专题2.2 一元二次不等式（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

专题2.2 一元二次不等式 【考纲要求】 1. 熟练掌握一元一次不等式及一元二次不等式的解法. 2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系. 3. 会利用一元二次不等式来解决实际问题. 【考向预测】 1.一元一次不等式的解法 2.一元二次不等式的解法 3.利用一元二次不等式求参数 1．解不等式的有关理论 （1）若两个不等式的解集相同，则称它们是 同解不等式 ； （2）一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形； （3）解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 a＝0，b＜0 ． 3．一元二次不等式及其解法 （1）我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式． （2）使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． （3）若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． （4）一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 考点一：一元一次不等式的解法 【例1】解不等式，并把解集在数轴上表示出来 . 【变式探究】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. 【例2】已知不等式组的解集是，则= . 【变式探究】不等式组的整数解是 . 【例3】若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】若不等式的最小整数解是方程的解，则a的值为（　　） A． B． C． D． 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为：；当a＜0时，解集为：．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是： a＝0，b＜0 考点二：一元二次不等式的解法 【例1】不等式的解集为（       ） A． B．（－4，1） C．（－1，4） D． 【变式探究】不等式的解集为（     ） A．R B． C． D． 【例2】不等式的解集是 . 【变式探究】不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【例3】关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】不等式的解集为 ． 解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集． 容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． 考点三：利用一元二次不等式求参数及范围 【例1】已知关于的不等式的解集是，则的值是（       ） A． B．2 C．22 D． 【变式探究】若不等式的解集为，则的值为( ) A.5 B.-5 C.6 D.-6 【例2】若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为 . 【变式探究】已知关于x的不等式的解集为或，则b的值为 . 【例3】若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为 . 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负． 考点四：一元二次不等式的应用 【例1】某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为（ ） A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间 【变式探究】某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为(　　) A．{t|15≤t≤20} B．{t|10≤t≤15} C．{t|10<t<15} D．{t|0<t≤10} 【例2】关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【例3】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【变式探究】不等式的解集为，则的取值范围是 . 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定，受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 一元二次不等式 【考纲要求】 1. 熟练掌握一元一次不等式及一元二次不等式的解法. 2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系. 3. 会利用一元二次不等式来解决实际问题. 【考向预测】 1.一元一次不等式的解法 2.一元二次不等式的解法 3.利用一元二次不等式求参数 1．解不等式的有关理论 （1）若两个不等式的解集相同，则称它们是 同解不等式 ； （2）一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形； （3）解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 a＝0，b＜0 ． 3．一元二次不等式及其解法 （1）我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式． （2）使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． （3）若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． （4）一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 考点一：一元一次不等式的解法 【例1】解不等式，并把解集在数轴上表示出来 . 【答案】 【解析】解：去括号得：，，，， 故不等式的解集为：. 把解集在数轴上表示出来如图所示： 【变式探究】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. 【答案】 【解析】解：，解不等式①得：，解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来如图所示： 【例2】已知不等式组的解集是，则= . 【答案】4 【解析】由的解集是可知，，， 则， 故答案为：4． 【变式探究】不等式组的整数解是 . 【答案】 【解析】，由①得：，由②得：， ∴不等式组的解集为：，∴不等式组的整数解为：， 故答案为：． 【例3】若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解不等式组为， ∵该不等式组无解，∴，解得， 故选：B． 【变式探究】若不等式的最小整数解是方程的解，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵解不等式得，， ∴其最小整数解为，∴，解得． 故选：A． 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为：；当a＜0时，解集为：．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是： a＝0，b＜0 考点二：一元二次不等式的解法 【例1】不等式的解集为（       ） A． B．（－4，1） C．（－1，4） D． 【答案】C 【解析】因为不等式可化为:， 解得:，所以解集为:， 故选：C. 【变式探究】不等式的解集为（     ） A．R B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，得， 所以不等式的解集为：. 故选：B． 【例2】不等式的解集是 . 【答案】 【解析】不等式可化为，则解集为， 故答案为：. 【变式探究】不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】原式化为，即， 故不等式的解集为， 故选：D． 【例3】关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 因为，所以不等式的解集为， 故选：A. 【变式探究】不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】不等式可化为，∴ 不等式的解集是， 故答案为：. 解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集． 容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． 考点三：利用一元二次不等式求参数及范围 【例1】已知关于的不等式的解集是，则的值是（       ） A． B．2 C．22 D． 【答案】C 【解析】由题意得：2与3是方程的两个根， 故，，所以， 故选：C. 【变式探究】若不等式的解集为，则的值为( ) A.5 B.-5 C.6 D.-6 【答案】B 【解析】由题意知-1，是关于x的方程的两个根，且， 解得， 故选：B. 【例2】若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为 . 【答案】3 【解析】由题可知，－7和－1是二次方程的两个根， 故.经检验满足题意， 故答案为：3. 【变式探究】已知关于x的不等式的解集为或，则b的值为 . 【答案】2 【解析】因为关于x的不等式的解集为或， 所以1和是方程的两个根， 所以，解得， 故答案为：2. 【例3】若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于关于的一元二次不等式的解集为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 【变式探究】若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，， 故答案为：． 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负． 考点四：一元二次不等式的应用 【例1】某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为（ ） A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间 【答案】C 【解析】设销售价定为每件元,利润为，则， 依题意,得，即, 解得，所以每件销售价应定为12元到16元之间， 故选：C. 【变式探究】某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为(　　) A．{t|15≤t≤20} B．{t|10≤t≤15} C．{t|10<t<15} D．{t|0<t≤10} 【答案】B　 【解析】由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15. 故选：B. 【例2】关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的解集是，，得， 则不等式，即，解得：， 所以不等式的解集是：. 故选：D. 【变式探究】若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于x的不等式的解集是，则有，即，， 代入不等式中，得，化为，解得， 所求不等式的解集为，故选：C． 【例3】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，得，所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式探究】不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】①当时，不等式可化为1＞0，此时不等式的解集为，符合题意； ②当时，要使得不等式的解集为，则满足，解得； 综上可得，实数的取值范围是， 故答案为：. 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定，受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$