第二章 相交线与平行线（3个易错点） 训练 2023—2024学年北师大版数学七年级下册

第二章 相交线与平行线 易混易错 易错点1 两条直线的位置关系 【指点迷津】注意分类讨论。 1．在同一平面内有2022条直线，如果，，，，…那么与的位置关系是（    ）． A．重合 B．平行或重合 C．垂直 D．相交但不垂直 2．已知直线，，互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，那么直线与的距离是（    ） A．或 B． C． D． 3．若a⊥b，c⊥d，则a与c的关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 4．同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥b，b∥c，则a与c(  )． A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 5．如果ac，a与b相交，bd，那么d与c的关系为 ． 6．设a，b，c为平面内三条不同的直线，若a⊥c，b⊥c，则a与b的位置关系是 ． 易错点2 同位角、内错角、同旁内角 【指点迷津】熟悉同位角、内错角、同旁内角的模型 7．如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（    ）    A．与是同旁内角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是内错角 8．下列图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，和的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 10．如图，下列结论正确的是（    ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 11．如图，与构成同位角的是（　　） A． B． C． D． 12．已知与是同旁内角．若，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 13．下列判断错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 14．如图，的同旁内角有（   ）．    A． B． C． D．以上都是 15．如图，以下说法正确的是（   ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 16．如图，下列叙述不正确的是（　　）    A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 17．如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 18．如图，下列说法错误的是（    ）    A．与是同旁内角 B．与是对顶角 C．与是内错角 D．与是同位角 易错点3平行线的判定与性质 【指点迷津】熟悉平行线的性质和判定。 19．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，．若此时平行地面，则的度数为（    ） A．162° B．152° C．150° D．142° 21．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示放置，并且顶点分别落在直线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 22．如图，直线和被所截，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图，，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 24．如图，直线，和的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 25．如图，将木条与钉在一起，且木条与木条交于点． 要使木条与平行，则木条绕点顺时针旋转的度数至少为（    ） A． B． C． D． 26．如图，在中，点D在边上，点E，F分别在边上，且满足，，，若，，则的度数是 ． 27．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，则的度数是 ； 28．如图，已知，，，则的度数为 ．    29．如图，直线，，则 ． 30．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点、、、在同一条直线上，若，则的度数为 ． 32．如图，，，，根据求的解答过程填空（理由或数学式）． 解：，（已知） ________（________________________）． 又 （______________）， _____________（_______________）， ____________=180°（____________）． （已知）， ___________（等式的性质）． 33．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线，且和直角三角形，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，说明理由； (3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当平分时，此时发现与又存在新的数量关系，请写出与的数量关系并证明． 34．如图，在四边形中，已知，平分，，且． (1) 求的度数 (2) 求的度数． 35．如图，已知．    (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求和的度数． 36．如图，已知，点是射线上一动点（与不重合），、分别平分和，交射线于，（推理时不需要写出每一步的理由）    (1)求的度数． (2)当点运动时，那么的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律． 37．已知，点是上一点，平分交于点．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分，，，判断与之间的位置关系，并说明理由． 第二章 相交线与平行线 易混易错 易错点1 两条直线的位置关系 【指点迷津】注意分类讨论。 1．在同一平面内有2022条直线，如果，，，，…那么与的位置关系是（    ）． A．重合 B．平行或重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同平面内有2022条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵…1， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 【点睛】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律． 2．已知直线，，互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，那么直线与的距离是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】分与在同侧和与在两侧两种情况，根据直线与的距离是，直线与的距离是分别求出与的距离即可得答案． 【详解】①当与在同侧时， ∵直线，，互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是， ∴与的距离为5-2=3cm， ②当与在两侧时， ∵直线，，互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是， ∴与的距离为5+2=7cm， 综上所述：与的距离是3cm或7cm， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线之间的距离求法，从平行线上任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做两条平行线之间的距离；灵活运用分类讨论的思想是解题关键． 3．若a⊥b，c⊥d，则a与c的关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】D 【分析】分情况讨论：①当b∥d时；②当b和d相交但不垂直时；③当b和d垂直时；即可得出a与c的关系． 【详解】当b∥d时a∥c； 当b和d相交但不垂直时，a与c相交； 当b和d垂直时，a与c垂直； a和c可能平行，也可能相交，还可能垂直． 故选：D． 【点睛】本题考查了直线的位置关系，掌握平行、垂直、相交的性质是解题的关键． 4．