第15讲 直角三角形全等的判定 （1个知识点+2种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第15讲 直角三角形全等的判定 （1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 【例1】（2021秋•诸暨市期中）如图所示，已知，，垂足分别为，，则在下列条件中选择一组，可以判定的是 　　（填入序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【变式1】（2024春•浑南区期中）如图，已知，，．判定和全等的依据是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•柯桥区期中）两个直角三角形中： ①一锐角和斜边对应相等； ②斜边和一直角边对应相等； ③有两条边相等； ④两个锐角对应相等． 能使这两个直角三角形全等的是　　 A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 【变式3】（2022秋•诸暨市期中）如图，在与中，已知，为了使，需添加的条件是 　　（不添加字母和辅助线）． 【变式4】（2023秋•拱墅区期中）如图，点、、、在一条直线上，于，于，，．求证：． 【变式5】（2022秋•长兴县期中）已知：如图，，为的高，为上一点，交于且有．求证：． 经典题型汇编 题型一、用HL证全等（HL） 1．（20-21八年级上·浙江·阶段练习）如图，若要用“HL”证明，则还需补充条件（    ） A． B． C． D．以上都不正确 2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理．如图2，小明连结后发现． （1） ； （2）当四边形的面积为22时，正方形的面积为 ． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，连结交于点E，． (1)求证：． (2)求证：． 题型二、全等的性质和HL综合（HL） 4．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 5．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，若，，则的长为 ． 6．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知，求作： (1)尺规作图：的角平分线； (2)尺规作图：边的垂直平分线，与交于D点，与射线交于E点； (3)用三角板过点E画于G点，过点E画的延长线于点．求证：． 试题练习 一、单选题 1．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形中，，，能判断的依据是（    ） A．ASA B．SAS C．AAS D．HL 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，有下列结论：①平分；②平分；③平分；④平分．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．只有① 3．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，AD是的平分线，，过D点作于点E，交于点F，则下列结论：①②③ ④， 其中正确结论的序号有（    ）      A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 4．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 5．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M，N作，OB的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，，平分交于点E，则的长是（    ）． A．3 B．5 C． D．6 8．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（　　） A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④ 9．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）已知中，，，点O是两个底角的角平分线交点，点P在外，，，，的面积分别记为．若，则线段长的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 10．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知，点是的平分线上的一点，点，分别是射线和射线上的动点，且，，下列结论中正确的是（    ） A．是一个定值 B．四边形的面积是一个定值 C．当时，的周长最小 D．当时， 二、填空题 11．（21-22八年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△BED的周长是 ． 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为 .    13．（2023八年级上·浙江·专题练习）和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为 ． 14．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，已知平分于，于，且．其中，则 ． 15．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，于点D，在上取点F，使得，连接并延长交于点E，则 ． 16．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图：在中，，，，是的角平分线． （1）则 ； （2）若点是线段上的一个动点，从点以每秒的速度向运动 秒钟后是直角三角形． 三、解答题 17．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，D，E分别在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)若，求． 18．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，点C为线段的中点，分别过点A、B作的垂线（点D、E在的同侧），连接，且．求证：．    19．（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且．求证：．完成下面的证明过程． 证明： ，， __________． 是的中点， __________， 又， __________． ． 20．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，于点D，F为上一点，连结并延长交于点E，使．    (1)求证：． (2)若，求的长． 21．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在网格上有一个． (1)画，使它与关于直线l成轴对称； (2)在直线l上找一点P，使点P到AB的距离之和最短； (3)在直线l上找一点Q，使为直角． 22．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知：如图，在中，于点D，E是上一点，连结交点于点F，，． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，，求的长． 23．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，是的外角的平分线上一点，． (1)求证：； (2)若是等腰直角三角形，，，与交于点，求证：． 24．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 直角三角形全等的判定 （1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 【例1】（2021秋•诸暨市期中）如图所示，已知，，垂足分别为，，则在下列条件中选择一组，可以判定的是 　①②③　（填入序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【分析】根据，，可得，然后再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【解答】解：，， ， 选择①可利用定理证明； 选择②可得，可利用定理证明； 选择③可利用定理证明； 选择④不能定理证明． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式1】（2024春•浑南区期中）如图，已知，，．判定和全等的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】根据证明和全等即可． 【解答】解：，， ， 在和中， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．以及三角形全等的性质． 【变式2】（2023秋•柯桥区期中）两个直角三角形中： ①一锐角和斜边对应相等； ②斜边和一直角边对应相等； ③有两条边相等； ④两个锐角对应相等． 能使这两个直角三角形全等的是　　 A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 【分析】根据全等三角形的判定方法及“”定理，判断即可． 【解答】解：①有斜边和一个锐角对应相等，可以利用证明全等，故①符合题意； ②有斜边和一条直角边对应相等，可以利用证明全等，故②符合题意； ③有两条边相等，没有表明是对应边相等，不一定可以利用或证明全等，故③不符合题意； ④有两个锐角对应相等，不能利用证明全等，故④不符合题意； 综上分析可知①②正确，故符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“”定理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 【变式3】（2022秋•诸暨市期中）如图，在与中，已知，为了使，需添加的条件是 　（答案不唯一）　（不添加字母和辅助线）． 【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答． 【解答】解：，， 再添加：， ， ，， 再添加：， ， ，， 再添加：， ， ，， 再添加：， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 【变式4】（2023秋•拱墅区期中）如图，点、、、在一条直线上，于，于，，．求证：． 【分析】先根据直角三角形全等的判定方法证得，则，即． 【解答】证明：，， ． 在和中， ， ． ． ． 即：． 【点评】本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、（直角三角形）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 【变式5】（2022秋•长兴县期中）已知：如图，，为的高，为上一点，交于且有．求证：． 【分析】由为边上的高得到，根据等腰三角形的判定推出，再根据“”可判断． 【解答】证明：是的高， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【点评】本题主要考查了直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关键． 经典题型汇编 题型一、用HL证全等（HL） 1．（20-21八年级上·浙江·阶段练习）如图，若要用“HL”证明，则还需补充条件（    ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】B 【分析】根据“HL”证明，因图中的斜边为公共边，只需再补充一条直角边即可． 【详解】解：由图可知：为和的斜边，也是公共边， 根据“HL”定理，证明，只需再补充一条直角边相等即可， 即或， 故选：B． 【点睛】本题考查的是利用“HL”证明直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握“HL”判定定理． 2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理．如图2，小明连结后发现． （1） ； （2）当四边形的面积为22时，正方形的面积为 ． 【答案】 3 40 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键． （1）过点H作于点M，根据得到，四边形是矩形，继而得到．证明得到，结合正方形的性质，得到，计算即可． （2）根据(1)，设，则，， 根据得到，继而得到，，利用图形面积分割法计算即可． 【详解】（1）过点H作于点M， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴． ∵四边形，四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． （2）根据（1），设，则，， 根据 ∴， ∴，， ∵四边形的面积为22， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：40． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，连结交于点E，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据等角对等角证明，进而证明． （2）根据全等三角形的性质可证，结合，根据等腰三角形三线合一即可证明． 【详解】（1）证明：∵． ∴． 又∵，， ∴． （2）证明：∵． ∴． ∴为的角平分线． ∵， ∴，即． 题型二、全等的性质和HL综合（HL） 4．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：∵E、F分别是上的任意点， ∴与不一定相等，故①错误； ∵于点于点D， ∴， ∵， ∴的另一个条件是， ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故选C 【点睛】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 5．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质；由为角平分线，利用角平分线定理得到，再由，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得出，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，由，即可求解． 【详解】解：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， 故答案：. 6．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知，求作： (1)尺规作图：的角平分线； (2)尺规作图：边的垂直平分线，与交于D点，与射线交于E点； (3)用三角板过点E画于G点，过点E画的延长线于点．求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】 （1）根据尺规作图-作已知角的平分线等知识作图即可求解； （2）根据尺规作图-作线段的垂直平分线等知识作图即可求解； （3）根据角平分线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据“斜边，直角边”证明，即可得到． 【详解】（1）解：如图，射线即为的角平分线； （2）解：如图，直线即为边的垂直平分线； （3）证明：如图，连接， ∵为的角平分线，，， ∴，， ∵时线段的垂直平分线，E在上， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了尺规作图-作已知角的角平分线和作已知线段的垂直平分线，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，熟知相关知识并灵活应用是解题关键． 试题练习 一、单选题 1．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形中，，，能判断的依据是（    ） A．ASA B．SAS C．AAS D．HL 【答案】D 【分析】由，，又因为，即可由定理判定两三角形全等． 【详解】解：∵AB=AD， 又∵ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：、、、、是解题的关键． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，有下列结论：①平分；②平分；③平分；④平分．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．