第五章 三角函数（A卷·考点梳理卷）-【中职专用】2024-2025学年高一数学同步单元测试AB卷（人教版2021·基础模块上册）

第五章 三角函数 考点一 角度与弧度的互化 1 考点二 终边相同的角 2 考点三 弧长与扇形面积的公式 3 考点四 由终边或终边上的点求三角函数值 4 考点五 由三角函数值求终边上的点或参数 5 考点六 单位圆与三角函数线 6 考点七 三角函数值在各象限的符号 7 考点八 同角三角函数的基本关系式 7 考点九 已知，求关于和的齐次式的值 8 考点十 应用同角三角函数的基本关,系式化简 10 考点十一 利用，，之间的关系求值 11 考点十二 利用诱导公式给角（式）求值问题 11 考点十三 利用诱导公式化简三角函数 12 考点十四 诱导公式与同角函数基本关系的应用 13 考点十五 用“五点法”作三角函数的图象 14 考点十六 三角函数的性质及应用 14 考点十七 解三角函数不等式 14 考点十八 由三角函数值求出指定范围内的角 14 考点十九 换元法求值域或最大（小）值 14 考点二十 正弦型函数图象与性质 14 考点二十一 三角函数图象变换问题 15 考点一 角度与弧度的互化 1．将下列角度化成弧度或弧度化成角度. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】见解析 【分析】角度与弧度间的互相转化，关系式是关键，弧度，弧度. 【详解】 ； ； ； . 2．将下列角度化成弧度或弧度化成角度. ； ； ； . 【答案】见解析 【详解】 ； ； ； . 考点二 终边相同的角 3．在范围内找出与下列各角终边相同的角，指明是第几象限角，并写出终边相同角的集合. ； . 【答案】； 【分析】将各角表示为的形式，也就是将各角除以，得到的正余数即为角，商即为整数. 【详解】(1)因为是第一象限角， 所以是第一象限角，与它终边相同的角的集合是； (2)因为是第四象限角， 所以是第四象限角，与它终边相同的角的集合是. 4．与角终边相同的角的集合，表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】弧度制下终边相同角的集合表示：. 【详解】因为选项A、C中单位制不统一，B中漏掉了条件，所以正确答案为D. 故选：D 考点三 弧长与扇形面积的公式 5. 弧长为，圆心角为的扇形半径为 ，面积为 . 【答案】； 【分析】考查扇形的弧长和面积公式，扇形的弧长公式实质是弧度数计算公式的变形，扇形的面积公式与三角形的面积公式极为相似. 【解析】(解法一)因为，又因为， 所以， 所以该扇形半径为，面积为. (解法二)因为，又因为， 所以. 所以该扇形半径为，面积为. 故答案为：； 6. 已知扇形的圆心角是，半径为，求扇形的弧长及面积. 【答案】 【解析】(解法一)因为，又因为，所以 所以 (解法二)因为，又因为，所以 故答案为： 考点四 由终边或终边上的点求三角函数值 7. 已知角终边上一点，则 . 【答案】 【分析】(解法一：定义法)注意，要分和两种情况分别计算和. (解法二：赋值法)因为三角函数值是一个实数，这个实数的大小只与角所落的终边有关，而与点在终边上的位置无关，又因为，则令和分别计算. 【解析】(解法一：定义法)因为， 所以当时，， 则. 当时，， 则 所以 (解法二：赋值法)令时，则角终边过点， 此时， 则 令时，则角终边过点， 此时， 则 所以. 故答案为： 8. 已知为第四象限角终边上的一点，且其纵坐标，，求角的正弦、余弦、正切值. 【答案】，，. 【解析】由已知得为第四象限角，所以， 因为，所以， 所以，，. 考点五 由三角函数值求终边上的点或参数 9.若角的终边经过点，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】(解法一)由的定义可知，解得值.注意分式方程要验根. (解法二)由知，答案中只有B符合. 【解析】(解法一)由的定义可知，解得， 因为，所以角的终边应该在第二或第三象限，所以， 所以，答案为B. (解法二)因为，所以角的终边应该在第二或第三象限，所以， 答案中只有B符合 故选：B 10. 已知角的终边经过点，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，答案为B 故选B. 考点六 单位圆与三角函数线 11. 若角的终边过点，则角的终边与圆的交点坐标是 . 【答案】 【分析】角的终边与单位圆交点的坐标是，根据三角函数定义即可求出. 【解析】因为， 所以 又因为角的终边与单位圆交点的坐标是， 所以交点坐标为. 故答案为： 12. 若，则角的终边与圆的交点坐标是 . 【答案】 【解析】角的终边与单位圆交点的坐标是，所以交点坐标是. 故答案为： 考点七 三角函数值在各象限的符号 13. 