5.3 二次函数与一元二次方程（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

5.3 二次函数与一元二次方程 【考点1 二次函数与x轴交点问题】 【考点2 图象法确定一元二次方程的根】 【考点3已知函数值y求X的取值范围】 【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】 【考点5二次函数综合】 考点1 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 注意： 　二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.． 【考点1 二次函数与x轴交点问题】 【典例1】函数与x轴的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点，解答本题的关键是求出抛物线图象的对称轴．根据二次函数解析式求得对称轴，由抛物线的对称性得到答案． 【详解】解：由二次函数的表达式知，其对称轴是直线， 则抛物线与轴的两个交点坐标关于直线对称， 其中一个交点的坐标为， 另一个交点的坐标为， 故选∶D． 【变式1-1】如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确利用抛物线的对称性分析是解题关键．直接利用抛物线的对称性进而得出另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点是：． 故选：D． 【变式1-2】如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，若B点的坐标是，则A点的坐标是 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题， 根据抛物线的对称性，可得出点A、B关于直线对称，由点B的坐标得出点A的坐标． 【详解】解：∵B点的坐标是，抛物线的对称轴是， ∴点B到直线的距离为2 ∴点A到直线的距离也为2， ∴A点的坐标是． 故答案为：． 【变式1-3】若二次函数的图象与轴交于,两点，则点的坐标是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质直接求解即可．本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：∵二次函数为， ∴二次函数的对称轴直线为， ∵，关于对称轴直线为对称， ∴ 故答案为： 考点2 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 注意： 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根. 【考点2 图象法确定一元二次方程的根】 【典例2】下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … 0.75 1.16 … 那么下列各选项中可能是方程的近似根的是（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定抛物线与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根(由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的)． 【详解】解：由表可知当时，， 当时，， ∴抛物线与x轴的一个交点在点与之间，更靠近点， ∴方程的一个根的近似值约为， 故选：B． 【变式2-1】下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.14 0.62 … 那么关于x的方程的一个根的近似值可能是（    ） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过表中数据确定抛物线与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根(由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的)． 【详解】解：由表可知当时，， 当时，， 抛物线，与x轴的一个交点在点与之间，更靠近点， 方程的一个根的近似值约为， 故选：C． 【变式2-2】根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断关于的方程的一个解的范围是（    ） 0 1 2 7 2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由正变为负时，自变量的取值即可．利用二次函数和一元二次方程的性质． 【详解】解：观察表格可知：当时，；当时，， ∴方程的一个解的范围是． 故选：B． 【变式2-3】已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，注意数形结合的思想方法． 【详解】解∶由可得： ， 当时，， 当时，， 故的一个近似根， 距离x轴更近， 的一个近似根是， 的另一个近似根是 故答案为：或 考点3： 抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 【考点3已知函数值y求X的取值范围】 【典例3】已知函数的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得时，的取值范围是（       ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】令y=1，求解出x的两个值，则在这两个值所包含的范围内的x均符合题意要求. 【详解】解：令y=1，则，解得x=-1或3，则由图象可知当时，可使得，故选择C. 【点睛】本题结合一元二次方程考查了二次函数的知识. 【变式3-1】二次函数的部分图象如图所示，当函数值时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先根据二次函数图象的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，再根据函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当或时，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了图象法求不等式的解集，二次函数的对称性，正确求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为是解题的关键． 【变式3-2】如图，已知抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，若函数值大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）， ∵抛物线开口向下， ∴当-3＜x＜1时，y＞0． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 【变式3-3】已知二次函数，当时，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求出当时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：根据题意可得：当时，即， 解得：， ∵， ∴图象开口向上， ∵， ∴或 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键． 【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】 【典例4】如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点B，则的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系．