只有① 【答案】B 【分析】先证明得到，，，即可判断①②③；根据现有条件无法证明④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，， ∴平分，平分，故①正确，②正确； ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴平分，故③正确； 根据现有条件无法证明，即无法证明平分，故④错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等几何知识，熟知全等三角形的性质与判定定理，线段的垂直平分线的判定定理是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，AD是的平分线，，过D点作于点E，交于点F，则下列结论：①②③ ④， 其中正确结论的序号有（    ）      A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质；由“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，由“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”可得，于是可得结论②；设，交于点，在和中，由和对顶角相等，结合三角形内角和可得结论③；利用在等腰三角形中求得表达式，利用∠BAC的补角和角平分线的定义求得的表达式，结合结论③可得结论④； 【详解】解：∵AD是的平分线，过D点作于点E，交于点F，， ∴， 又∵，， ∴，即①正确， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即②正确， 如下图设，交于点，    ∵，， ∴， ∴，即③正确， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴，即④正确， 综上所述①②③④正确， 故选： D． 4．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“”的判定方法进行判定即可． 【详解】解：， 理由是：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了根据“”判定三角形全等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M，N作，OB的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 根据全等三角形的判定方法分别对进行逐一分析作答即可 【详解】 解：如图 当因为①，； 在和中， ， 所以； 当②，； 在和中， ， 所以； 当因为③，； 在和中， ， 所以； 当因为④，； 在和中， ， 所以； 即能判定的条件的个数为4． 故选：D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解题的关键． 7．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，，平分交于点E，则的长是（    ）． A．3 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】根据题意画图，先利用勾股定理求得，过E作于D，根据角平分线的性质得到，进而证明得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过E作于D， ∵在中，，，， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的证明以及角平分线的性质，会利用勾股定理建立方程求解是解答的关键． 8．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（　　） A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，利用“HL”证明可得对应角,全等三角形对应边相等可得,然后求出可得出答案． 【详解】∵平分, ∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确． ∵,平分， ∴，且（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），故②正确． ∵，， ∴， 在和中， ∴≌（HL）， ∴故③正确，， ∴，即，故④正确， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记各性质是解题的关键． 9．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）已知中，，，点O是两个底角的角平分线交点，点P在外，，，，的面积分别记为．若，则线段长的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】当点P在的左侧时，根据，可得，过点A作于点D，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，，从而得到，过点P作的平行线，过点O作于点R，交于点T，连接，则，可得点P的运动轨迹是直线，再由，可得，再由点O是两个底角的角平分线交点，平分，可得过点O，继而得到，可证得，可得，然后在中，根据勾股定理可得，从而得到，再由，可得的最小值为；当点P在的右侧时，同理的最小值为；当点P在直线的下方时，同理的最小值为，即可求解． 【详解】解：当点P在的左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点A作于点D， ∵，， ∴，平分， ∴， ∴， ∴， 过点P作的平行线，过点O作于点R，交于点T，连接，则， ∵的面积是定值， ∴点P的运动轨迹是直线， ∵， ∴， ∵点O是两个底角的角平分线交点，平分， ∴过点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得：， 即， ∴， ∵， ∴的最小值为； 当点P在的右侧时，同理的最小值为； 当点P在直线的下方时，同理的最小值为； ∵． ∴的最小值为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答，根据题意得到点P的运动轨迹是解题的关键． 10．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知，点是的平分线上的一点，点，分别是射线和射线上的动点，且，，下列结论中正确的是（    ） A．是一个定值 B．四边形的面积是一个定值 C．当时，的周长最小 D．当时， 【答案】C 【分析】过点作于点，于点，于点，证明，得出，，求出，得出是一个定值；根据，得出，说明四边形的面积是一个定值；根据，得出当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，得出当时，最小，的周长最小；根据时，，得出，求出，求出一定与不垂直． 【详解】解：A、过点作于点，于点，于点，如图所示： 点是的平分线上的一点， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 即是一个定值；当、关于对称时，，不固定， 故错误； B、， ， 即， 四边形的面积是一个定值， 四边形的面积是一个定值，当、关于对称时，，不固定， 四边形的面积不固定， 故错误； C、如图， ，， ，， ， ， 由勾股定理得，， ， ， 当最小时，的周长最小， 垂线段最短， 当时，最小，的周长最小， 故正确； D、时，， ， 一定与不垂直，故错误． 故选：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，证明． 二、填空题 11．（21-22八年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△BED的周长是 ． 【答案】8cm 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长，即可得解． 【详解】解：，平分，， ， 在和中，， ， ， 的周长， ， ， ， ， ， ， 的周长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟记性质并求出的周长． 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为 .    【答案】 【分析】先证明，然后得到求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 13．（2023八年级上·浙江·专题练习）和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，分、都在三角形内部，、有一个在三角形外部两种情况，再证明 进行求解是解题的关键． 【详解】解：若、都在三角形内部，如图1所示，      ∵、分别为、边的高， ∴，都为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴； 若、有一个在三角形外部，如图2所示，    ∵、分别为、边的高， ∴，都为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 14．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，已知平分于，于，且．其中，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了角平分线的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质，由角平分线的性质定理可得，证明得出，求出，最后由勾股定理进行计算即可，解题的关键是灵活运用所学知识点解决问题． 【详解】解：平分，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 15．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，于点D，在上取点F，使得，连接并延长交于点E，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，首先根据勾股定理求出，然后证明出，得到，再证明，然后利用等面积法求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 16．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图：在中，，，，是的角平分线． （1）则 ； （2）若点是线段上的一个动点，从点以每秒的速度向运动 秒钟后是直角三角形． 【答案】 6或 【分析】（1）过点作于，利用角平分线的性质得，再根据面积法可得答案； （2）分或两种情形，分别画出图形，利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，由勾股定理得， ， ，，是的角平分线， ， 设， 则， 解得， 即， 故答案为：； （2）如图，当时， 则， ， ， ， 设秒后是直角三角形， 则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 当时，由（1）得， ， ， ， ， 故答案为：6或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 三、解答题 17．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，D，E分别在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质： （1）证明，即可证明； （2）由等腰直角三角形的性质得到，进而得到，则． 【详解】（1）证明：∵，D，E分别在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，点C为线段的中点，分别过点A、B作的垂线（点D、E在的同侧），连接，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】利用直接证明即可． 【详解】∵点C为线段的中点， ∴， 在与中， ， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用证明两个三角形全等”是解本题的关键． 19．（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且．求证：．完成下面的证明过程． 证明： ，， __________． 是的中点， __________， 又， __________． ． 【答案】，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；证明，得出即可．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：，， 是的中点， 又， ． 20．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，于点D，F为上一点，连结并延长交于点E，使．    (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了垂线的定义、三角形全等的判定和性质、勾股定理的应用等，解题的关键找准全等三角形的对应边角． （1）利用即可判断两个三角形全等． （2）先由两三角形全等知，再由勾股定理求得的长，则即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴（）     ∴ ∵ ∴ ∴ （2）∵（） ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 21．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在网格上有一个． (1)画，使它与关于直线l成轴对称； (2)在直线l上找一点P，使点P到AB的距离之和最短； (3)在直线l上找一点Q，使为直角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，最短距离问题等知识： （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可； （2）连接交直线l于点P，点P即为所求； （3）找出格点G，连接交直线于即可 【详解】（1）解：如图所求，即为所画： （2）解：如图所示，点P即为所画， （3）解：如图所示，点Q即为所画， 22．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知：如图，在中，于点D，E是上一点，连结交点于点F，，． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理． （1）利用证明，即可； （2）利用，得，从而证得，即可得出结论； （3）利用得，从而求得，利用勾股定理求得，再利用等积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴． 23．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，是的外角的平分线上一点，． (1)求证：； (2)若是等腰直角三角形，，，与交于点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）过点作于点，作于点，首先根据角平分线的性质定理证明，再利用“”证明，即可证明结论； （2）首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质证明，再证明，结合三角形外角的性质即可证明，进而证明结论． 【详解】（1）证明：如下图，过点作于点，作于点， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 24．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)或 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得． （4）分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积． 【详解】（1）∵平分，，分别是，的高 ∴． 故答案为：． （2）证明：如图1，作于点， 在和中 ， ∴（）， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中 ， ∴（）， ∴． （3）成立， 证明：如图2， ∵， ∴， 延长交的延长线于点， ∴， ∴， 在和中 ， ∴（） ∴，． ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴． （4）当时，如图3，在线段上取点，使得． ∵， ∴点是点关于的对称点， ∴， ∴， 可得， ∴，， ∴， ∴． 当时，如图4， 在线段上取点，使得， 同理可得，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定，关键是解决拓展提升时，要分和两种情况讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$