若点在第二象限，则角是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】此类型的题目考查的知识点是三角函数值在各象限的符号，熟记符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦，口诀中叙述的均为正值. 【解析】因为点在第二象限，所以，， 若，则可能是第三或第四象限角或终边落在y轴的负半轴上； 若，则可能是第一或第四象限角或终边落在x 轴的正半轴上， 所以符合条件的角是第四象限角. 故选：D 14. 已知，则角是（ ） A．第一象限角 B．第一或三象限角 C．第二或四象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解析】因为，则与同号，答案为B. 故选：B 考点八 同角三角函数的基本关系式 15. 已知，且是第二象限角，求和. 【答案】；. 【分析】已知一个弦函数，利用平方关系式可以求出另一个弦函数；再利用商数关系式求出切函数. 【解析】因为，所以 又因为是第二象限角，所以，. 16. 已知，且是第三象限角，求和. 【答案】； 【分析】已知角的正切值，通过同角三角函数的两个基本关系式列方程组即可求解. 【解析】由同角三角函数的基本关系式可得， 将②变形为后代入①式，得， 因为是第三象限角，所以， 考点九 已知，求关于和的齐次式的值 17. 已知，求下列各式的值： ； . 【答案】见解析 【分析】(解法一)利用同角三角函数中商数关系的变形式：，将各式中的换成，即可得到结论； (解法二)将(1)的分子分母同时除以，(2)的分子分母同时除以，化成含的式子，从而达到求值的目的. 【解析】(解法一)因为，所以. ； (解法二) ； . 18. 已知，求下列各式的值. ； . 【答案】见解析 【解析】因为，即，所以， ； . 考点十 应用同角三角函数的基本关系式化简 19. 化简下列各式. ； (是第三象限角). 【答案】见解析 【分析】三角函数式化简技巧：(1)见切化弦，即把正切函数都化成正余弦函数，从而达到化繁为简的目的；(2)对于含有根号的，常把被开方式配成完全平方式，然后利用达到化简； (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造，以降低函数次数，进而达到化简的目的. 【解析】； (是第三象限角). 20. 角是钝角三角形中的最大角，则化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是钝角三角形中的最大角，所以，， 所以 故选：A 考点十一 利用，，之间的关系求值 21. 已知为第二象限角，且，求的值. 【答案】 【分析】本题考查了：，，三者之间的互相转化，解决此类问题常用到以下三角恒等式：；；通过以上三个式子，可以达到知一求二的目的. 【解析】因为，所以，即， 所以， 又因为为第二象限角，所以， 则 故答案为： 22. 已知为第三象限角，且，则 . 【答案】 【解析】因为， 又因为为第三象限角，所以， 所以 故答案为：. 考点十二 利用诱导公式给角（式）求值问题 23.求下列三角函数值. ； ； . 【答案】见解析 【分析】给角求值问题，利用诱导公式化简求值步骤：“负化正”→“大化小”→“小化锐”→“锐求值”. 【解析】 ； ； . 24. 求的值. 【答案】 【解析】 故答案为：. 考点十三 利用诱导公式化简三角函数 25. 化简： ； . 【答案】见解析 【分析】利用诱导公式化简三角函数的思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式. 【解析】(1)； (2) 26. 化简：. 【答案】 【解析】 故答案为： 考点十四 诱导公式与同角函数基本关系的应用 27. 已知，为第二象限角，则 . 【答案】 【分析】这是给值求值问题，解决办法是首先观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异与联系，然后利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式解决. 【解析】因为，所以， 又因为为第二象限角，所以， 所以. 故答案为： 28.已知，为第四象限角，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为为第四象限角，所以， 所以 故答案为： 考点十五 用“五点法”作三角函数的图象 29. 作函数的简图. 【答案】见解析 【分析】作正余弦函数图象，采用五点作图法.步骤：列表、描点、连线、标识. 【解析】列表： 描点画图并标识： 30.作函数的简图. 