先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【详解】 解：由题意可得和， 解得和， ∴一次函数和二次函数的解析式分别为和， 联立得，解得或， 当时，， ∴， 观察图象可得，当时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 故选：D． 【变式4-1】如图是二次函数的图象，使成立的 的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出抛物线与x轴的交点坐标，根据图象即可解决问题． 【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-3，0）和（1，0）， ∴时，x的取值范围为． 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会数形结合,根据图象确定自变量的取值范围，属于中考常考题型． 【变式4-2】如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于两点，已知点横坐标为，，当时，的取值范围是（    ）    A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】过点作轴，轴，则，证明，求出点的横坐标即可． 【详解】解：过点作轴，轴，则，    ， ， ， 点横坐标为，即， ， ，即的取值范围是：或， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点是解决本题的关键． 【变式4-3】已知一次函数和二次函数部分自变量和相应的函数值如表，当时，自变量的取值范围是(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5),−1<x<4时,y1>y2,从而得到当y2>y1时，自变量x的取值范围. 【详解】∵当x=0时,y1=y2=0;当x=4时,y1=y2=5； ∴直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)， 而−1<x<4时, y1>y2， ∴当y2>y1时，自变量x的取值范围是x<−1或x>4. 故选D. 【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义. 【考点5二次函数综合】 【典例5】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．直线与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； (3)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当面积最大时点P的坐标为及该面积的最大值为； (3)存在，或或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点P作于H，交直线于F，直线过点D作于G，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，设，则，求得，设面积，根据二次函数的性质即可得到结论； （3）利用勾股定理得，①当，在点C的上方时，②当，在点C的下方时，③当时，解方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，，， ， 解得， 物线的解析式为； （2）解：如图1，过点P作于H，交直线于F，直线过点D作于G， 设直线的解析式为， 直线经过，， ， 解得， 直线的解析式为， 点P是抛物线上的点且在直线上方， 设，则， ， 设面积为， ， ， 当最大值为时，，此时， 当面积最大时点P的坐标为及该面积的最大值为； （3）解：当时，， ， ， ①当，在点C的上方时， ， 点的坐标为； ②当，在点C的下方时， ， 点的坐标为； ③当时， 设，则， ， 点的坐标为； 综上所述，存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题． 【变式5-1】已知二次函数 (1)如果二次函数的图象与轴有两个交点，求的取值范围； (2)如果二次函数图象经过点，与轴交于点，直线与这个二次函数图象的对称轴交于点，求点的坐标； (3)在直线的上方的二次函数的图象上找一点，使的面积最大，求出最大的面积． 【答案】(1)； (2)点的坐标为． (3) 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练掌握抛物线与轴的交点取决于及待定系数法求函数解析式． （1）根据抛物线与轴有两个交点知△可得； （2）将点代入解析式求得，即可知抛物线解析式，从而得到其对称轴和轴的交点，再求出直线解析式，联立方程组可得点坐标； （3）依据题意，要使的面积最大，只要到最远，即为平行于的直线与抛物线相切时为所求，计算出此时到的距离即可得解． 【详解】（1）解：根据题意知，， 解得：； （2）解：将点代入，得：， 解得：， 抛物线解析式为， 则抛物线的对称轴为直线， 当时，，即点， 令直线解析式为， 将点、代入，得：，解得， 直线的解析式为， 由可得， 点的坐标为． （3）解：由题意，将看作底，当到最远时，的面积最大， 此时过平行于的直线与抛物线相切． 直线为， 可设过平行于与抛物线相切的直线为． 对于方程，即的． ． 直线为． 又直线为， 直线是直线向上平移个单位． 又直线与轴夹角为， 满足题意的到的距离为． 又， 的面积最大值． 【变式5-2】如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)当点P在直线的上方时， ①当的长最大时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数的解析式为，根据二次函数的图象经过点、和原点O．利用待定系数法求解，即可解题； （2）①设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据题意表示出点P的坐标为，点C的坐标为，得到，利用二次函数的最值得到的长最大时，的取值，即可得到点P的坐标； ②根据，得到，建立关于的等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过点、和原点O． ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：①设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， 过点P作x轴的垂线，垂足为， 点P的坐标为，点C的坐标为， ， 当时，的长最大，即有， ； ②当时， 即， ， ， 解得（舍去）或， ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，以及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、解一元二次方程等知识．注意待定系数法的应用和用m表示出的长是解题的关键． 一、单选题 1．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于x的一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论． 【详解】解：由图象可知：二次函数图象的对称轴为直线， ∵图象与轴的一个交点为， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于的一元二次方程的两实数根是 故选B． 2．在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程根的情况为（    ）    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的关系；依题意，关于的方程的根即抛物线与轴的交点坐标，根据函数图象即可求解． 【详解】解：由图象知，与轴无交点， 即关于的方程的方程没有实数根， 故选：C． 3．下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（    ） A．与直线有两个交点 B．开口方向向上 C．对称轴是直线 D．点在函数图象上 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的交点问题，掌握二次函数的性质是解题关键．联立函数和一次函数，再利用判别式即可判断A 选项；根据二次函数系数与图象得关系，即可判断B选项；将二次函数化为顶点式，即可判断C选项；求出时的函数值，即可判断D选项． 【详解】解：A、联立，整理得：， ， 二次函数的图象与直线有两个交点，选项正确； B、， 二次函数的图象开口方向向下，选项错误； C、， 对称轴是直线，选项错误； D、当时，， 即点不在函数图象上，选项错误； 故选：A 4．二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质等知识，认真观学会利用表格信息解决问题是解题的关键． 根据表格信息找出函数值时x的取值，然后借助函数图象即可得到答案． 【详解】解：由表格数据可得抛物线的对称轴为，开口向下， ∴当时，或， ∴当时，x的取值范围为或， 故选C． 5．二次函数v的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，理解抛物线与x轴的交点坐标利用数形结合思想解决问题是关键．根据函数图象，得到抛物线与x轴的两个交点坐标，再根据函数图象在x轴的上方部分求解即可． 【详解】解：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为且其对称轴为， 则抛物线与x轴的另一个交点为． 当时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知，由右边一段图象可知， 因此，或， 故选：D． 6．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键．由图知，抛物线与轴交于点，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与轴交于点， 将，代入，则， ， ∴原方程为 解得：或； 故选：B． 7．抛物线与x轴的一个交点为，，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时，y随x的增大而增大 C． D．方程一定有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴、y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，选项A不符合题意； 当时，y随x的增大而减少，选项B不符合题意； ∵抛物线与x轴的一个交点为，，且，开口向上， ∴当时，， ∴， ∴，选项C符合题意； 不能确定抛物线与直线是否有交点， ∴方程不一定有两个不相等的实数根，选项D不符合题意， 故选：C． 二、填空题 8．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点为，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线在轴上方的图象对应的的范围解答即可，正确读懂图象信息、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故答案为：． 9．若抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与轴交点问题．熟练掌握抛物线与轴有交点：，是解题的关键．根据抛物线与x轴有交点，，列式计算即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴有实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 10．二次函数图象与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，理解轴上点的坐标特征是解题关键．令，解得的值，即可获得答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，可得， 所以，该函数的图象与轴交点坐标为． 故答案为：． 11．将抛物线向右平移个单位，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．先根据二次函数的平移规律得到向右平移个单位后的抛物线解析式，再令，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位， 得到抛物线的解析式为：， 令，则， 平移后的抛物线与轴的交点的坐标是， 故答案为：． 12．如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标， ∵一次函数与二次函数的图象相交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 13．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是将问题转化为交点的横坐标的取值范围． 由得：，故抛物线在直线的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集，据此求解即可． 【详解】解：由得：， ∴抛物线在直线的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集， ∵两图象交于，两点， ∴， 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点的坐标和再证明四边形是平行四边形，得出，结合两点之间线段最短，故四边形的周长是，运用两点距离公式列式计算，得出，代入计算即可作答． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点， ∴当时， ∴点的坐标是， 当时，则， ∴， 设抛物线与轴的另外一个交点为M， ∴ ∴对称轴； 则 过点M作轴，且， ∵轴，线段CD在对称轴上， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 连接与对称轴相交于一点，即为点D的位置，再连接 ∵对称轴，线段CD在对称轴上， ∴ ∴ 此时四边形周长有最小值 即 ∵ ∴ 则 则 ∴四边形周长的最小值为 故答案为： 三、解答题 15．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求的面积； (2)在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，使是直角三角形，点坐标为或或或 【分析】（1）先求出，，，，求出直线的解析式为，作轴交于，则，，再根据，即可得解； （2）设，则，，，分三种情况分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：令， 解得或， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴交于，    当时，，即， ∴， ∴； （2）解：存在点E，使是直角三角形，理由如下： 设， ∴，，， 当为直角三角形的斜边时，， 解得， ∴或； 当为直角三角形的斜边时，， 解得， ∴； 当为直角三角形的斜边时，， 解得， ∴； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—面积问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 32 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3 二次函数与一元二次方程 【考点1 二次函数与x轴交点问题】 【考点2 图象法确定一元二次方程的根】 【考点3已知函数值y求X的取值范围】 【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】 【考点5二次函数综合】 考点1 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 注意： 　二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.． 【考点1 二次函数与x轴交点问题】 【典例1】函数与x轴的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为（） A． B． C． D． 【变式1-1】如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，若B点的坐标是，则A点的坐标是 ． 【变式1-3】若二次函数的图象与轴交于,两点，则点的坐标是 . 考点2 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 注意： 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根. 【考点2 图象法确定一元二次方程的根】 【典例2】下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … 0.75 1.16 … 那么下列各选项中可能是方程的近似根的是（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【变式2-1】下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.14 0.62 … 那么关于x的方程的一个根的近似值可能是（    ） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【变式2-2】根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断关于的方程的一个解的范围是（    ） 0 1 2 7 2 A． B． C． D． 【变式2-3】已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 考点3： 抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 【考点3已知函数值y求X的取值范围】 【典例3】已知函数的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得时，的取值范围是（       ） A． B． C． D．或 【变式3-1】二次函数的部分图象如图所示，当函数值时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式3-2】如图，已知抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，若函数值大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式3-3】已知二次函数，当时，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】 【典例4】如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点B，则的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【变式4-1】如图是二次函数的图象，使成立的 的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于两点，已知点横坐标为，，当时，的取值范围是（    ）    A． B．或 C．或 D． 【变式4-3】已知一次函数和二次函数部分自变量和相应的函数值如表，当时，自变量的取值范围是(   ) A． B． C．或 D．或 【考点5二次函数综合】 【典例5】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．直线与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； (3)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【变式5-1】已知二次函数 (1)如果二次函数的图象与轴有两个交点，求的取值范围； (2)如果二次函数图象经过点，与轴交于点，直线与这个二次函数图象的对称轴交于点，求点的坐标； (3)在直线的上方的二次函数的图象上找一点，使的面积最大，求出最大的面积． 【变式5-2】如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)当点P在直线的上方时， ①当的长最大时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 一、单选题 1．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于x的一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D． 2．在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程根的情况为（    ）    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 3．下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（    ） A．与直线有两个交点 B．开口方向向上 C．对称轴是直线 D．点在函数图象上 4．二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 5．二次函数v的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 6．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　）    A．， B．， C．， D．， 7．抛物线与x轴的一个交点为，，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时，y随x的增大而增大 C． D．方程一定有两个不相等的实数根 二、填空题 8．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解是 ． 9．若抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 10．二次函数图象与轴交点坐标为 ． 11．将抛物线向右平移个单位，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 12．如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为 ． 13．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ． 三、解答题 15．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为    (1)求的面积； (2)在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$