第二章 相交线与平行线（压轴题专练） 2023—2024学年北师大版数学七年级下册

第二章 相交线与平行线（压轴题专练） 一．选择题（共13小题） 1．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 3．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 4．把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若DE∥AB，则∠1的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．135° 5．如图，在△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC．如果∠CAD＝110°，∠C＝30°，那么∠BDE的度数是（　　） A．120° B．110° C．105° D．100° 6．折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着EF进行第一次折叠，使得C，D两点落在C1、D1的位置，再将纸条沿着GF折叠（GF与BC在同一直线上），使得C1、D1分别落在C2、D2的位置．若3∠EFB＝∠EFC2，则∠GEF的度数为（　　） A．30° B．36° C．45° D．60° 7．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（　　） A．57° B．58° C．59° D．60° 8．如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使∠1＝150°，AB⊥BC，则∠2的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 9．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的点D′处，点C落在点C′处，若∠AD′M＝50°，则∠MNB的度数为（　　） A．40° B．70° C．80° D．100° 10．如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系为（　　） A．∠A+∠C+∠F＝∠E B．∠A+∠C+∠E+∠F＝360° C．∠A+∠C+∠E﹣∠F＝180° D．∠A+∠C﹣∠E+∠F＝180° 11．如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BDC′，DC′与AB交于点E．若∠1＝34°，则∠2的度数为（　　） A．17° B．22° C．34° D．56° 12．如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转（　　） A．10° B．20° C．40° D．80° 13．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．下列结论： （1）∠1＝∠2；（2）∠2+∠4＝90°；（3）∠3＝∠4；（4）∠4+∠5＝180°；（5）∠1+∠3＝90°． 其中正确的共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二．填空题（共8小题） 14．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　 　°． 15．如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为4：3，如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水平面夹角度数分别为x，y，在水中两条折射光线的夹角度数为m、则m＝　 　．（用含x，y的式子表示） 16．如图，△ABC的角平分线CD，BE相交于点F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于点G，下列结论：①∠CEG＝∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝∠CGE，其中正确的结论是 　 　（只填序号）． 17．一个角的余角比它的补角的还少40°，则这个角的度数为 　 　度． 18．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论　 　（填编号）． 19．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）∠CBD＝　 　度； （2）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝　 　度． 20．如图，一条公路修到湖边时，经过三次拐弯后，道路恰好与第一次拐弯之前的道路保持平行，如果第一次拐弯的角∠A＝120°，第二次拐弯的角∠B＝150°，则第三次拐弯的角∠C的度数等于　 　． 21．如图，如果AB∥CD，则角α＝130°，γ＝20°，则β＝　 　． 三．解答题（共11小题） 22．把一副三角板的直角顶点O重叠在一起． （1）如图（1），当OB平分∠COD时，则∠AOD与∠BOC的和是多少度？ （2）如图（2），当OB不平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？ （3）当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD，则∠BOC多少度？ 23．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点． （1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系． （2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数． （3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论： ①的值不变； ②∠GEN﹣∠BDF的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少． 24．【阅读与思考】 如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． 【思考与探究】 （1）①∠ABN的度数是 　 　； ②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠　 　； ③∠CBD的度数是 　 　； 【猜想与探究】 （2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？ 25．如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B． （1）若∠C＝40°，则∠BAM＝　 　； （2）如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数． 26．如图，已知直线l1∥l2，直线l和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，A是l1上的一点，B是l2上的一点． （1）如果P点在C、D之间运动时，如图（1）问∠PAC，∠APB，∠PBD之间有何关系，并说明理由． （2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），在图（2），图（3）中画出图形并探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？并选择其中一种情况说明理由． 27．