【答案】见解析 【解析】 考点十六 三角函数的性质及应用 31.求函数的最大值、最小值、最小正周期及取得最大值、最小值时的取值集合. 【答案】见解析 【分析】求函数的最值可以通过看图象，也可以利用正余弦函数的性质求得. 【解析】当时，函数的最大值为3，此时； 当时，函数的最小值为1，此时； 函数的最小正周期. 32. 下列关于函数的奇偶性，判断正确的是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】A 【分析】本题考查函数奇偶性的判断.方法一：定义法；方法二：图象法. 【解析】先确定函数的定义域为，关于原点对称. 由诱导公式知， 而， 所以函数是奇函数. 故选：A 考点十七 解三角函数不等式 33.函数的定义域是 . 【答案】 【分析】函数的定义域是指使函数每一部分都有意义的的取值范围.求三角不等式，图象是关键，养成随手画草图的习惯，培养数形结合的能力；或用三角函数值在各象限的符号进行确定. 【解析】(解法一)要使函数有意义，必须使， 由正弦函数图象可知，则； 由余弦函数图象可知，则， 所以函数的定义域为. (解法二)且，由三角函数值在各象限的符号知为第二象限角及的正半轴和的负半轴，即. 故答案为： 34.函数的定义域是 . 【答案】且 【解析】要使函数有意义，必须满足，且， 由知，； 由知，； 所以函数定义域为且. 故答案为：且 考点十八 由三角函数值求出指定范围内的角 35.已知，则角 . 【答案】或 【分析】由三角函数值求出指定范围内的角的步骤：第一步，定锐角；第二步，根据函数值的正负确定角所在的象限；第三步，写出角在内符合条件的角；第四步，若所求角，则利用终边相同的角写出结果. 【解析】因为，所以锐角， 又因为，所以角为第一或第二象限角， 所以在内，或，即或 故答案为：或 36. 已知，则角 . 【答案】或 【解析】因为，所以锐角， 又因为，所以角为第二或第三象限角， 所以在内，或即或， 又因为，所以符合题意的角或 故答案为：或 考点十九 换元法求值域或最大（小）值 37. 求函数的最大值、最小值及取得最值时的集合. 【答案】见解析 【分析】将化成，函数式就变成了有关的二次函数，利用换元法，转化成在给定区间上的二次函数求最值问题. 【解析】因为， 所以令， 则函数为， 对称轴方程，图象开口向下， 所以当，即时，，此时； 当，即时，，此时. 38. 求函数的最大值、最小值及取得最值时的的集合. 【答案】见解析 【解析】由题意， 令，则， 所以当，即时，，此时 当，即时，，此时 考点二十 正弦型函数图象与性质 39. 已知函数. (1)用五点法作出它在一个周期内的简图； (2)求函数的最大值、最小值、最小正周期及取得最大值和最小值时的集合. 【答案】见解析 【分析】用五点法作的简图，主要是通过变量代换，设，由取，，，，来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后画出图象. 【解析】(1)用五点法作出在一个周期内的图象，列表： 描点画图并标识： (2)当时，即， 解得时，函数取得最大值为； 当时，即， 解得时，函数取得最大小值为； 函数的最小正周期. 40. 已知函数，函数的部分图象如图所示.求： (1)函数的最小正周期及的值； (2)函数的单调递增区间. 【答案】见解析 【分析】本题考查的是正弦型函数的图象和性质.(1)求周期公式：；(2)欲求，常用的方法为代入法或五点法；(3)欲求正弦型函数的单调区间，采用变量代换法. 【解析】(1)函数的最小正周期， 因为函数的图象过点， 所以，即， 又因为，所以， 所以函数解析式为. (2)因为函数的单调递增区间是，， 所以，， 解得，， 所以函数的单调递增区间是，. 考点二十一 三角函数图象变换问题 41. 要得到函数，只需将函数的图象（ ）个单位即可. A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】C 【分析】函数可化为，平移是“左加右减”. 【解析】函数可化为，其是由函数的图象往左平移个单位得到的. 故选：C 42．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）个单位即可. A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】C 【解析】函数可化为，是由函数的图象往左平移个单位得到的. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 三角函数 考点一 角度与弧度的互化 1 考点二 终边相同的角 2 考点三 弧长与扇形面积的公式 2 考点四 由终边或终边上的点求三角函数值 2 考点五 由三角函数值求终边上的点或参数 3 考点六 单位圆与三角函数线 3 考点七 三角函数值在各象限的符号 3 考点八 同角三角函数的基本关系式 3 考点九 已知，求关于和的齐次式的值 4 考点十 应用同角三角函数的基本关,系式化简 4 考点十一 利用，，之间的关系求值 5 考点十二 利用诱导公式给角（式）求值问题 5 考点十三 利用诱导公式化简三角函数 5 考点十四 诱导公式与同角函数基本关系的应用 6 考点十五 用“五点法”作三角函数的图象 6 考点十六 三角函数的性质及应用 6 考点十七 解三角函数不等式 7 考点十八 由三角函数值求出指定范围内的角 7 考点十九 换元法求值域或最大（小）值 7 考点二十 正弦型函数图象与性质 7 考点二十一 三角函数图象变换问题 8 考点一 角度与弧度的互化 1．将下列角度化成弧度或弧度化成角度. (1)； (2)； (3)； (4). 2．将下列角度化成弧度或弧度化成角度. ； ； ； . 考点二 终边相同的角 3．在范围内找出与下列各角终边相同的角，指明是第几象限角，并写出终边相同角的集合. ； . 4．与角终边相同的角的集合，表示正确的是（ ） A． B． C． D． 考点三 弧长与扇形面积的公式 5. 弧长为，圆心角为的扇形半径为 ，面积为 . 6. 已知扇形的圆心角是，半径为，求扇形的弧长及面积. 考点四 由终边或终边上的点求三角函数值 7. 已知角终边上一点，则 . 8. 已知为第四象限角终边上的一点，且其纵坐标，，求角的正弦、余弦、正切值. 考点五 由三角函数值求终边上的点或参数 9.若角的终边经过点，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 10.已知角的终边经过点，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 考点六 单位圆与三角函数线 11. 若角的终边过点，则角的终边与圆的交点坐标是 . 12. 若，则角的终边与圆的交点坐标是 . 考点七 三角函数值在各象限的符号 13.若点在第二象限，则角是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 14. 已知，则角是（ ） A．第一象限角 B．第一或三象限角 C．第二或四象限角 D．第四象限角 考点八 同角三角函数的基本关系式 15. 已知，且是第二象限角，求和. 16. 已知，且是第三象限角，求和. 考点九 已知，求关于和的齐次式的值 17. 已知，求下列各式的值： ； . 18. 已知，求下列各式的值. ； . 考点十 应用同角三角函数的基本关系式化简 19. 化简下列各式. ； (是第三象限角). 20. 角是钝角三角形中的最大角，则化简的结果是（ ） A． B． C． D． 考点十一 利用，，之间的关系求值 21. 已知为第二象限角，且，求的值. 22. 已知为第三象限角，且，则 . 考点十二 利用诱导公式给角（式）求值问题 23.求下列三角函数值. ； ； . 24. 求的值. 考点十三 利用诱导公式化简三角函数 25. 化简： ； . 26. 化简：. 考点十四 诱导公式与同角函数基本关系的应用 27.已知，为第二象限角，则 . 28.已知，为第四象限角，则 . 考点十五 用“五点法”作三角函数的图象 29. 作函数的简图. 30.作函数的简图. 考点十六 三角函数的性质及应用 31.求函数的最大值、最小值、最小正周期及取得最大值、最小值时的取值集合. 32.下列关于函数的奇偶性，判断正确的是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 考点十七 解三角函数不等式 33.函数的定义域是 . 34.函数的定义域是 . 考点十八 由三角函数值求出指定范围内的角 35.已知，则角 . 36.已知，则角 . 考点十九 换元法求值域或最大（小）值 37.求函数的最大值、最小值及取得最值时的集合. 38.求函数的最大值、最小值及取得最值时的的集合. 考点二十 正弦型函数图象与性质 39.已知函数. (1)用五点法作出它在一个周期内的简图； (2)求函数的最大值、最小值、最小正周期及取得最大值和最小值时的集合. 40.已知函数，函数的部分图象如图所示.求： (1)函数的最小正周期及的值； (2)函数的单调递增区间. 考点二十一 三角函数图象变换问题 41.要得到函数，只需将函数的图象（ ）个单位即可. A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 42．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）个单位即可. A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$