1】已知，则的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故，，得， 故选：C. 【变式探究】已知，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，则，所以， 故选：B. 【例2】下列命题是正确序号 . ①若，则；     ②若，则； ③若，则；  ④若，则 【答案】② 【解析】对于①：不等式，若，解得，若，解得，故①错误； 对于②：若，显然，则，所以，故②正确； 对于③：当，，，时满足，，但是，，显然，故③错误； 对于④：因为，当时，故④错误； 故答案为：②. 【变式探究】若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A. 【例3】已知，，求的范围． 【答案】． 【解析】解：， ， ． 【变式探究】已知,,求的取值范围． 【答案】 【解析】解:,， 又，,， 即的取值范围是． 利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围． 考点四：区间 【例1】已知集合，则集合 . 【答案】 【解析】因为，所以， 故答案为：. 【变式探究】全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，∴， ∵，∴， 故选：D． 【例2】已知集合，，若是假命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若是真命题，则， ∴当是假命题时，， 故答案为：. 【变式探究】已知，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】，又， 如图，结合数轴分析知，故的取值范围为. 【例3】已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，，解得， 综上，实数的取值范围是， 故选：D. 【变式探究】已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；；(2) 【解析】解：(1)若，则，， 则，. (2)若，则， 因为，， 所以，解得. 对于用区间表示的集合，要清楚的知道所表示的范围，可以在数轴上把表示的范围画出来，这样就可以看的很清楚，不容易出错。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$