如图1所示：点E为BC上一点，∠A＝∠D，AB∥CD． （1）直接写出∠ACB与∠BED的数量关系； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，BG的反向延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠GHD大60°，求∠DEB的度数； （3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，求∠PBM的度数．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角） 28．本题的解答过程不用写出推理依据： 如图：AB∥CD，∠ABE＝120°． （1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论； （2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数； （3）如图③，过B作BG⊥AB于B点，∠CDE＝4∠GDE，求的值． 29．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，∠ACD＝140°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．求∠CEF的度数． 30．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF （1）求∠EOB的度数； （2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值． （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由． 31．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 32．【学科融合】 物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律： 在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflection law）． 【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD． 【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD． （1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝　 　； （2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED＝β，则α与β之间满足的等量关系是 　 　． 第二章 相交线与平行线（压轴题专练） 一．选择题（共13小题） 1．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝40°错误；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选：A． 2．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】A 【解答】解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°， ∴∠EFC+∠EFC'＝200°， ∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°， 故选：A． 3．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α， ∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β， ∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°， 而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD， ∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°， ∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β， 在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180° 故β﹣α＝40°， 而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°， 故选：B． 4．把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若DE∥AB，则∠1的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．135° 【答案】A 【解答】解：如图，AC和DE交于点G， 由三角板可知：∠D＝45°，∠BAC＝30°， ∵DE∥AB， ∴∠AGD＝∠BAC＝30°， ∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠AGD＝105°， 故选：A． 5．如图，在△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC．如果∠CAD＝110°，∠C＝30°，那么∠BDE的度数是（　　） A．120° B．110° C．105° D．100° 【答案】D 【解答】解：∵∠CAD＝110° ∴∠BAC＝70° ∵∠C＝30° ∴∠CBD＝180°﹣30°﹣70°＝80° ∵DE∥BC ∴∠BDE＝180°﹣80°＝100° 故选：D． 6．折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着EF进行第一次折叠，使得C，D两点落在C1、D1的位置，再将纸条沿着GF折叠（GF与BC在同一直线上），使得C1、D1分别落在C2、D2的位置．若3∠EFB＝∠EFC2，则∠GEF的度数为（　　） A．30° B．36° C．45° D．60° 【答案】A 【解答】解：设∠EFB＝x，则∠EFC2＝3x， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝x，∠GFC2＝4x， 由折叠可得，∠GEF＝∠EFD＝x，∠GFC1＝∠GFC2＝4x，∠EFC1＝4x+x＝5x， ∵ED1∥FC1， ∴∠GEF+∠EFC1＝x+5x＝180°， ∴x＝30°，即∠GEF＝30°． 故选：A． 7．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（　　） A．57° B．58° C．59° D．60° 【答案】B 【解答】解：∵长方形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠DEG＝α，∠AFH＝β， ∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°， 由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH， ∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°， ∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°， 在△EFM中， ∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°， 故选：B． 8．如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使∠1＝150°，AB⊥BC，则∠2的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】C 【解答】解：过点B作BE∥AD， ∵AD∥CF， ∴AD∥BE∥CF， ∴∠1+∠ABE+∠CBE+∠2＝360°，即∠1+∠ABC+∠2＝360°， ∵∠1＝150°，∠ABC＝90°， ∴∠2的度数为120°． 故选：C． 9．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的点D′处，点C落在点C′处，若∠AD′M＝50°，则∠MNB的度数为（　　） A．40° B．70° C．80° D．100° 【答案】B 【解答】解：∵在正方形ABCD中，∠A＝90°， ∴∠AMD′＝90°﹣∠AD′M＝90°﹣50°＝40° ∴∠DMD′＝180°﹣∠AMD′＝180°﹣40°＝140°， 由折叠可得， ∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠MNB＝∠DMN＝70°． 故选：B． 10．如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系为（　　） A．∠A+∠C+∠F＝∠E B．∠A+∠C+∠E+∠F＝360° C．∠A+∠C+∠E﹣∠F＝180° D．∠A+∠C﹣∠E+∠F＝180° 【答案】C 【解答】解：过E作EM∥AB，过F作FN∥AB， ∵AB∥CD， ∴EM∥FN∥CD， ∴∠A+∠AEM＝180°，∠MEF＝∠NFE，∠NFC＝∠C， ∴∠C+∠MEF＝∠NFE+∠NFC＝∠EFC， ∴∠MEF＝∠EFC﹣∠C， ∵∠AEM＝∠AEF﹣∠MEF＝∠AEF+∠C﹣∠EFC， ∴∠A+∠AEF+∠C﹣∠EFC＝180°． 故选：C． 11．如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BDC′，DC′与AB交于点E．若∠1＝34°，则∠2的度数为（　　） A．17° B．22° C．34° D．56° 【答案】B 【解答】解：由题意可知： ∠C＝90°，AB∥CD， ∴∠ABD＝∠1＝34°， 由折叠的性质可知： ∠BDC′＝∠1＝34°，∠DC′B＝∠C＝90°． ∴∠2＝180°﹣∠DC′B﹣∠ABD﹣∠BDC′＝22°． 故选：B． 12．如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转（　　） A．10° B．20° C．40° D．80° 【答案】B 【解答】解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD， ∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°， ∴∠EGB需要变小20°，即木棒AB绕点G逆时针旋转20°， 故选：B． 13．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．下列结论： （1）∠1＝∠2；（2）∠2+∠4＝90°；（3）∠3＝∠4；（4）∠4+∠5＝180°；（5）∠1+∠3＝90°． 其中正确的共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【解答】解：如图，根据题意得：AB∥CD，∠FEG＝90°， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4+∠5＝180°，∠2+∠4＝90°； 故（1），（2），（3），（4）正确； ∴∠1+∠3＝90°． 故（5）正确． ∴其中正确的共有5个． 故选：A． 二．填空题（共8小题） 14．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　72　°． 【答案】72． 【解答】解：∵AD∥CB， ∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF， 即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°， ∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°． ∵∠H＝∠D＝90°， ∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°． 由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°， ∴∠GMN＝72°． 故答案为：72． 15．如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为4：3，如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水平面夹角度数分别为x，y，在水中两条折射光线的夹角度数为m、则m＝　　．（用含x，y的式子表示） 【答案】． 【解答】解：如图所示：过点B，D，F分别作水平线的垂线， ∴PC∥DE∥QG， ∴∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝∠DBC+∠DFG， ∵∠1：∠2＝4：3， ∴∠DBC＝，∠DFG＝， ∴∠BDF＝ ＝， ∴， 故答案为：． 16．如图，△ABC的角平分线CD，BE相交于点F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于点G，下列结论：①∠CEG＝∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝∠CGE，其中正确的结论是 　③④　（只填序号）． 【答案】③④． 【解答】解：∵GE∥BC， ∴∠CEG＝∠ACB＞∠DCB， 故①不符合题意； ∵EG∥BC，CG⊥EG， ∴CG⊥BC， ∴∠BCG＝90°， ∵∠ACB不一定等于45°， ∴CA不一定平分∠BCG， 故②不符合题意； ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵∠ADC+∠ACD＝∠DCG+∠BCD＝90°， ∴∠ADC＝∠DCG， 故③符合题意； ∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠FBC＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB， ∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×90°＝45°， ∴∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝45°， ∵CG⊥EG， ∴∠CGE＝90°， ∴∠BFD＝∠CGE， 故④符合题意， ∴正确的结论是③④， 故答案为：③④． 17．一个角的余角比它的补角的还少40°，则这个角的度数为 　30　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设这个角是α， 根据题意可得：90°﹣α＝（180°﹣α）﹣40°， 解可得α＝30°． 18．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论　①②③　（填编号）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①∵AB∥CD， ∴∠BOD＝∠ABO＝a°， ∴∠COB＝180°﹣a°＝（180﹣a）°， 又∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COB＝（180﹣a）°．故①正确； ②∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°， ∴∠BOF＝90°﹣（180﹣a）°＝a°， ∴∠BOF＝∠BOD， ∴OF平分∠BOD所以②正确； ③∵OP⊥CD， ∴∠COP＝90°， ∴∠POE＝90°﹣∠EOC＝a°， ∴∠POE＝∠BOF； 所以③正确； ∴∠POB＝90°﹣a°， 而∠DOF＝a°，所以④错误． 