第03讲 勾股定理-2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优

苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第03讲 勾股定理 板块一、学习目标 1. 掌握勾股定理，能利用勾股定理求直角三角形的边长； 2. 能利用拼图法验证勾股定理； 3. 知道勾股数的概念，会判断3个数是不是勾股数； 4. 掌握勾股定理的逆定理，并能利用该定理判定一个三角形为直角三角形； 5. 能利用勾股定理和勾股定理的逆定理解决生活中的实际问题； 板块二、思维导图 板块三、知识详解 知识点1：勾股定理 文字语言 符号语言 图形语言 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 1.勾股定理的证明方法： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积两种不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 2.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③可运用勾股定理解决一些实际问题. 知识点2：勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理内容： 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2. 勾股定理的逆定理与勾股定理的关系： 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 直角三角形ABC 结论 直角三角形ABC 关系 知识点3：勾股数 1.能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数； 2.记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等； 3.用含字母的代数式表示组勾股数： （为正整数）； 　（为正整数） （，为正整数）. 知识点4：利用勾股定理解决实际问题的步骤 1. 将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； 2. 确定所求线段所在的直角三角形； 3. 根据勾股定理，列方程求解。 板块四 典型例题 题型1 利用勾股定理解决折叠问题 如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 题型2 利用勾股定理解决梯子问题 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米． (1)求梯子的长； (2)当梯子的顶端下滑米时，求梯子的底端到点的距离． 题型3 利用勾股定理计算线段长度问题 如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，求线段的长． 题型4 利用勾股定理解决三条线段数量关系问题 在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 题型5 利用勾股定理逆定理解决多边形面积问题 如图所示，四边形中，，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 题型6 关于勾股定理的证明（弦图）问题 在中，，，，．将绕点O依次旋转、和，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用这个图形证明勾股定理； (2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为________． 板块五 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．下列各组数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，13 2．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 第2题 第3题 第5题 3．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，用，表示直角三角形的两直角边，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（    ） A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北 7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，下列三角形的顶点都在格点上，则下列三角形中是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题） 9．在中，，，高，则的面积为 10．如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、已知，， ． 第10题 第11题 11．如图，三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则 ． 12．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 13．已知为的三边，且满足，则为 三角形． 14．如图，在中，，，边上的中线，则的面积为 ． 第14题 第15题 第16题 15．如图，一根长为米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端与墙根之间的距离为米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动米至处，则梯子的顶端将沿墙向下移动 ． 16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是 ． 三、解答题（本大题共4小题） 17．把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． (1)求证：长方形各内角均为； (2)若，，求的长． 18．在一棵树的米高的处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树米的池塘的处．另一只爬到树顶后直接跃到处．距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？    19．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 20．如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第03讲 勾股定理 板块一、学习目标 1. 掌握勾股定理，能利用勾股定理求直角三角形的边长； 2. 能利用拼图法验证勾股定理； 3. 知道勾股数的概念，会判断3个数是不是勾股数； 4. 掌握勾股定理的逆定理，并能利用该定理判定一个三角形为直角三角形； 5. 能利用勾股定理和勾股定理的逆定理解决生活中的实际问题； 板块二、思维导图 板块三、知识详解 知识点1：勾股定理 文字语言 符号语言 图形语言 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 1.勾股定理的证明方法： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积两种不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 2.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③可运用勾股定理解决一些实际问题. 知识点2：勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理内容： 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2. 勾股定理的逆定理与勾股定理的关系： 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 直角三角形ABC 结论 直角三角形ABC 关系 知识点3：勾股数 1.能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数； 2.记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等； 3.用含字母的代数式表示组勾股数： （为正整数）； 　（为正整数） （，为正整数）. 知识点4：利用勾股定理解决实际问题的步骤 1. 将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； 2. 确定所求线段所在的直角三角形； 3. 根据勾股定理，列方程求解。 板块四 典型例题 题型1 利用勾股定理解决折叠问题 如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)6(2)5 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质是解答的关键． （1）根据长方形的性质和折叠性质得到，，在中，利用勾股定理求解即可； （2）设，则在中，，，，由勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理得，则， 解得， 故． 题型2 利用勾股定理解决梯子问题 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米． (1)求梯子的长； (2)当梯子的顶端下滑米时，求梯子的底端到点的距离． 【答案】(1)(2)米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用； （1）由题意得米，米，根据勾股定理可求出梯子的长； （2）由题意得此时米，米，米，由勾股定理可得出，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解： 米，米，， 根据勾股定理可得：（米）． 梯子的长为米； （2）如图，由题意可知：米． 米， 米 米，米，， 根据勾股定理可得：（米） 即梯子的底端到点的距离为米． 题型3 利用勾股定理计算线段长度问题 如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，折叠得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵为的中点， ∴， 设，则：， ∵， ∴由勾股定理，得：， 解得：； ∴． 题型4 利用勾股定理解决三条线段数量关系问题 在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形综合问题以及勾股定理，证是解题关键． （1）证得，结合、可得，即可求证； （2）由得，结合，得，根据勾股定理即可求解. 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型5 利用勾股定理逆定理解决多边形面积问题 如图所示，四边形中，，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理是关键； （1）由勾股定理求得的长，由勾股定理逆定理可判断即可； （2）由即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：∵， ∴． 题型6 关于勾股定理的证明（弦图）问题 在中，，，，．将绕点O依次旋转、和，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用这个图形证明勾股定理； (2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为________． 【答案】(1)见解析 (2)52 【分析】（1）从整体和部分分别表示正方形的面积即可证明； （2）设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，则有，，利于整体思想可求出斜边c的长，从而解决问题． 