同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥b，b∥c，则a与c(  )． A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 【答案】B 【详解】解：如图所示： ∵b∥c， ∠1=∠2， 又∵a⊥b， ∠1=90°， ∠1=∠2=90°， 即a⊥c． 故选B． 5．如果ac，a与b相交，bd，那么d与c的关系为 ． 【答案】相交 【分析】根据题意画出草图，即可求解． 【详解】如图，ac，a与b相交，bd， d与c的关系为相交 故答案为：相交 【点睛】本题考查了两直线的位置关系，数形结合是解题的关键． 6．设a，b，c为平面内三条不同的直线，若a⊥c，b⊥c，则a与b的位置关系是 ． 【答案】a//b 【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行判断． 【详解】解：∵a⊥c，b⊥c ∴a//b 故答案为：a//b． 【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 易错点2 同位角、内错角、同旁内角 【指点迷津】熟悉同位角、内错角、同旁内角的模型 7．如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（    ）    A．与是同旁内角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是内错角 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角、同旁内角、同位角、内错角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．根据邻补角，同旁内角、同位角、内错角的定义逐项分析即可解答． 【详解】解：A、与是同旁内角，故原说法正确，符合题意； B、与是邻补角，故原说法错误，不符合题意； C、与是内错角，故原说法错误，不符合题意； D、与是同旁内角，故原说法错误，不符合题意． 故答案为A． 8．下列图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同位角的识别；两条直线被第三条直线所截，如果两个角在截线的同侧，在两条被截线的同侧，这样的两个叫同位角；根据同位角的含义进行判断即可． 【详解】解：由同位角的意义知，选项D中的与是同位角，其它选项中的与都不是同位角； 故选：D． 9．如图，和的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】B 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的辨析，根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：如图，和的位置关系是同位角． 故选：B 10．如图，下列结论正确的是（    ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查同位角同旁内角、对顶角，根据同位角、同旁内角、对顶角的定义进行判断，熟练掌握各角的定义是解题的关键． 【详解】A、与是对顶角，故本选项错误，不符合题意； B、与是同位角，故本选项错误，不符合题意； C、与没有处在两条被截线之间，故本选项错误，不符合题意； D、与是同旁内角；故本选项正确，符合题意； 故选：D． 11．如图，与构成同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 【详解】解：直线a，b被直线m所截，与构成同位角的是， 故选：C． 12．已知与是同旁内角．若，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】D 【解析】略 13．下列判断错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】此题主要考查了三线八角．根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，说法正确； B、与是内错角，说法正确； C、与不是两条直线被第三条直线截成的角，说法错误； D、与是同位角，说法正确． 故选：C． 14．如图，的同旁内角有（   ）．    A． B． C． D．以上都是 【答案】D 【分析】根据两直线被第三线所截，，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，进行判断即可． 【详解】解：直线被直线所截，与是同旁内角； 直线被直线所截，与是同旁内角； 直线被直线所截，与是同旁内角； 故选D． 【点睛】本题考查同旁内角的判断．解题的关键是掌握同旁内角的定义． 15．如图，以下说法正确的是（   ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 【答案】D 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：、和不是同位角，不是内错角，也不是同旁内角，故A不符合题意； B、和是同位角，故B不符合题意； C、和是内错角，故C不符合题意； D、和是同旁内角，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的识别，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题的关键． 16．如图，下列叙述不正确的是（　　）    A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 【答案】C 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、邻补角的定义进行判断即可． 【详解】解：A. 和是内错角，故不符合题意； B. 和是同位角，故不符合题意； C. 和不是同旁内角，故符合题意； D. 和是邻补角，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角、邻补角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 17．如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据同位角，内错角及同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，则和是同位角，和不是同位角，那么正确，错误； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为同旁内角，则和是同旁内角，那么正确； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的两侧，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为内错角，则和不是内错角，那么错误； 综上，正确的为， 故选：C． 【点睛】本题考查同位角，内错角及同旁内角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 18．如图，下列说法错误的是（    ）    A．与是同旁内角 B．与是对顶角 C．与是内错角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，可得答案． 【详解】解；A、与是同旁内角，故该选项正确，不符合题意； B、与是对顶角，故该选项正确，不符合题意； C、与不是内错角，故该选项不正确，符合题意； D、与是同位角，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 易错点3平行线的判定与性质 【指点迷津】熟悉平行线的性质和判定。 19．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．过P作直线，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得，进而可求出，从而求出． 【详解】解：过P作直线，如下图所示， ∵，， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 20．某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，．若此时平行地面，则的度数为（    ） A．162° B．152° C．150° D．142° 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键． 过点B作，可得，结合，即可得出答案． 【详解】解：过点B作，如图， ∵平行地面， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故选B． 21．