第二十二章 二次函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第二十二章 二次函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米：当时，，那么当成本为元时，边长为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 2．如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（    ） 0 3 4 0 A．图象的开口向下 B．有最小值 C．图象与轴的一个交点是 D．图象的对称轴是 3．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 4．坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤若方程的两根分别为，则．其中正确结论的个数有（　　）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界 8．如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点D，E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论： ①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ②无论x取何值，总是负数； ③当时，随着x的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．设二次函数（，m，k是实数），则（    ） A．当时，函数y的最大值为 B．当时，函数y的最大值为 C．当时，函数y的最大值为 D．当时，函数y的最大值为 10．如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线的解析式，令，根据有两个交点求出a的取值范围，再分和两种情况讨论即可得到答案； 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ． 12．已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 13．在单位为1的正方形网格中，存在一平面直角坐标系．二次函数，的图象位于如图位置上，若它们的图象位置关系具有对称性，请描述它们的对称关系： ，求出与直线的交点坐标为 ． 14．如图，将抛物线在轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图像当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是 ． 15．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 16．如图，二次函数的图象交轴于点（点在点的左侧），交轴于点．现有一长为的线段在直线上移动，且在移动过程中，线段上始终存在点，使得三条线段能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段左端点的橫坐标为，则的取值范围是 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．已知二次函数的图像以为顶点，且过点． (1)求该函数图像与坐标轴的交点坐标； (2)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点． 18．飞机降落后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，当时，；当时，． (1)求该函数的解析式； (2)请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出飞机降落后滑行到停下来前进了多远？ 19．已知一次函数的图像上有两点，它们的横坐标分别是2、，若二次函数的图像经过两点． (1)求一次函数解析式并在平面直角坐标系内画出两个函数的图像； (2)若，两点都在二次函数的图像上，试比较与的大小． 20．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)若此抛物线点P右侧的部分（不含点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2，请直接写出m的取值范围． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 22．甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费； 在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题： (1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？ (2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？ (3)甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 23．为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C． (1)（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为________； ②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为________； ②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示） (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 23．综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动，如图1，在正方形中，分别是上一点，且．点从点出发，沿正方形的边顺时针运动；点同时从点出发，沿正方形的边逆时针运动．若两动点的运动速度相同，都为每秒1个单位长度，相遇时两点都停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，探究与的关系． 初步感知 根据运动的变化，绘制了如图2所示的图象，按不同的函数解析式，图象可分为四段，还有最后一段未画出． （1）的长为______，的长为______． （2）的值为______，的最大值为______． 延伸探究 （3）请求出图2中未画出的最后一段图象对应的函数解析式，并将图象补充完整． （4）求的值，并求出当时，的取值范围．    试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米：当时，，那么当成本为元时，边长为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式的运用，求出函数的解析式是解答本题的关键．设，由待定系数法就可以求出解析式，把代入函数解析式就可以求出结论． 【详解】解：设， 当时，， ，， ， 当成本为元时， 有， ， ． 故选：B． 2．如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（    ） 0 3 4 0 A．图象的开口向下 B．有最小值 C．图象与轴的一个交点是 D．图象的对称轴是 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质等知识点，学会根据表格中的信息求得函数的解析式是解题的关键． 