【详解】（1）证明：∵正方形的边长为c， ∴正方形的面积等于， ∵正方形的面积还可以看成是由4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成的， ∴正方形的面积为：， ∴； （2）解：设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c， 根据题意得，，， 又∵ ∴， 故徽标的外围周长为：． 故答案为：52． 板块五 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．下列各组数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理数定义及计算，根据勾股定理数定义，逐项验证即可得到答案，熟记勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由，该组数不是勾股数，不符合题意； B、由勾股数定义可知，各数必须是正整数，0.5，1.2，1.3不是勾股数，不符合题意； C、由，该组数不是勾股数，不符合题意； D、由，该组数是勾股数，符合题意； 故选：D． 2．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了对勾股定理的理解能力，全等三角形的判定与性质，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键． 根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到的面积的面积的面积． 【详解】解：如图， ，， ， 在和中， ， ， ， 根据勾股定理得，得． 的面积的面积的面积． 故选：C． 3．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】选项A：如图， 大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得， 故选项A能得出勾股定理； 选项B：如图， 由图可得：， 整理得， 故选项B能得出勾股定理； 选项C：如图， 证明：由图可知 ，，正方形边长为， 即． 故选项C能得出勾股定理； 选项D不能得出勾股定理； 故选：D 5．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，用，表示直角三角形的两直角边，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，以及完全平方公式和几何图形面积的结合，正确掌握平方差公式，以及完全平方公式的特点是解题的关键，根据题意由勾股定理可得，，再利用完全平分公式，平方差公式，以及其公式变形求解，即可解题． 【详解】解：由题和勾股定理知，，， 故A项错误，不符合题意； ， ，解得， 故B项正确，符合题意； 有， 故C项错误，不符合题意； ，，表示直角三角形的两直角边， ， ， 故D项错误，不符合题意； 故选：B． 6．小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（    ） A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理应用，作出图形是解题的关键．根据题意画出图形，利用勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：如图，， ， ， 故小数同学向东走5米后所走的方向是向南或向北， 故选D． 7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，下列三角形的顶点都在格点上，则下列三角形中是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】A、，，则三角形不是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； B、，，，，则三角形不是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； C、，，，三角形是直角三角形，故该选项正确，符合题意； D、，，，则三角形不是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 8．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等，根据题意先画出几何体的侧面展开图，利用勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作点关于右侧管口的对称点，连接，    由题意得：，，， ∴， ∵钢管横截面的周长为， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是． 故选：． 二、填空题（本大题共8小题） 9．在中，，，高，则的面积为 【答案】66或126/126或66 【分析】此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的数学思想，灵活运用勾股定理是解本题的关键． 需要分两种情况，①为锐角三角形，②为钝角三角形，分别求出底的长，再代入面积公式即可； 【详解】解：分两种情况考虑： ①当为锐角三角形时，如图1所示， ， ， 在中，， 根据勾股定理得：， 在中，， 根据勾股定理得：， ， 则； ②当为钝角三角形时，如图2所示， ∵， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴， 则； 综上，的面积为66或126， 故答案为：66或126． 10．如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、已知，， ． 【答案】100 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形面积的计算等知识点,熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面积关系是解题的关键． 由勾股定理得出得出，然后代入相关数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为：100． 11．如图，三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质， 熟练利用勾股定理列方程． 根据翻折的性质得到得，， 即可得 设， 则， 可得即可得到结果． 【详解】解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ∴， ， ∵折叠纸片，使点与点重合， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 设， 则， ， 解得 ， 故答案为：． 12．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 【答案】 【分析】 本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 13．已知为的三边，且满足，则为 三角形． 【答案】直角或等腰 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，先把所给等式因式分解得到，进而得到，据此利用勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或 即或 ∴为直角三角形或等腰三角形， 故答案为：直角或等腰． 14．如图，在中，，，边上的中线，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】 本题主要考查勾股定理逆定理，三角形全等的判定和性质，延长到点E，使，连接，证明，得，再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，得，最后根据中线的意义可得出． 【详解】解：延长到点E，使，连接，如图， ∵点为的中点， ∴ 又 ∴， ∴ 又， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 15．如图，一根长为米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端与墙根之间的距离为米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动米至处，则梯子的顶端将沿墙向下移动 ． 【答案】米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，用移动前梯子顶端到地面的距离减去移动后梯子顶端到地面的距离即可得到答案． 【详解】解：梯子的顶端沿墙向下移动的距离为（米） 故答案为：米 16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是 ． 【答案】14 【分析】根据勾股定理的几何意义，可得的面积为A、B的面积和，的面积为C、D的面积和，E的面积为F、G的面积之和． 【详解】由题意可知，的面积为2，的面积为3，的面积为5，的面积为4， ∴的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为5， 故的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为9， 同理可得：的面积为：． 故答案为：14． 三、解答题（本大题共4小题） 17．把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． (1)求证：长方形各内角均为； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）由折叠的性质知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）勾股定理求得，由（）知，根据得出，即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质知，，． 四边形是长方形， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是长方形， ，， ， 由（）知， ， ， ， ∴． 18．在一棵树的米高的处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树米的池塘的处．另一只爬到树顶后直接跃到处．距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？    【答案】这棵树高米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，由题意知，，，设，则，，再由勾股定理即可求解，理解题意，构造直角三角形是解题关键． 【详解】由题意知，，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 答：这棵树高米． 19．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合标准，见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理得：，由，可得，则是直角三角形，，即，然后作答即可． 【详解】解：符合标准 在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，，即， ∴该车符合标准． 20．如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问正确作出辅助线是关键． （1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，得垂直平分，则，再利用即可证明； （2）在上取一点H，使，连接，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：在上取一点H，使，连接，    ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$