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示放置，并且顶点分别落在直线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．过点B作，可得，由平行线的传递性得则，进而求得结论． 【详解】解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 22．如图，直线和被所截，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，由对顶角的性质求出，，再根据平行线的性质求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：如图， ，， ， ， ，， ， 故选：A． 23．如图，，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】略 24．如图，直线，和的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过作，则，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作，则，    ∴， ∵， ∴，即， 故选：C． 25．如图，将木条与钉在一起，且木条与木条交于点． 要使木条与平行，则木条绕点顺时针旋转的度数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图． 因为当时，， 所以要使木条与平行，木条绕点顺时针旋转的度数至少为． 26．如图，在中，点D在边上，点E，F分别在边上，且满足，，，若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的的判定和性质得出，进而解答即可，关键是根据平行线的性质得出． 【详解】∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 27．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，则的度数是 ； 【答案】/31度 【分析】本题考查角平分线的定义和平行线的性质，先根据角平分线得到的度数，然后根据平行线的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 28．如图，已知，，，则的度数为 ．    【答案】/120度 【分析】此题考查了平行线的判定和性质．过作，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】解：过作，    ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 29．如图，直线，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查利用平行线的性质求解相关角度，两直线平行内错角相等，直接过点E作的平行线把进行分割转移，最后利用邻补角的概念，直接求出的度数． 【详解】见试题解答内容 【解答】解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∵，； ∴，， ∴； 故答案为：． 30．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点、、、在同一条直线上，若，则的度数为 ． 【答案】/49度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义．先根据邻补角的性质求得的度数，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 32．如图，，，，根据求的解答过程填空（理由或数学式）． 解：，（已知） ________（________________________）． 又 （______________）， _____________（_______________）， ____________=180°（____________）． （已知）， ___________（等式的性质）． 【答案】3，两直线平行，同位角相等，等量代换，，内错角相等，两直线平行，，两直线平行，同旁内角互补， 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线的性质得出，推出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质即可求出． 【详解】解：，（已知） （两直线平行，同位角相等）． 又 （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （等式的性质）． 33．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线，且和直角三角形，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，说明理由； (3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当平分时，此时发现与又存在新的数量关系，请写出与的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行的线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）由可得，从而得出，最后再由两直线平行，同位角相等即可得出的度数； （2）过点作，则，，由平行线的性质可得，结合可得，即可得解； （3）过点作，则，，由角平分线的定义可得，从而得到，由平行线的性质可得，，计算出，即可得证． 【详解】（1）解：如图， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 理由如下： 如图，过点作，则， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ． 34．如图，在四边形中，已知，平分，，且． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据角平分线的定义进行计算即可得出的度数； （2）由垂线的定义可得，由两直线平行内错角相等可得，最后由，进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ， 平分， ； （2）解：， ， ， ， ． 35．如图，已知．    (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求和的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2)， 【分析】（1），理由如下：根据平行线的判定，由，得，再根据平行线的性质，得，再根据平行线的判定及性质，垂直的定义即可解答； （2）先根据角平分线的定义，得，再根据平行线的性质及垂直的定义即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ，即， （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定及性质是本题的关键． 36．如图，已知，点是射线上一动点（与不重合），、分别平分和，交射线于，（推理时不需要写出每一步的理由）    (1)求的度数． (2)当点运动时，那么的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律． 【答案】(1)； (2)不变，理由见解析 【分析】（1）由平行线的性质可求得，再根据角平分线的定义和整体思想可求得； （2）由平行线的性质可得，，再由角平分线的定义可求得结论． 【详解】（1）， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）不变，． ， ，， 平分， ， ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 37．已知，点是上一点，平分交于点．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分，，，判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质，角平分线的定义求解即可； （2）根据平行线的性质，得，再根据角平分线的定义，平分，得，平分，得，然后等量代换，根据平行线的判定即可． 【详解】（1）解： ， ． ， ． 又平分， ． ， ． （2）解： ．理由： ， ． ， ． ， ． ， ． 平分， ． 平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了垂直定义和平行线的性质和判定，角平分线的定义，能熟练地运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $$