第十一章 三角形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第11章 三角形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．将空调安装到墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的数学原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间线段最短 2．下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（　　） A．正四边形和正八边形 B．正四边形和正五边形 C．正五边形和正六边形 D．正四边形和正六边形 3．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，四边形中，，，将四边形沿对角线折叠，点A 恰好落在边上的点处，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 5．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与之间保持一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　） A． B． C． D． 6．指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（    ）    A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，A，B，C，且，并且．则的面积的最大值为（     ） A．6 B．13 C．15 D．16 8．现用边长相等且边数分别为a、b、c、d（边数不全相等）的四种正多边形刚好能进行平面镶嵌，则 （     ） A．1 B． C．2 D． 9．如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段的中点，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，过点作交于点，连接．则下列结论：①；②；③：④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，四边形面积为，，，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 2、 填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．过正八边形的一个顶点有 条对角线． 12．如图中，，平分，平分，则 度． 13．已知a，b，c是一个三角形的三条边长，则化简 ． 14．如图，平分，，分别交及的延长线于点E，H，F，G．若，，则 度． 15．近几年，人们把亲近自然的露营作为新的出游方式，而倡导精致露营的帐篷酒店也是备受追捧．如图是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图所示，若，，，，则的度数为 ． 16．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17（8分）．如图，在中，平分交于点，是的高，与交于点．若，，求的度数． 18（8分）．一个零件的形状如图所示，按规定应等于，，应分别是和．李叔叔量得，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？请用两种不同的方法说明理由． 19（8分）．如图1，，点D，点C分别在射线上，连接，已知． (1)试说明：； (2)如图2，连接AC，作，交于点E，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 20（8分）．如图，在网格图中，每个正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，点C的坐标是． (1)在图中建立正确的平面直角坐标系，直接写出点A、点B的坐标； (2)求的面积； (3)若P为y轴上一点，且与的面积相等，请求出P点的坐标． 21（8分）．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数． （2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？ 22（10分）．综合与实践． 活动主题 设计一款日常的多功能椅子 素材1 座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息． 图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应和，椅腿可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆，靠背与椅腿的夹角在转动过程中形状保持不变．此时椅面和靠背平行．注：三角形内角和为． 素材2 图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆与椅腿夹角变小，使与椅面贴合，此时椅面与地面平行． 素材3 座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求． 素材4 通过将靠背与椅腿的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠背和椅面的角度，以满足不同的需要．图4是舒适档．椅面倾角为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠背的延长线与椅面的延长线的夹角． 23（10分）．[问题情境] （1）已知，如图1：，求证：，证明：过A点作（过直线外有且只有一条直线与已知直线平行）（请按照上述思路继续完成证明过程）． [尝试运用] （2）如图2，若，且经过A点，，，求．（用含n的代数式表示） [拓广探索] （3）如图3，在中，点D是延长线上的一点，过点D作，平分，平分，与交于点G，若，求的度数． 24（12分）．【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 25（14分）．1．如果两个角的差等于，就称这两个角互为“兄弟角”，其中一个角叫做另一个角的“兄弟角”．例如，，，则和互为“兄弟角”，即是的“兄弟角”，也是的“兄弟角”．    (1)已知和互为“兄弟角”，，且和互补，求的度数． (2)在中，，是的角平分线． ①如图1，点在射线上，平分，与射线交于点，若与互为“兄弟角”，求的度数． ②如图2，若，射线平分且与射线交于点，若与互为“兄弟角”，则的度数为 (3)如图3，若于点，，相交于点，若与互为“兄弟角”，直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 三角形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．将空调安装到墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的数学原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确理解三角形的稳定性是解题的关键．． 根据三角形具有稳定性即可求解． 【详解】解：钉在墙上的方法是构造三角形支架，这种方法应用的数学知识是：三角形具有稳定性． 故选：A． 2．下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（　　） A．正四边形和正八边形 B．正四边形和正五边形 C．正五边形和正六边形 D．正四边形和正六边形 【答案】A 【分析】本题考查的是平面镶嵌，正多边形内角和问题，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．根据求出每个选项中正多边形的内角度数，再判断能否组成的周角，即可得到答案． 【详解】解：A、正四边形和正八边形的内角分别为、，，能够铺满地面，符合题意； B、正四边形和正五边形的内角分别为、，不能构成的周角，不能够铺满地面，不符合题意； C、正五边形和正六边形的内角分别为、，不能构成的周角，不能够铺满地面，不符合题意； D、正四边形和正六边形的内角分别为、，不能构成的周角，不能够铺满地面，不符合题意； 故选：A． 3．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和问题，设这个正多边形的边数为，根据正多边形内角和公式计算即可得出答案． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 由题意得：， 解得：， ∴这个正多边形的边数为， 故选：B． 4．如图，四边形中，，，将四边形沿对角线折叠，点A 恰好落在边上的点处，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的翻折变换，平行线的性质，三角形内角和定理和外角的性质， 首先根据三角形内角和定理得到，然后求出，然后由折叠得到，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵， ∴ ∵将四边形沿对角线折叠，点A 恰好落在边上的点处， ∴ ∴． 故选：B． 5．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与之间保持一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角相等，三角形内角和定理，多边形内角和等知识．熟练掌握对顶角相等，三角形内角和定理，多边形内角和是解题的关键． 如图，记的交点为，则，由，可得，整理作答即可． 【详解】解：如图，记的交点为， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 故选：D． 6．指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理．分别延长，交，于点，，过点作，则，利用三角形的内角和运算出和的度数后，通过平行线的性质即可得出结果． 【详解】分别延长，交，于点，，过点作，则，如图所示：    ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 7．在平面直角坐标系中，A，B，C，且，并且．则的面积的最大值为（     ） A．6 B．13 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解不等式，三角形的面积，关键是得到的长和边上高的最大值． 观察三个点的坐标可知，再由，并且可得，可得边上高的最大值，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ∴， ∴ ， 边上高的最大值是， 面积的最大值为． 故选：C． 8．现用边长相等且边数分别为a、b、c、d（边数不全相等）的四种正多边形刚好能进行平面镶嵌，则 （     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形及其内角，解决本题的关键是知道这四种正多边形的四个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案． 【详解】解：由题意知，这四种正多边形的四个内角之和为360度， 已知正多边形的边数为，，，， 那么这四个正多边形的内角和可表示为：， 两边都除以180得：， 即： 两边都除以2得，． 故选：A． 9．如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段的中点，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，过点作交于点，连接．则下列结论：①；②；③：④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了中线与面积，平行线间的距离．熟练掌握中线的性质，平行线间的距离是解题的关键． 由，可得，设，则，，如图1，连接，，由点是线段的中点，可得，，可判断①的正误；，由点是线段的中点，可得，，则，可判断②的正误；，设到的距离为，到的距离为，则，即，由，，可得，则，由，可得，可判断③的正误；由，，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴， 设，则，， 如图1，连接，， ∵点是线段的中点， ∴，，①正确，故符合要求； ∴， ∵点是线段的中点， ∴，， ∴，即，②正确，故符合要求； ∴， 设到的距离为，到的距离为， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，③正确，故符合要求； ∵，， ∴，④错误，故不符合要求； 故选：C． 10．如图，四边形面积为，，，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设，，根据已知得出①，进而得出，可得②，解方程组，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    设， ∵ ∴，， ∵， ∴，即 整理得① ∵，则 ∴ ∴即解得② 联立①②得 ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形面积公式，得出是解题的关键． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．过正八边形的一个顶点有 条对角线． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据从边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，进行求解即可． 【详解】解：过正八边形的一个顶点有条对角线； 故答案为：5． 12．如图中，，平分，平分，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴． 故答案为：115． 13．已知a，b，c是一个三角形的三条边长，则化简 ． 【答案】0 【分析】 本题考查绝对值的性质，整式的加减，三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形三边关系得到，，再去绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】 解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长， ∴，， ∴ ． 故答案为：0． 14．如图，平分，，分别交及的延长线于点E，H，F，G．若，，则 度． 【答案】20 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质的应用，角平分线的相关计算，首先证明，再利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：20． 15．近几年，人们把亲近自然的露营作为新的出游方式，而倡导精致露营的帐篷酒店也是备受追捧．如图是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图所示，若，，，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的内角和定理，延长交于点，延长交于点，连接，先根据多边形内角和定理求出的度数，即可求出的度数，再根据平行线的性质得出，，即可求出度数，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】延长交于点，延长交于点，连接， 由题意得，， ∴八边形 的内角和是：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【答案】 减少 10 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17（8分）．如图，在中，平分交于点，是的高，与交于点．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及角平分线的定义．由平分，利用角平分线的定义，可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由是的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，再将其代入中，即可求出的度数． 【详解】解：平分， ． 在中，，， ． 是的高， ， ， ． 18（8分）．一个零件的形状如图所示，按规定应等于，，应分别是和．李叔叔量得，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？请用两种不同的方法说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角定理；运用这两个定理找出角之间的数量关系是解题的关键．通过与的数量关系求出，与实际的测量值比较即可． 【详解】解：方法一：如图，连接并延长； 在中，， 在中，， ∴， ∴李叔叔量得，就可以断定这个零件不合格； 方法二：如图，延长交于； ∵ ∴ ∴ ∴ ∴李叔叔量得，就可以断定这个零件不合格． 19（8分）．如图1，，点D，点C分别在射线上，连接，已知． (1)试说明：； (2)如图2，连接AC，作，交于点E，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，： （1）根据，可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，从而得到，再由三角形外角的性质，即可解答． 【详解】（1）解：证明：， ， ， ， ． （2）解：．理由如下： ， ， ， ， 是的外角， ． 20（8分）．如图，在网格图中，每个正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，点C的坐标是． (1)在图中建立正确的平面直角坐标系，直接写出点A、点B的坐标； (2)求的面积； (3)若P为y轴上一点，且与的面积相等，请求出P点的坐标． 【答案】(1)，，图见解析 (2)4 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据坐标求三角形的面积，解题的关键是数形结合，根据已知点的坐标建立平面直角坐标系． （1）根据点C的坐标，建立平面直角坐标系，得出点A、B的坐标即可； （2）利用割补法求出的面积即可； （3）根据，求出，根据点的坐标为，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系，如图： ； （2）解：过点分别向x、y轴作垂线，垂足为D，E，如图所示： ， ， ， ， ． （3）解：点在轴上， ， 即， 解得：， 点的坐标为， 点的坐标为或． 21（8分）．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数． （2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据角平分线的定义，求得，，再根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据（1）的方法求得，再结合条件∠BPC＝3∠A，解方程即可求得∠A． 【详解】（1）平分，平分， ， ∠ABC+∠ACB＝130°， ， ， （2）平分，平分， ， ， ， ， ∠BPC＝3∠A ， ． 【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 22（10分）．综合与实践． 活动主题 设计一款日常的多功能椅子 素材1 座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息． 图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应和，椅腿可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆，靠背与椅腿的夹角在转动过程中形状保持不变．此时椅面和靠背平行．注：三角形内角和为． 素材2 图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆与椅腿夹角变小，使与椅面贴合，此时椅面与地面平行． 素材3 座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求． 素材4 通过将靠背与椅腿的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠背和椅面的角度，以满足不同的需要．图4是舒适档．椅面倾角为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠背的延长线与椅面的延长线的夹角． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：①；②25度 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理，理解题意，看懂角度前后的变化是解答的关键． 任务1：利用平行线的性质和三角形的内角和定理求解即可； 任务2：过F作，则，根据平行线的性质得到，，进而可由推导出； 任务3：①根据平行线的性质得到，再根据三角形的内角和定理求解即可； ②求出工作档时的，进而作差即可得答案． 【详解】解：任务1： ∵，， ∴， ∵，， ∴； 任务2：由题意，，， 如图，过F作，则， ∴，， ∴， ∴； 任务3：①如图，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②工作档时如图，已知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背需要转过25度． 23（10分）．[问题情境] （1）已知，如图1：，求证：，证明：过A点作（过直线外有且只有一条直线与已知直线平行）（请按照上述思路继续完成证明过程）． [尝试运用] （2）如图2，若，且经过A点，，，求．（用含n的代数式表示） [拓广探索] （3）如图3，在中，点D是延长线上的一点，过点D作，平分，平分，与交于点G，若，求的度数． 【答案】（1）过程见详解；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的性质以及三角形外角的性质，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． （1）过A点作，根据平行线的性质得到，，根据平角的定义得到结论； （2）如图2，过F作，根据三角形的内角和定理得到，根据平行线的性质即可得到结论； （3）由结合外角的性质可得出，再根据角平分线的定义可得出，由此可得出，从而得出，根据的度数即可得出结论． 【详解】（1）证明：过A点作（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）， ，， ， ； （2）解：如图2，过F作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 平分，平分， ， ， 24（12分）．【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 【答案】（1）①见解析，②2 （2） 【分析】本题考查利用三角形的中线求三角形面积及其应用．熟练掌握等高（或同高）的两三角形面积比等于底边之比是解题的关键． （1）①根据是的中点，则，，从而得，即可得出结论； ②根据，则，，即，得出，即可求    解． （2）连接，根据，得，，根据，则，，设，，则，，，，根据，则，从而求得，再根据则求得，则有，所以，即可得出． 【详解】解：（1）①∵是的中点， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）连接， ∵， ∴，， ∵， ∴，， 设，，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25（14分）．如果两个角的差等于，就称这两个角互为“兄弟角”，其中一个角叫做另一个角的“兄弟角”．例如，，，则和互为“兄弟角”，即是的“兄弟角”，也是的“兄弟角”．    (1)已知和互为“兄弟角”，，且和互补，求的度数． (2)在中，，是的角平分线． ①如图1，点在射线上，平分，与射线交于点，若与互为“兄弟角”，求的度数． ②如图2，若，射线平分且与射线交于点，若与互为“兄弟角”，则的度数为 (3)如图3，若于点，，相交于点，若与互为“兄弟角”，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 (3)或 【分析】（1）根据和互为“兄弟角”和和互补，列出关于和的方程组，解方程组即可； （2）①先根据已知条件求出，，再根据三角形内角和定理求出和的关系式，有已知与互为“兄弟角”可得另一个和的关系式，利用解方程组的方法解答即可，②根据，得，再如同①解方程组的方法解答即可； （3）根据，得，再根据角平分线的性质，及直角三角形的性质，得，再根据与互为“兄弟角”， 利用解方程组的方法解答即可． 【详解】（1）解： 和互为“兄弟角”， ，且和互补， ， ①②得：， ； （2）解：①，， ， 平分， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ①， 与互为“兄弟角”，且， ②， ①②得：， 把代入②得：； ②是的角平分线， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 与互为“兄弟角”， 或， 或， 的度数为：或； （3）③， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 与互为“兄弟角”， 或， 或， 或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的性质、三角形的内角和定理，解题关键是能够根据条件找出角与角之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$