5.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

5.2.1 二次函数的图象和性质 【考点1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】 【考点3 二次函数y=ax²图像性质】 【考点4 二次函数y=ax²平移规律】 【考点5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】 【考点6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【考点7 二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】 考点 1 y=ax²的图像画法： （1） 应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 【问题1】在平面直角坐标系中画出y＝x2的图象并简单描述其性质。 【解答】解：（1）列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … （2）描点、连线： ． 二次函数y＝x2 的性质：（1）y＝-x2 图象是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点. 【问题2】在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2函数的图象． 【解答】解：列表得： ﹣2 ﹣1 0 1 2 y＝﹣x2 ﹣4 ﹣1 0 ﹣1 ﹣4 描点、连线可得图象为： ． 二次函数y＝-x2 的性质：（1）y＝-x2图象是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点. 总结： y=ax²的图像的性质 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax²来说， 越大，抛物线的开口越小 【考点1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】 【典例1】二次函数的图象是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 【答案】 抛物线 轴 向下 【分析】本题考查二次函数的性质．熟记知识点是关键． 【详解】图象为抛物线；对称轴为轴；顶点坐标为；，开口向下； 故答案为：抛物线；轴；；向下． 【变式1-1】抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质求解． 【详解】解：抛物线的顶点为； 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1-2】若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（    ） A． B．（ C． D． 【答案】A 【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴若图象经过点，则该图象必经过点． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键． 【考点2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】 【典例2-1】已知二次函数y1=﹣3x2，，，它们的图象开口由小到大的顺序是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 【答案】C 【分析】抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值大小确定，绝对值越大，开口越小． 【详解】∵|-3|＞||＞|-|，二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小， ∴y1＜y3＜y2， 故选C． 【点睛】考查二次项系数与图象开口的关系，解题关键是利用了二次项系数的绝对值越大，函数值随x值的增大变化越大，抛物线开口越小． 【典例2-2】已知抛物线开口向上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数开口向上二次项系数即可求出答案． 【详解】解：由 题意可知：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质． 【变式2-1】抛物线开口方向（　　） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据当时，抛物线的开口向上；当时，抛物线的开口向下即可判定． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上， 故选：A 【变式2-2】如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①；②；③；④．比较的大小，用“”连接为 ．    【答案】 【分析】根据抛物线的开口方向和大小解答． 【详解】解：由抛物线的开口方向和大小可知，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象，掌握抛物线的开口越大，二次项系数的绝对值越小是解题的关键． 【变式2-3】把图中图象的号码，填在它的函数式后面：    （1）的图象是 ； （2）的图象是 ； （3）的图象是 ； （4）的图象是 （填序号①，②等）． 【答案】 ③ ① ④ ② 【分析】先根据二次项系数的符号分类，（1）、（2）二次项系数大于0，开口向上，（3）、（4）二次项系数小于0，开口向下，再根据越大，开口越小进行判断即可得到答案． 【详解】解：（1）、（2）二次项系数都大于0，那么开口都应向上，但，那么（1）应对应③，（2）应对应①； （3）、（4）的二次项系数都小于0，那么开口都应向下，但，那么（3）应对应④，（4）应对应②． 依次填③，①，④，②， 故答案为：③，①，④，②． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，当时，图象开口向上，当时，图象开口向下，且越大，开口越小，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【考点3 二次函数y=ax²图像性质】 【典例3】关于函数y＝－3x2的性质的叙述，正确的是（    ）. A．顶点是原点 B．y有最小值 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x<0时，y随x的增大而减小 【答案】A 【分析】二次函数(a,b,c为常数,且a≠0)且a决定函数的开口方向,a＞0时,开口方向向上,a＜0时,开口方向向下.在顶点处,y具有最大或最小值,在对称轴的两侧,y随x的变化相反. 【详解】当x＝0时，y＝0，故A正确；由于a＝－3＜0，故函数有最大值，故B错误；当x＞0时，由于函数图象开口向下，所以y随x的增大而减小，故C错误，同理D错误. 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质,熟练掌握各种形式的二次函数的性质是解题的关键. 【变式3-1】关于函数y＝36x2的叙述，错误的是（　　） A．图象的对称轴是y轴 B．图象的顶点是原点 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．y有最大值 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质得出函数y＝36x2的对称轴及其增减性即可得出结论． 【详解】解：∵函数y＝36x2的顶点在原点， ∴其对称轴是y轴，顶点是原点，故A、B正确； ∵函数y＝36x2的开口向上，顶点是原点， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大，y有最小值，故C正确，D错误． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2（a≠0）的顶点在原点，对称轴是y轴是解题的关键． 【变式3-2】抛物线的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】根据抛物线的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的图象得对称轴为y轴，顶点坐标为原点，开口向上， ∴抛物线的图象一定经过第一、二象限． 故选：A 【点睛】本题主要查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式3-3】若点A（2，m）在抛物线y=x2上，则m的值为（      ） A．4 B．±2 C．2 D．±4 【答案】A 【分析】把A点坐标代入抛物线解析式，可求得m． 【详解】∵点A（2，m）在抛物线上， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数图象上的点与函数解析式的关系，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 【变式3-4】抛物线的共同性质是（    ） A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标以及函数的最值逐一探讨得出答案即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，有最小值，对称轴为y轴，顶点为原点； 抛物线的开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为原点； 抛物线的开口向上，有最小值，对称轴为y轴，顶点为原点； 故可知，抛物线的共同性质是顶点是原点． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解答关键是应用数形结合思想解题． 【考点4 二次函数y=ax²平移规律】 【典例4】抛物线y＝2x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为 ． 【答案】y=2(x+1)2+2 【分析】先得到抛物线y＝2x2的顶点坐标(0,0)，再根据点平移的规律得到点(0,0)平移后的对应点的坐标为(−1,2)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0）， 把点（0，0）先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到（-1，2） 所以平移后所得的抛物线的解析式y=2(x+1)2+2， 故答案为: y=2(x+1)2+2 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【变式4-1】若将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到的抛物线是 ． 【答案】y=2（x+1）2+2（或y=2x2+4x+4） 【详解】试题分析：∵函数y=2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后抛物线顶点坐标为（-1，2）. ∴得到的抛物线是y=2（x+1）2+2． 考点：二次函数图象与几何变换． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的表达式是：． 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握左加右减，上加下减是解题关键． 【变式4-3】把函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的关系式是 ． 【答案】 【分析】先确定抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到顶点平移后所得对应点的坐标，然后利用顶点式写出平移后所得抛物线的函数关系式． 【详解】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（2，-1），所以平移后所得抛物线的函数关系式是y=2（x-2）2-1． 【点睛】本题考查了二次函数的几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【考点5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】 【典例5】已知点，，三点都在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近． 先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离y轴的远近得到、、的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ，，， ∴点C离y轴最远，点B离y轴最近， ∵抛物线开口向上， ． 故选：B． 【变式5-1】点，在抛物线上，则 （填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】< 【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线，抛物线的开口向下，比较即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线，抛物线的开口向下， 故答案为：<． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质等知识点，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键． 【变式5-2】已知二次函数的图象上有两点，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A和点B的横坐标，结合给出的纵坐标的大小，判断a的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， ∵，且， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数固象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键． 【变式5-3】已知点，都在函数的图象上，则与大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式求出与的值，比较大小即可． 【详解】解：把，代入得， ，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是利用自变量的值求出函数值． 【考点6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【典例6】如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． （2）一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 【变式6-1】在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 解法一：分和，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可； 解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误． 解法二：A项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与y轴的交点，知，故A不符合题意； B项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故B符合题意； C项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故C不符合题意； D项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故D不符合题意． 故选：B． 【变式6-2】已知一次函数y＝ax＋b和二次函数，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对四个选项进行逐个分析，即可得出答案． 【解答】解：由一次函数经过一、三、四象限可得， 由二次函数开口向下可得，两者相矛盾， 选项不符合题意； 由一次函数经过一、二、三象限可得与已知相矛盾， 选项不符合题意； 由一次函数经过二、三、四象限可得，， 由抛物线开口向下可知， 选项符合题意； 由一次函数经过一、二、四象限可得，与已知相矛盾， 选项不符合题意； 故选：． 【变式6-3】图，在正方形中，已知：点A，点B在抛物线上，点C，点D在x轴上． (1)求点A的坐标； (2)连接交抛物线于点P，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标为 【分析】（1）根据题意设，则，代入抛物线的解析式即可求得，得到； （2）根据待定系数法求得直线的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组即可求得P点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可设，则， ∵点A在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴； （2）解：设直线的解析式， ∵，， ∴，解得， ∴直线为， 由解得或， ∴P点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是解题的关键． 考点2：二次函数y=ax²的图像及性质的应用 二次函数y=ax²的图象关于y轴对称，因此图象左右两部分折叠可以重合，在比较二次函数大小时，我们可以根据图中点具有的对称性转变到同一变化区域；根据图象中函数值高低去比较；对于不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解。 【考点7 二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】 【典例7】如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是（　　）    A．4π B．2π C．π D．无法确定 【答案】B 【分析】据函数与函数的图象关于轴对称，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可． 【详解】解：是函数的图象，是函数的图象，且当相等时，两个函数的函数值互为相反数， 函数的图象与函数的图象关于轴对称， 阴影部分面积即是半圆面积， 面积为：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键． 【变式7-1】二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】连结交于，如图，根据菱形的性质得，，利用含度的直角三角形三边的关系得，设，则，，，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质得出点坐标． 【详解】解：连结交于，如图， 四边形为菱形， ， ， ， ， 设，则， ，， 把，代入 得， 解得舍去，， ，， 故点坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出的长是解题关键． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据二次函数性质可得出点 的坐标， 求得直线 为 ，联立方程求得 的坐标，即可求得 的坐标，同理求得 的坐标，即可求得 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点 的坐标； 【详解】解：∵A点坐标为， ∴直线为， ∵， ∴直线为， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴直线为， 解得或， ∴， ∴ …， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，若，则a的值是 ． 【答案】 【分析】 将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值 【详解】 解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 一、单选题 1．若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数解析式的求法，以及二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 把代入得的值，然后把各点坐标代入二次函数解析式判断是否在图象上即可得到答案． 【详解】解：把代入得， 解得： 所以二次函数解析式：． A．当时，，故在函数图象上，但因题目中已给出，重复，故不符合题意； B． 当时，，故不在函数图象上； C． 当时，，故在函数图象上； D． 当时，，故不在函数图象上； 故选C． 2．下列各函数中，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性．根据一次函数的时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；二次函数的，在对称轴的左侧，随的增大而减小、在对称轴的右侧，随的增大而增大，，在对称轴的左侧，随的增大而增大、在对称轴的右侧，随的增大而减小；反比例函数的时，随的增大而减小，时，随的增大而增大进行判断即可求解． 【详解】解：A、中，在每一象限内，随的增大而减小，A不符合题意； B、中，随的增大而减小，B不符合题意； C、中，在对称轴的左侧，随的增大而增大、在对称轴的右侧，随的增大而减小，C不符合题意； D、中，随的增大而增大，D符合题意． 故选：D． 3．在同一坐标系内，，，的图象，它们的共同特点是（   ） A．都是关于原点对称，抛物线的开口方向向上 B．都是关于轴对称，随增大而增大 C．都是关于轴对称，随增大而减少 D．都是关于轴对称，抛物线顶点都是原点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键；由二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：对于二次函数，其图象对称轴为y轴，顶点为原点；当时，开口向上，在y轴左边，函数值随自变量的增大而减小，在y轴右边，函数值随自变量的增大而增大；当时，开口向下，在y轴左边，函数值随自变量的增大而增大，在y轴右边，函数值随自变量的增大而减小；由此选项A、B、C均错误，选项D正确； 故选：D． 4．如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求不规则图形的面积，二次函数的性质，根据对称性，得到阴影部分的面积为半圆的面积，求解即可． 【详解】解：∵是函数的图象，是函数的图象， ∴，关于轴对称， ∴轴上方的阴影部分的面积等于轴下方圆内空白处的面积， ∴阴影部分的面积为半圆的面积，即为； 故选：B． 5．若抛物线的开口向下，则m的值为（    ） A． B．1 C．2 D．1或 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的定义，利用二次项的系数小于零开口向下，二次项的次数为2得出方程组是解题关键．根据二次函数的二次项的系数小于零开口向下，二次项的次数为2，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】 解：由抛物线的开口向下，得： ， ，（不符合题意要舍去）， 故选：A． 6．图中与抛物线，，，，的图象对应的是（    ） A．①②④③ B．②①④③ C．①②③④ D．②①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象．抛物线的形状与和有关，根据的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【详解】解：∵①②开口向上，则， ∵②的开口最宽， ∴是②，是①， ∵③④开口向下，则， ∵④的开口最宽， ∴是④，是③， 综上，依次②①④③， 故选：B． 7．如图，正方形的四个顶点坐标依次为，，，，若抛物线的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键求出抛物线经过两个特殊点时的a的值． 【详解】解：当抛物线经过时，， 当抛物线经过时，， 观察图象可知， 故选A． 8．已知二次函数，下列说法正确的是（      ） A．该函数图象经过第一、三象限 B．函数图象有最高点 C．函数图象的对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案． 【详解】∵， ∴，抛物线的开口向下，顶点坐标是，经过三、四象限，故选项A错误； 函数图象有最高点，故选项B正确； 对称轴是，故选项C错误； 抛物线的开口向下，对称轴是，当时，y随x的增大而增大，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 9．函数与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解： A. 函数图形可得，则 开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B. 函数图形可得，则 开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确； C. 函数图形可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D. 函数图形可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选B． 二、填空题 10．已知抛物线经过点和，则 （填“>” “<”或“=”）． 【答案】> 【分析】将和代入中，求出和，再进行比较即可． 本题考查二次函数的图象上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键． 【详解】∵抛物线经过点和， ， ， ． 故答案为：> 11．点在二次函数的图象上，则 ，点A关于x轴的对称点B的坐标是 ，点A关于y轴的对称点C的坐标是 ，B，C两点中在抛物线上的点是 ． 【答案】 点C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．把点代入中，进行计算可求出的值，再根据关于轴、轴对称的点的坐标特征，以及抛物线的对称轴是轴，即可解答． 【详解】解：把点代入中得： ， 点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标是，点关于轴的对称点的坐标是， 抛物线的对称轴是轴，点与点关于轴对称， ，两点中在抛物线上的点是点， 故答案为：；；；点． 12．已知抛物线开口向上，抛物线开口向下，且抛物线 比抛物线开口大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：抛物线开口向上，抛物线开口向下，且抛物线比抛物线开口大， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 三、解答题 13．已知二次函数．      (1)填写下表，在图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． … … … … (2)利用图象写出当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （）观察函数图象求解即可． 【详解】（1）根据画函数图象的步骤： 列表： … … … … 描点， 连线； 如图：    （2）根据图象可知：当时，， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数图象及其性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等： （1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证； （2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立． 【详解】（1）证明：点是在该抛物线上的动点， 设点P的坐标为， ， ； ，直线的解析式是， ， ； （2）解： ， 点在抛物线的上方， 由（1）知， ，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ，当时，， 的最小值为，此时点的坐标为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2.1 二次函数的图象和性质 【考点1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】 【考点3 二次函数y=ax²图象性质】 【考点4 二次函数y=ax²平移规律】 【考点5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】 【考点6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【考点7 二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】 考点 1 y=ax²的图像画法： （1） 应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 【问题1】在平面直角坐标系中画出y＝x2的图象并简单描述其性质。 【解答】解：（1）列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … （2）描点、连线： ． 二次函数y＝x2 的性质：（1）y＝-x2 图象是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点. 【问题2】在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2函数的图象． 【解答】解：列表得： ﹣2 ﹣1 0 1 2 y＝﹣x2 ﹣4 ﹣1 0 ﹣1 ﹣4 描点、连线可得图象为： 二次函数y＝-x2 的性质：（1）y＝-x2图象是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点. 总结： y=ax²的图像的性质 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax²来说， 越大，抛物线的开口越小 【考点1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】 【典例1】二次函数的图象是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 【变式1-1】抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（    ） A． B．（ C． D． 【考点2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】 【典例2-1】已知二次函数y1=﹣3x2，，，它们的图象开口由小到大的顺序是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 【典例2-2】已知抛物线开口向上，则的取值范围是 ． 【变式2-1】抛物线开口方向（　　） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【变式2-2】如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①；②；③；④．比较的大小，用“”连接为 ．    【变式2-3】把图中图象的号码，填在它的函数式后面：    （1）的图象是 ； （2）的图象是 ； （3）的图象是 ； （4）的图象是 （填序号①，②等）． 【考点3 二次函数y=ax²图像性质】 【典例3】关于函数y＝－3x2的性质的叙述，正确的是（    ）. A．顶点是原点 B．y有最小值 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x<0时，y随x的增大而减小 【变式3-1】关于函数y＝36x2的叙述，错误的是（　　） A．图象的对称轴是y轴 B．图象的顶点是原点 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．y有最大值 【变式3-2】抛物线的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【变式3-3】若点A（2，m）在抛物线y=x2上，则m的值为（      ） A．4 B．±2 C．2 D．±4 【变式3-4】抛物线的共同性质是（    ） A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点 【考点4 二次函数y=ax²平移规律】 【典例4】抛物线y＝2x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为 ． 【变式4-1】若将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到的抛物线是 ． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的表达式是 ． 【变式4-3】把函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的关系式是 ． 【考点5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】 【典例5】已知点，，三点都在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】点，在抛物线上，则 （填“＞”，“＜”或“＝”） 【变式5-2】已知二次函数的图象上有两点，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知点，都在函数的图象上，则与大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【典例6】如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1) 求两个函数的解析式； (2) 求的面积． 【变式6-1】在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】已知一次函数y＝ax＋b和二次函数，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】图，在正方形中，已知：点A，点B在抛物线上，点C，点D在x轴上． (1)求点A的坐标； (2)连接交抛物线于点P，求点P的坐标． 考点2：二次函数y=ax²的图像及性质的应用 二次函数y=ax²的图象关于y轴对称，因此图象左右两部分折叠可以重合，在比较二次函数大小时，我们可以根据图中点具有的对称性转变到同一变化区域；根据图象中函数值高低去比较；对于不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解。 【考点7 二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】 【典例7】如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是（　　）    A．4π B．2π C．π D．无法确定 【变式7-1】二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则点的坐标为 ． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为 ．    【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，若，则a的值是 ． 一、单选题 1．若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（　　　） A． B． C． D． 2．下列各函数中，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 3．在同一坐标系内，，，的图象，它们的共同特点是（   ） A．都是关于原点对称，抛物线的开口方向向上 B．都是关于轴对称，随增大而增大 C．都是关于轴对称，随增大而减少 D．都是关于轴对称，抛物线顶点都是原点 4．如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 5．若抛物线的开口向下，则m的值为（    ） A． B．1 C．2 D．1或 6．图中与抛物线，，，，的图象对应的是（    ） A．①②④③ B．②①④③ C．①②③④ D．②①③④ 7．如图，正方形的四个顶点坐标依次为，，，，若抛物线的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 8．已知二次函数，下列说法正确的是（      ） A．该函数图象经过第一、三象限 B．函数图象有最高点 C．函数图象的对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小 9．函数与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A．B． C． D． 二、填空题 10．已知抛物线经过点和，则 （填“>” “<”或“=”）． 11．点在二次函数的图象上，则 ，点A关于x轴的对称点B的坐标是 ，点A关于y轴的对称点C的坐标是 ，B，C两点中在抛物线上的点是 ． 12．已知抛物线开口向上，抛物线开口向下，且抛物线 比抛物线开口大，则的取值范围是 ． 三、解答题 13．已知二次函数．      (1)填写下表，在图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． … … … … (2)利用图象写出当时，的取值范围是___________． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$