由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质即可得出结果． 【详解】解：设二次函数的解析式为（、、为常数，）， 由题意可知， 解得， 二次函数的解析式为 ， 函数的图象开口向上，顶点为，图象与轴的交点分别为和， 图象的对称轴是，函数有最小值， 选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 3．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 故选：B 4．坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度． 【详解】由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同 ，，， ， 又 ． 故选：B． 5．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤若方程的两根分别为，则．其中正确结论的个数有（　　）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口向下得到，再根据顶点坐标结合对称轴公式得到，即，则可判断②；由对称性可得当时，，则可判断②；根据函数图象可知抛物线与直线有两个交点，则可判断④；根据二次函数与一元二次方程之间的关系可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴，②错误； ∵当时，抛物线对称轴为直线， ∴当时，，①正确； ∵抛物线顶点纵坐标为n， ∴， ∴，③正确； 由图象可得抛物线与直线有两个交点， ∴有两个不相等的实数根，④正确； ∵抛物线对称轴为直线，方程的两根分别为，， ∴， ∴，⑤正确． 故选：B． 6．如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，作轴，轴，证明，进而求出点坐标，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作轴，轴，则：， 四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点B，C的坐标分别是，， ∴， ∴， ∴， ∵点D在抛物线的图像上， ∴， ∴； 故选B． 7．如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为，由此即可判断A；求出当时，y的值，再与进行比较即可判断B；求出当时，y的值，再与0比较即可判断C、D． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为，故A说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意； 在中，当时，则， ∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意； 故选D． 8．如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点D，E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论： ①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ②无论x取何值，总是负数； ③当时，随着x的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；②根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】①抛物线与抛物线交于点， ， 即， 解得， 抛物线， 抛物线的顶点，抛物线的顶点为， 将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为， 即抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到， 故①正确； ②， ， ， 无论取何值，总是负数， 故②正确； ③， 将代入抛物线， 解得， ， 将代入抛物线， 解得， ， ，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方， 当，随着的增大，的值减小， 故③不正确； ④设与轴交于点， ， ， 由③可知 ，， ，， 当时，， 即， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识． 9．设二次函数（，m，k是实数），则（    ） A．当时，函数y的最大值为 B．当时，函数y的最大值为 C．当时，函数y的最大值为 D．当时，函数y的最大值为 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数与x轴的交点坐标是．得到二次函数的对称轴是直线．根据开口方向进一步求出最值即可． 【详解】解：由题意，令， ∴， ∴． ∴二次函数与x轴的交点坐标是． ∴二次函数的对称轴是：直线． ∵， ∴y有最大值． 当，y最大， 即 当时，函数y的最大值为； 当时，函数y的最大值为． 综上，C选项正确． 故选：C． 10．如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线的解析式，令，根据有两个交点求出a的取值范围，再分和两种情况讨论即可得到答案； 【详解】解：设所在直线为， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∵二次函数与线段有两个不同的公共点， ∴， 解得：， ①当时， 此时函数的开口向上， ∴，， 解得：， ②当时 此时函数的开口向下， ∴，， 解得：， 综上所述得：，， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ． 【答案】106 【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键． 将代入解析式求值即可． 【详解】解：， 当时，， 水的体积为． 故答案为：106． 12．已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 13．在单位为1的正方形网格中，存在一平面直角坐标系．二次函数，的图象位于如图位置上，若它们的图象位置关系具有对称性，请描述它们的对称关系： ，求出与直线的交点坐标为 ． 【答案】 关于点成中心对称 ， 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，以及二次函数与一次函数的交点等知识． （1）根据抛物线图像可求出顶点坐标为，开口向下；抛物线顶点坐标为，开口向上，根据点坐标与二次函数的图像可得出答案． （2）用待定系数法求出抛物线的函数解析式，再令，进一步求解即可求出与直线的交点坐标． 【详解】解：由图象可得抛物线顶点坐标为，开口向下； 抛物线顶点坐标为，开口向上， ∵点与点关于点对称， ∴抛物线与抛物线关于点成中心对称． 设抛物线解析式为， 由图象可得抛物线经过， 将代入得， 解得， ∴， 令， 解得，， 将代入得， 把代入得， ∴与直线的交点坐标为，， 故答案为：，． 14．如图，将抛物线在轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图像当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 (a,b,c是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．通过解方程得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象沿x轴翻折所得图象的解析式为，然后求出直线与相切b的值，直线过A和过B点所对应的b的值，再利用图象可判断直线与此图象有且只有两个公共点时b的取值范围． 【详解】解：当时，，解得，则， ， 则顶点坐标为， 把图象沿x轴翻折所得图象的解析式为， 如图， 当直线与相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时有两个相等的实数解， 方程整理得，， 解得， ∴当时，直线与图像恰有两个公共点， 当直线过时，，解得， 当直线过时，，解得， 所以，当时，直线与此图象有且只有两个公共点． 综上可知，当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是或． 故答案为：或． 15．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用和才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用和构成矩形， 设矩形在射线上的一段长为，矩形菜地面积为， 当时，如图， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值为； 当时，如图， 则矩形菜园的总长为， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而减少， ∴当时，的值均小于； 综上，矩形菜地的最大面积是； 故答案为：． 16．如图，二次函数的图象交轴于点（点在点的左侧），交轴于点．现有一长为的线段在直线上移动，且在移动过程中，线段上始终存在点，使得三条线段能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段左端点的橫坐标为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，两点距离公式，轴对称的性质，三角形三边关系，先求出点A，点B，点C坐标，分三种情况讨论，由两点间距离公式和三角形三边关系可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象交轴于点（点在点的左侧），交轴于点 当时，， 当时，， 解得： ∴，对称轴为直线 如图所示， ∵线段上始终存在点，使得三条线段能与某个等腰三角形的三条边对应相等 ∴或或， ∵段在直线上移动， ∴点的纵坐标为, 设 ①若， ∴ 解得： ∴ ∴ ∵ ∴不能构成三角形，舍去； ②若， ∴ 解得： ∴ ∵ ∴能构成三角形， ③若 ∴ 解得： ∴ ∵， ∴能组成三角形； ∵点在长为的线段上， ∴线段左端点的横坐标为的取值范围为，即 故答案为：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．已知二次函数的图像以为顶点，且过点． (1)求该函数图像与坐标轴的交点坐标； (2)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点． 【答案】(1)与轴的交点坐标为；与轴的交点坐标为 (2)向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． （1）设顶点式，然后把代入求出的值即可得出二次函数解析式；通过解方程可得抛物线与轴的交点坐标，通过计算自变量为0时的函数值可得到抛物线与轴的交点坐标； （2）由于抛物线与轴的交点坐标为，把点向左平移1个单位到原点，所以把抛物线解析式向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为； 当时，， 则抛物线与轴的交点坐标为； 当时，，解得， 则抛物线与轴的交点坐标为； （2）解：因为抛物线与轴的交点坐标为， 所以把抛物线解析式向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点． 18．飞机降落后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，当时，；当时，． (1)求该函数的解析式； (2)请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出飞机降落后滑行到停下来前进了多远？ 【答案】(1) (2)图见解析，米 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质及应用． （1）用待定系数法即可得函数的解析式； （2）把（1）中解析式化为顶点式即可得飞机停下来前进了多少米，描点连线即可画出函数图象． 【详解】（1）解：当时，，当时，，， 解得：， ； （2）， 时，最大为，即汽车刹车后到停下来前进了米， 在中，当时，当时，，当时，，当时，， 描点画出符合题意的函数图象如下： 19．已知一次函数的图像上有两点，它们的横坐标分别是2、，若二次函数的图像经过两点． (1)求一次函数解析式并在平面直角坐标系内画出两个函数的图像； (2)若，两点都在二次函数的图像上，试比较与的大小． 【答案】(1)，见详解 (2)当，即时，；当，即时，；当，即时， 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、待定系数法求一次函数解析式、画一次函数和二次函数图像等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先确定点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；结合函数解析式，在坐标系中绘制一次函数和二次函数图像即可； （2）根据题意，可知，，可得，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：对于二次函数， 令，可得，即， 令，可得，即， 将点，代入一次函数， 可得，解得， ∴该一次函数解析式为； 在平面直角坐标系内画出两个函数的图像，如下图所示： （2）∵，两点都在二次函数的图像上， ∴，， ∴， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 20．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)若此抛物线点P右侧的部分（不含点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）利用待定系数法，将，两点代入解析式得到方程组，求出、的值，从而确定抛物线的表达式，再将其化为顶点式，得到顶点坐标即可； （2）分别求出和时的函数值，进而得出四点坐标，再根据点P右侧的部分（不含点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2，得出点在点和点之间的抛物线上（包含点，不包含点），即可得到m的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线交x轴于，两点， ，解得：， 抛物线的表达式为， ， 顶点坐标为； （2）解：如图， 令，则， 解得：或， ，； 令，则， 解得：或， ，， 点P右侧的部分（不含点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2， 点在点和点之间的抛物线上（包含点，不包含点）， ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等： （1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证； （2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立． 【详解】（1）证明：点是在该抛物线上的动点， 设点P的坐标为， ， ； ，直线的解析式是， ， ； （2）解：， 点在抛物线的上方， 由（1）知， ，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ，当时，， 的最小值为，此时点的坐标为． 22．甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费； 在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题： (1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？ (2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？ (3)甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 【答案】(1)；；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等 (2)甲公司最多比乙公司利润多18050元 (3) 【分析】（1）设每个公司租出的汽车为辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果； （2）设两公司的月利润分别为，，月利润差为，由（1）可得和的表达式，再列出关于的表达式，根据二次函数的性质，结合的范围求出最值即可； （3）根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为辆，结合为整数可得关于的不等式，即可求出的范围． 【详解】（1）解：设每个公司租出的汽车为辆， 由题意可得：， 而， 两公司的月利润相等可得：， 解得：或舍， 当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等； （2）解：设两公司的月利润分别为，，月利润差为， 则， ， 当甲公司的利润大于乙公司时，， ， ∴当时，函数有最大值18050， ∴甲公司最多比乙公司利润多18050元； （3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 则利润差为， 对称轴为直线， 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据为整数得到的不等式． 23．为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C． (1)（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为________； ②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为________； ②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示） (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值． 【答案】(1)图见解析，； (2)方案一：①；②；方案二：①；②； (3)a的值为或． 【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可； （2）根据图形写出点或点B的坐标，再代入求解即可； （3）先求得，，的顶点坐标为，再求得顶点距线段的距离为，得到的顶点距线段的距离为，得到的顶点坐标为或，再分类求解即可． 【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图所示， 观察图象知，函数为二次函数， 设抛物线的解析式为， 由题意得， 解得， ∴y与x的关系式为； （2）解：方案一：①∵，， ∴， 此时点的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； 方案二：①∵C点坐标为，，， ∴， 此时点B的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； （3）解：根据题意和的对称轴为， 则，，的顶点坐标为， ∴顶点距线段的距离为， ∴的顶点距线段的距离为， ∴的顶点坐标为或， 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 综上，a的值为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】(1)11.25， (2) (3)她当天的比赛不能成功完成此动作 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可； （3）先求出c的值，再求出时的y值，进行判断即可． 【详解】（1）解：根据表格得：函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； （2）解：对于 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴米   对于， 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴    ∵ ∴； （3）解： ∴点坐标为     ∴ ∴    当时，     ∵ 即她在水面上无法完成此动作 ∴她当天的比赛不能成功完成此动作 23．综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动，如图1，在正方形中，分别是上一点，且．点从点出发，沿正方形的边顺时针运动；点同时从点出发，沿正方形的边逆时针运动．若两动点的运动速度相同，都为每秒1个单位长度，相遇时两点都停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，探究与的关系． 初步感知 根据运动的变化，绘制了如图2所示的图象，按不同的函数解析式，图象可分为四段，还有最后一段未画出． （1）的长为______，的长为______． （2）的值为______，的最大值为______． 延伸探究 （3）请求出图2中未画出的最后一段图象对应的函数解析式，并将图象补充完整． （4）求的值，并求出当时，的取值范围．    【答案】（1）；；（2）；；（3），画图见解析；（4），当时，． 【分析】（1）当时，，可得，由当时，运动到，可得； （2）由图象可得：当时，与重合，如图，此时，的面积最大，可得，当时，与重合，如图，此时的运动时间为，可得； （3）当时，再运动，两点相遇，停止运动，可得函数图象过，且函数图象过，说明是的一次函数，设，再利用待定系数法求解解析式即可； （4）当时，如图，可得，解方程可得答案，当时，如图，图象在的上方，此时第三段图象上存在，如图，此时，可得，再解方程可得答案． 【详解】解：（1）由函数图象可得：当时，， ∴，而， ∴， ∴； ∴， 由函数图象可得：当时，运动到， ∴， （2）由图象可得：当时，与重合，如图，    此时，的面积最大， ∴， 当时，与重合，如图，    此时的运动时间为， ∴，，， ∴； （3）∵时， ∴再运动，两点相遇，停止运动， ∴函数图象过， 而当时，， ∴函数图象过， 由此时三角形的高不变， ∴是的一次函数，设， ∴， 解得：， ∴； 画图如下：    （4）当时，如图，    ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 当时，如图，图象在的上方，    此时第三段图象上存在，如图，此时，    ∴，，，， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 结合图象可得：当时，． 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，一元二次方程的解法，正方形的性质，利用图象法解二次不等式，二次函数的图象与性质，理解图象的含义是解本题的关键． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$