19．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）∠CBD＝　60　度； （2）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝　30　度． 【答案】60；30． 【解答】解：（1）∵AM∥BN， ∴∠ABN+∠A＝180°， ∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°， ∴∠ABP+∠PBN＝120°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP＝120°， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°； 故答案为：60； （2）∵AM∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN， ∴∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN， ∴∠ABC＝∠DBN； 由（1）可知：∠ABN＝120°，∠CBD＝60°， ∴∠ABC+∠DBN＝∠ABN﹣∠CBD＝120°﹣60°＝60°， ∴∠ABC＝30°， 故答案为：30． 20．如图，一条公路修到湖边时，经过三次拐弯后，道路恰好与第一次拐弯之前的道路保持平行，如果第一次拐弯的角∠A＝120°，第二次拐弯的角∠B＝150°，则第三次拐弯的角∠C的度数等于　150°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：延长FC，AB，交于点E，如图所示， ∵AD∥CE， ∴∠A＝∠E＝120°， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBE＝30°， ∴∠BCF＝∠CBE+∠E＝30°+120°＝150°． 故答案为：150°． 21．如图，如果AB∥CD，则角α＝130°，γ＝20°，则β＝　70°　． 【答案】70°． 【解答】解：如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠AEF＝180°，∠D＝∠FED， ∴∠AEF＝180°﹣130°＝50°，∠FED＝20°， ∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝50°+20°＝70°． 即β＝70°． 故答案为：70°． 三．解答题（共11小题） 22．把一副三角板的直角顶点O重叠在一起． （1）如图（1），当OB平分∠COD时，则∠AOD与∠BOC的和是多少度？ （2）如图（2），当OB不平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？ （3）当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD，则∠BOC多少度？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当OB平分∠COD时，有∠BOC＝∠BOD＝45°， 于是∠AOC＝90°﹣45°＝45°， 所以∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝45°+90°+45°＝180°； （2）当OB不平分∠COD时， 有∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，∠COD＝∠BOD+∠BOC＝90°， 于是∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC， 所以∠AOD+∠BOC＝90°+90°＝180°． （3）由上得∠AOD+∠BOC＝180°， 有∠AOD＝180°﹣∠BOC， 180°﹣∠BOC＝4（90°﹣∠BOC）， 所以∠BOC＝60°． 23．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点． （1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系． （2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数． （3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论： ①的值不变； ②∠GEN﹣∠BDF的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2． 理由：如图1，过C作CD∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴CD∥MN， ∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2． （2）∵∠AEN＝∠A＝30°， ∴∠MEC＝30°， 由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°， ∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°， ∴∠BDF＝∠PDC＝60°； （3）结论①的值不变是正确的， 设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x， 由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP， ∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x， ∴∠BDF＝90°﹣x， ∴＝＝2（定值）， 即的值不变，值为2． 24．【阅读与思考】 如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． 【思考与探究】 （1）①∠ABN的度数是 　116°　； ②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠　CBN　； ③∠CBD的度数是 　58°　； 【猜想与探究】 （2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？ 【答案】（1）①116°；②CBN；③58°； （2）不变，2：1； （3）29°． 【解答】解：（1）①∵AM∥BN，∠A＝64°， ∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°， 故答案为：116°； ②∵AM∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN， 故答案为：CBN； ③∵AM∥BN， ∴∠ABN+∠A＝180°， ∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°， ∴∠ABP+∠PBN＝116°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP＝116°， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°； （2）不变， ∠APB：∠ADB＝2：1， ∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN， ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠DBN， ∴∠APB：∠ADB＝2：1； （3）∵AM∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN， 当∠ACB＝∠ABD时， 则有∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN， ∴∠ABC＝∠DBN， 由（1）∠ABN＝116°， ∴∠CBD＝58°， ∴∠ABC+∠DBN＝58°， ∴∠ABC＝29°， 故答案为：29°． 