2.2.4 圆轴扭转和直梁弯曲(课件）-《机械基础》同步教学（航空工业出版社）

构件受力及变形分析 贰 项目导读 机械工作时，其组成部分都要受到外力的作用，如自行车车架要承受人的重力、汽车传动轴要受到力偶的作用等。为保证机械安全、可靠地工作，任何一个构件都必须具有足够的承载能力。因此，对构件进行受力及变形分析是设计和使用机械最基本、也是最重要的工作之一。 本项目主要介绍构件静力学分析的有关概念、公理和方法，不同受力条件下构件变形的规律及其应用，为学习后续有关知识、解决工程问题打基础。 知识目标 掌握静力学有关的概念和公理 掌握静力学分析的基本方法 了解平面任意力系平衡方程的原理及应用 掌握构件基本变形的概念和特点 掌握构件不同变形形式的应力分析方法及分布规律 技能目标 能够对典型构件进行受力分析 能够对简单构件进行强度校核 思政目标 提高严谨细致的逻辑推理能力和原理分析能力 培养追求真理、实事求是、勇于探究与实践的科学精神 分析简易起重装置杆件的受力——构件受力分析 壹 校核汽车铆接拉杆的拉伸强度——构件变形分析 贰 项目导航 校核汽车铆接拉杆的拉伸强度——构件变形分析 贰 2.4 圆轴扭转和直梁弯曲 1. 圆轴扭转 1）圆轴扭转的基本知识 图2-30 汽车转向柱 扭转变形：当杆件承受着绕其轴线的外力偶时，杆件横截面上将只有转矩这一个内力分量，杆件各横截面要产生绕轴线相对转动的变形。如图2-30所示。 轴：产生扭转变形的杆件。 2.4 圆轴扭转和直梁弯曲 1. 圆轴扭转 2）转矩 圆轴内部由于外力偶的作用而产生抵抗扭转变形的内力偶矩称为转矩，通常用T表示。 定义 根据轴的转速和所传递的功率进行计算 外力偶矩计算 2.4 圆轴扭转和直梁弯曲 1. 圆轴扭转 2）转矩 截面法求转矩 2.4 圆轴扭转和直梁弯曲 1. 圆轴扭转 2）转矩 采用右手螺旋法则判断转矩的正负号 2.4 圆轴扭转和直梁弯曲 1. 圆轴扭转 3）圆轴扭转时横截面上的应力分布 实心圆轴和空心圆轴扭转时横截面上的应力分布分别如图2-33（a）和图2-33（b）所示。 如图2-33（c）所示，圆轴扭转时，横截面上任意一点的切应力为  （a） （b） （c） 图2-33 圆轴扭转时横截面上切应力的分布 2.4 圆轴扭转和直梁弯曲 1. 圆轴扭转 3）圆轴扭转时横截面上的应力分布 圆轴横截面的抗扭截面模量 WP越大，产生扭转变形的内部切应力就越小。由于在外径相同的情况下，相同材料的空心圆轴的抗扭截面模量大于实心圆轴，因此，在具有相同强度的前提下，将轴做成空心轴可以达到节约材料、减轻质量的目的。 2.4 圆轴扭转和直梁弯曲 2. 直梁弯曲 1）直梁弯曲的基本知识 杆件受横向外力或外力偶作用时，其轴线由直线变为曲线，这种变形称为弯曲。 工程中有许多杆件在工作时产生弯曲变形，如图2-34所示为火车轮轴，它因两端承受车厢的重力而产生向上的弯曲。 弯曲定义 弯曲实例 图2-34 火车轮轴 2.4 圆轴扭转和直梁弯曲 2. 直梁弯曲 1）直梁弯曲的基本知识 受力形式：外力垂直于轴线或在轴线所在平面 内受到力偶的作用。 变形特点：梁的轴线由直线变为曲线。 当作用在梁上的所有外力或力偶都位于纵向对称面内，且所有力的作用线都与梁的轴线垂直时，梁产生的变形称为平面弯曲，如图2-36所示。 直梁弯曲特点 平面弯曲定义 图2-36 平面弯曲 2.4 圆轴扭转和直梁弯曲 2. 直梁弯曲 2）梁的基本形式 简支梁：一端是固定铰链支座，另一端是活动铰链支座的梁。 外伸梁：支座与简支梁相同，一端或两端伸出在支座之外的梁。 悬臂梁：一端自由而另一端固定的梁。 根据支座不同 （a）简支梁 （b）外伸梁 （c）悬臂梁 图2-37 梁的基本形式 2.4 圆轴扭转和直梁弯曲 2. 直梁弯曲 3）剪力和弯矩 梁在平面弯曲时所产生的内力可采用截面法求解。如图2-38（a）所示，简支梁受外力F作用，A、B端铰链分别对梁作用有约束力FA 和FB 。假想在距A端x处的横截面n-n将梁切开，取左段为研究对象，如图2-38（b）所示。由于整个梁是平衡的，因此其左段也是平衡的。根据平衡条件可知，横截面上必然存在力FQ 和力偶M。 其中， FQ的作用线沿横截面切线方向，称为剪力；M的作用面垂直于横截面，称为弯矩。 （a） （b） 图2-38 简支梁的弯曲内力 2.4 圆轴扭转和直梁弯曲 2. 直梁弯曲 3）剪力和弯矩 剪力的正负号规定：若外力相对所取梁段的横截面为顺时针方向，则该力所产生的剪力为正； 反之则为负，如图2-39（a）所示。 弯矩的正负号规定：若外力使所取梁段产生上部受压、下部受拉的变形，则该力所产生的弯 矩为正；反之则为负，如图2-39（b）所示。 图2-39 剪力和弯矩的正负号 （a） （b） 2.4 圆轴扭转和直梁弯曲 2. 直梁弯曲 4）纯弯曲时梁横截面上的正应力分布 通常情况下，产生弯曲变形的梁，若其内力中剪力和弯矩同时存在，则这种弯曲称为横力弯曲； 横力弯曲 若在梁的纵向对称面内，两端同时施加大小相等、方向相反的一对力偶，则梁的横截面上只有弯矩，剪力为零，这种变形称为纯弯曲。 纯弯曲 2.4 圆轴扭转和直梁弯曲 2. 直梁弯曲 4）纯弯曲时梁横截面上的正应力分布 假设梁是由无数层纵向纤维组成的，梁在产生纯弯曲时，横截面凹侧的纤维层缩短，凸侧的纤维层伸长。 由于变化是连续的，因此从缩短区过渡到伸长区必有一既不伸长也不缩短的纵向纤维层，称为中性层，如图2-40所示。 中性层与横截面的交线称为中性轴。 图2-40 纯弯曲变形 2.4 圆轴扭转和直梁弯曲 2. 直梁弯曲 4）纯弯曲时梁横截面上的正应力分布 梁在产生纯弯曲时，横截面上只存在正应力而无切应力。由于纤维层从缩短区到伸长区是线性过渡的，因此横截面上的正应力也是呈线性分布的，中性轴上的正应力为零，梁的边缘处正应力最大，如图2-41所示。梁的凹侧承受的是压应力，凸侧承受的是拉应力。 图2-41 纯弯曲时正应力的分布 任务描述 为保证机械正常工作，其构件必须具有可靠的承载能力。而机械的某些关键构件，如飞机的机翼和起落架、汽车的传动轴、桥式起重机的主梁等，如果产生过量变形或发生破坏，还可能会造成严重的事故。由于构件的承载能力是有限度的，它与材料的力学性能有关，因此机械设计时通常会对构件进行强度校核，以确保其在设计能力范围内不会失效。 如图2-19所示（见下页）为汽车铆接拉杆及其受力图。它由4个直径相同的铆钉连接2块钢板而成。已知 ， ， ， ， ， ， ，钢板与铆钉的材料相同，请同学们校核该铆接拉杆的拉伸强度，并填写“任务工单2.2”。 任务描述 （a） （b） 图2-19 汽车铆接拉杆及其受力图 任务实施 一、准备 铆接拉杆的拉伸强度校核包括三个方面：铆钉的剪切强度校核、铆钉或拉杆的挤压强度校核和拉杆的拉伸强度校核。在对其进行校核之前，需要理解应力分析的有关概念，掌握构件受力变形的规律和强度校核的分析计算方法。 二、实施 全班学生每5～6人一组，组员合作校核汽车铆接拉杆的拉伸强度，并做好记录。 1．分析铆接拉杆接头的受力 4个铆钉的直径和材料均相同，外力作用线通过铆钉群剪切面的形心，通常认为各铆钉剪切面上的剪力 均为外力的1/4，即 。 任务实施 2．校核铆接拉杆的拉伸强度 1）校核铆钉的剪切强度 每个铆钉受力为 ，剪切面积为 ，则 因此铆钉的剪切强度满足要求。 2）校核铆钉的挤压强度 每个铆钉受到的挤压力为 ，挤压面积为 ，则 因此铆钉的挤压强度足够。由于拉杆的材料与铆钉的材料相同，因此拉杆的挤压强度也足够。 任务实施 3）校核拉杆的拉伸强度 由于拉杆上板的宽度比下板小，因此只需校核上板的拉伸强度。现取上板为研究对象，受力简图如图2-19（b）所示，应用截面法求得各横截面的拉力分别为 由于各段横截面的面积相等，因此面4-4为危险截面，则 因此拉杆上板的拉伸强度足够。综上所述，该铆接拉杆的拉伸强度足够。 三、评价 请指导教师按照学生的实际表现情况进行评价，并将评价结果填入任务工单中的考核评价表。学生结合自身表现和指导教师的评价，对本次任务进行总结。 思政复兴号 俞茂宏：在力学基础理论研究中贡献中国智慧 2019年6月，“何梁何利基金”高峰论坛在天津举行。当西安 交大机械结构强度与振动国家重点实验室特聘教授俞茂宏信步登台 做特邀报告时，场下掌声雷动。 强度理论作为研究材料在复杂应力作用下屈服和破坏规律的理 论，是各种工程结构强度计算和设计必需的基础。一直以来，学术 界普遍认为，作为经典力学的分支，强度理论已发展得较为成熟， 想要得出统一的强度理论是徒劳的。 ……（详见教材） 思政复兴号 “当年，我教授材料力学，如果自己对强度理论理解得不深入，就上不好课。”回首往事，俞茂宏说。本着对学术与学生负责的态度，1961年，俞茂宏在论文《各向同性屈服函数的一般性质》中第一次提出“双剪”概念，并推导出双剪屈服准则。但那时，双剪屈服准则是只能适用于金属类材料的强度理论。1985年，俞茂宏又首次提出适用于岩土材料的双剪理论。 1991年，第6届国际材料力学性能会议在日本京都召开，俞茂宏正式发表统一强度理论。至今，由他发展建立的双剪理论及统一强度理论不仅可以解释塑性材料的屈服破坏，也可解释材料的拉断破坏、剪切破坏、压缩破坏，以及各种二轴、三轴破坏，适用于金属、混凝土和岩土等各类材料。 思政复兴号 力学基础理论的突破大大拓宽了工程设计的边界。据统计，应用双剪理论及统一强度理论能将结构极限承载力最大提高33%。在三峡船闸高边坡的塑性区研究、上海世博会地下变电站工程分析等国家重点工程项目设计中，都能找到这一理论的强力支撑。困扰强度理论研究领域百年的世界难题终于被破解！ 俞茂宏用60年的虔诚与坚守，推动中国的强度理论研究水平跻身世界前沿。“这么多年来，我只是在自己的岗位上做了些很平凡的事。”面对斐然成就，俞茂宏却显得格外淡然。 （资料来源：https://news.gmw.cn/2019-08/11/content_33068810.htm，有改动） 课堂总结 构件的承载能力及变形形式 轴向拉伸与压缩 剪切与挤压 圆轴扭转和直梁弯曲 课堂总结 1．力偶对其作用面内任意一点的力矩恒等于力偶矩，与 力偶在其作用面内的位置无关，这是为什么？ 2．挤压应力和压应力有什么不同？ 3．简述梁在产生纯弯曲时的应力分布规律。 谢 谢！ 求出外力偶矩M后，可进一步用截面法求解转矩T。如图2-31（a）所示，某圆轴在外力偶矩作用下处于平衡状态。为求解横截面上的转矩，假想用任意横截面m-m将圆轴切开为Ⅰ、Ⅱ两部分，两部分横截面上的转矩分别用T和表示。取Ⅰ部分为研究对象，其受力情况如图2-31（b）所示。根据平衡条件，列平衡方程，即，解得转矩的大小。同理，取Ⅱ部分为研究对象，其受力情况如图2-31（c）所示，同样可求得转矩的大小。 （a） （b） （c） 图2-31 截面法求转矩 以右手四指弯曲方向代表转矩的转向，则大拇指的指向表示转矩的方向，当大拇指的指向背离横截面时，转矩为正，如图2-32（a）所示，反之为负，如图2-32（b）所示。 （a） （b） 图2-32 采用右手螺旋法则判断转矩的正负号 $$