25．如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B． （1）若∠C＝40°，则∠BAM＝　130°　； （2）如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：过点B作BE∥AM，则AM∥BE∥NC， ∵BE∥NC，∠C＝40°， ∴∠CBE＝∠C＝40°． ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°． ∵AM∥BE， ∴∠BAM+∠ABE＝18°， ∴∠BAM＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130°； （2）证明：如图2，过点B作BF∥DM，则∠ADB+∠DBF＝180°． ∵BD⊥AM， ∴∠ADB＝90°． ∴∠DBF＝90°，∠ABD+∠ABF＝90°． 又∵AB⊥BC， ∴∠CBF+∠ABF＝90°． ∴∠ABD＝∠CBF． ∵AM∥CN， ∴BF∥CN， ∴∠C＝∠CBF． ∴∠ABD＝∠C． （3）解：设∠DEB＝x°，由（2）可得∠ABD＝∠C， ∵∠C＝∠DEB， ∴∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x°． 过点B作BF∥DM，如图3， ∴∠DEB＝∠EBF，∠C＝∠FBC． ∴∠CBE＝∠EBF+∠FBC＝∠DEB+∠C＝2x°． ∵∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝90°+x°． ∵BE平分∠DBC， ∴∠DBC＝2∠CBE＝4x°，即4x＝90+x，解得x＝30． ∴∠DEB的度数为30°． 26．如图，已知直线l1∥l2，直线l和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，A是l1上的一点，B是l2上的一点． （1）如果P点在C、D之间运动时，如图（1）问∠PAC，∠APB，∠PBD之间有何关系，并说明理由． （2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），在图（2），图（3）中画出图形并探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？并选择其中一种情况说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，当P点在C、D之间运动时，∠APB＝∠PAC+∠PBD． 理由如下：过点P作PE∥l1， ∵l1∥l2 ∴PE∥l2∥l1， ∴∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2， ∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PAC+∠PBD； （2）如图2，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC＝∠PBD+∠APB． 理由如下：∵l1∥l2， ∴∠PED＝∠PAC， ∵∠PED＝∠PBD+∠APB， ∴∠PAC＝∠PBD+∠APB． 如图3，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD＝∠PAC+∠APB． 理由如下：∵l1∥l2， ∴∠PEC＝∠PBD， ∵∠PEC＝∠PAC+∠APB， ∴∠PBD＝∠PAC+∠APB． 27．如图1所示：点E为BC上一点，∠A＝∠D，AB∥CD． （1）直接写出∠ACB与∠BED的数量关系； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，BG的反向延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠GHD大60°，求∠DEB的度数； （3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，求∠PBM的度数．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角） 【答案】（1）∠ACB+∠BED＝180°；（2）100°；（3）40°． 【解答】解：（1）如答图1所示，延长DE交AB于点F． ∵AB∥CD， ∴∠D＝∠EFB， ∵∠A＝∠D， ∴∠A＝∠EFB， ∴AC∥DF， ∴∠ACB＝∠CED． ∵∠CED+∠BED＝180°， ∴∠ACB+∠BED＝180°． （2）如答图2所示，过点E作ES∥AB，过点H作HT∥AB． 设∠ABG＝∠EBG＝α，∠FDH＝∠EDH＝β， ∵AB∥CD，AB∥ES， ∴∠ABE＝∠BES，∠SED＝∠CED， ∴∠BED＝∠BES+∠SED＝∠ABE+∠CDE＝2α+180°﹣2β， ∵AB∥TH，AB∥CD， ∴∠ABG＝∠THB，∠FDH＝∠DHT， ∴∠GHD＝∠THD﹣∠THB＝β﹣α， ∵∠BED比∠BHD大60°， ∴2α+180°﹣2β﹣（β﹣α）＝60°， ∴β﹣α＝40°， ∴∠BHD＝40°， ∴∠BED＝100°； （3）如答图3所示，过点E作EQ∥DN． 设∠CDN＝∠EDN＝α，∠EBM＝∠KBM＝β， 由（2）易知∠DEB＝∠CDE+∠ABE， ∴2α+180°﹣2β＝100°， ∴β﹣α＝40°， ∴∠DEB＝∠CDE+∠EDN+180°﹣（∠EBM+∠PBM）＝α+180°﹣β﹣∠PBM， ∴∠PBM＝80°﹣（β﹣α）＝40°． 28．本题的解答过程不用写出推理依据： 如图：AB∥CD，∠ABE＝120°． （1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论； （2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数； （3）如图③，过B作BG⊥AB于B点，∠CDE＝4∠GDE，求的值． 【答案】（1）∠BED+∠D＝120°，理由见解答； （2）∠EFD的度数为100°； （3）＝． 【解答】解：（1）结论：∠BED+∠D＝120°， 证明：如图①，延长AB交DE于点F， ∵AB∥CD， ∴∠BFE＝∠D， ∵∠ABE＝120°， ∴∠BFE+∠BED＝∠ABE＝120°， ∴∠D+∠BED＝120°； （2）如图②， ∵∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE， 即∠CDE＝3∠CDF， 设∠BEF＝α，∠CDF＝β， ∴∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β， 由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°， ∴3α+3β＝120°， ∴α+β＝40°， ∴2α+2β＝80°， ∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°， 答：∠EFD的度数为100°； （3）如图③， ∵BG⊥AB， ∴∠ABG＝90°， ∵∠ABE＝120°． ∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABG＝30°， ∵∠CDE＝4∠GDE， ∴∠GDE＝∠CDE， ∵∠G+∠GBE＝∠E+∠GDE， ∴∠G+30°＝∠E+∠CDE， 由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°， ∴∠CDE＝120°﹣∠E， ∴∠G+30°＝∠E+（120°﹣∠E）， ∴∠G＝∠E， ∴＝． 29．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，∠ACD＝140°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．求∠CEF的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵CB平分∠ACD，∠ACD＝140°， ∴∠DCB＝70°， ∵AB∥CD， ∴∠CBA＝∠DCB＝70°， ∵∠CBF＝20°， ∴∠FAB＝70°﹣20°＝50°， ∵∠EFB＝130°， ∴∠EFB+∠FBA＝180°， ∴EF∥AB， ∴∠CEF＝∠A， ∵AB∥CD，∠ACD＝140°， ∴∠A＝180﹣140°＝40°， ∴∠CEF＝40°． 30．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF （1）求∠EOB的度数； （2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值． （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵CB∥OA， ∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°， ∵OE平分∠COF， ∴∠COE＝∠EOF， ∵∠FOB＝∠AOB， ∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠AOC＝×80°＝40°； （2）∵CB∥OA， ∴∠AOB＝∠OBC， ∵∠FOB＝∠AOB， ∴∠FOB＝∠OBC， ∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC， ∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值； （3）在△COE和△AOB中， ∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB， ∴∠COE＝∠AOB， ∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线， ∴∠COE＝∠AOC＝×80°＝20°， ∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°， 故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°． 31．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN， ∵MG⊥NG， ∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°； （2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α， ∵GK∥AB，AB∥CD， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝α， ∵GK∥AB，∠BMG＝30°， ∴∠MGK＝∠BMG＝30°， ∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP， ∴∠GMP＝∠BMG＝30°， ∴∠BMP＝60°， ∵PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠BMP＝60°， ∵ND平分∠GNP， ∴∠DNP＝∠GND＝α， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠QPN＝∠DNP＝α， ∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α， ∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°； （3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y， ∵AB，FG交于M，MF平分∠AME， ∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x， ∴∠AME＝2x， ∵GK∥AB， ∴∠MGK＝∠BMG＝x， ∵ET∥AB， ∴∠TEM＝∠EMA＝2x， ∵CD∥AB∥KG， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝y， ∴∠MGN＝x+y， ∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG， ∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y， ∵ET∥AB∥CD， ∴ET∥CD， ∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y， ∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y， ∵2∠MEN+∠G＝105°， ∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°， ∴x＝25°， ∴∠AME＝2x＝50°． 32．【学科融合】 物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律： 在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflection law）． 【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD． 【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD． （1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝　180°﹣2α　； （2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED＝β，则α与β之间满足的等量关系是 　β＝2a　． 【答案】数学问题：见解析；（1）180°﹣2α；（2）β＝2a． 【解答】解：如图1，∵OM⊥ON， ∴∠CON＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∠DCB+∠ABC＝180°， AB∥CD； 【尝试探究】 （1）如图2，在△OBC中，∵∠MON＝α， ∴∠2+∠3＝180°﹣α， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2， ∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD ＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3） ＝2（∠2+∠3）﹣180° ＝2（180°﹣a）﹣180° ＝180°﹣2α， 故答案为：180°﹣2α； （2）如图4，B＝2a， 理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠ABC＝180°﹣2∠2， ∠BCD＝180°﹣2∠3， ∴∠D＝∠MBC﹣∠BCD ＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3） ＝2（∠3﹣∠2）＝∠β， ∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝a， ∴β＝2a． 故答案为：β＝2a． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $$