1.1 集合的概念题型总结讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1 集合的概念 【题型解析】 1．判断自然语言描述内容能否组成集合 【解题方法点拨】 在解题过程中，判断自然语言描述内容能否组成集合，通常需要以下步骤．首先，仔细阅读描述内容，确定其标准或特征．其次，检验这些标准是否具体明确，是否能对所有元素进行唯一判断．例如，描述“所有3的倍数小于20的数”能组成集合，因为这些元素可以明确列举为3，6，9，12，15，18．再者，通过反例验证描述内容的标准是否严谨，如描述“所有高个子的学生”因“高”定义不明确，无法组成集合．最后，综合判断描述内容是否具备形成集合的条件． 2．常用数集及其记法 【解题方法点拨】 熟练掌握几个常见数集的符号与含义，能判断给出的数是否属于这些数集． 3．集合的确定性、互异性、无序性 【解题方法点拨】 解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复． 4．列举法表示集合 【解题方法点拨】 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来即可． 5．描述法表示集合 【解题方法点拨】 明确描述对象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述条件：描述条件要准确、简洁，通常用文字或符号来表示集合中的元素特征．统一标准：确保描述的方法能够唯一确定一个集合，避免模糊或歧义的描述． 6．元素与集合关系的判断 集合中元素的特征： （1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合． （2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素． （3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系． 7．判断元素与集合的属于关系 【解题方法点拨】 明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合． 8．元素与集合的属于关系的应用 【解题方法点拨】 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． 9．集合中元素个数的最值 【知识点的认识】 求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决． 【题型目录】 一．判断自然语言描述内容能否组成集合 二．常用数集及其记法 三．集合的确定性、互异性、无序性 四．集合的表示方法 五．元素与集合关系的判断 【典型例题】 题型1 判断自然语言描述内容能否组成集合 例1．以下各组对象不能组成集合的是（　　） A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程x2﹣7＝0的实数解 D．周长为10cm的三角形 例2．下列各组对象 ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O的距离等于1的点的全体； ④正三角形的全体； ⑤的近似值的全体． 其中能构成集合的组数有（　　） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 例3．下列选项能组成集合的是（　　） A．当红的影视明星 B．所有不等于1的实数 C．身体较高的男生 D．非常接近于1的正数 练习1．下列对象能组成集合的是（　　） A．非常小的正数 B．世界上著名的数学家 C．2014年参加仁川亚运会的国家 D．的近似值 练习2．下列对象不能组成集合的是（　　） A．不超过20的质数 B．π的近似值 C．方程x2＝1的实数根 D．函数y＝x2，x∈R的最小值 练习3．下列各组对象能组成一个集合的是（　　） ①某中学高一年级所有聪明的学生； ②在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点； ③所有不小于3的正整数； ④的所有近似值． A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 练习4．给出以下四个对象，其中能构成集合的有（　　） ①教2011届高一的年轻教师； ②你所在班中身高超过1.70米的同学； ③2010年广州亚运会的比赛项目； ④1，3，5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 常用数集及其记法 例1．下列元素与集合的关系表示正确的是（　　） ①﹣1∈N*；②∉Z；③∈Q；④π∈Q A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 例2．下列正确的命题的个数有（　　） ①1∈N；②∈N*；③∈Q；④2+∉R；⑤∉Z． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3．给出下列关系： ，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 练习1．给出下列关系： ①∈R；②∈Q；③﹣3∉Z；④﹣∉N， 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 练习2．下列关系中：①； ②； ③|﹣3|∉N+； ④．其中正确的是　 　（填序号）． 练习3．在下列表达式中，①0∉N；②∅⊂{0}；③π∈Q；④{1}∈{0，1}，其中正确的为 　②　（填写所有正确的序号）． 练习4．用符号∈或∉填空：3.1 　 　N，3.1 　 　Z，3.1 　 　N*，3.1 　 　Q，3.1 　 　R． 练习5．下列关系中，正确的是　 　． ①； ②； ③|﹣20|∉N*； ④； ⑤﹣5∉Z； ⑥0∈N． 题型3 集合的确定性、互异性、无序性 例1．若以集合{a，b，c，d}的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（　　） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 例2．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（　　） A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2 例3．由实数所组成的集合，最多含（　　）个元素． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例4．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}． （1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值； （2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围； （3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 练习1．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6﹣a∈A，那么a为（　　） A．2 B．2或4 C．4 D．0 练习2．已知集合A中含有三个元素1，a+b，a，集合B中含有三个元素0，，b，且两集合中元素相同，求a﹣b的值． 练习3．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a+b，0}，求a2016+b2017的值． 练习4．已知集合A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m为　 　． 练习5．已知集合A＝{a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，求实数a的取值集合． 题型4 集合的表示方法 例1（多选）．集合{1，3，5，7，9}用描述法可表示为（　　） A．{x|x是不大于9的非负奇数} B．{x|x＝2k+1，k∈N，且k≤4} C．{x|x≤9，x∈N*} D．{x|0≤x≤9，x∈Z} 例2．用描述法表示所有偶数组成的集合 　 　． 例3．集合{x|﹣3＜2x﹣1＜3，x∈Z}用列举法表示为（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1} D．{1} 例4．请按要求完成下列各小题： （1）请用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合； （2）请用描述法表示不等式x﹣10＞0的解集； （3）若集合A＝{x|x2﹣6x+5＝0}，写出集合A的所有子集． 练习1．用列举法可将集合{（x，y）|x∈{0，1}，y∈{1，2}}表示为（　　） A．{0，1} B．{（1，2）} C．{（0，1），（1，2）} D．{（0，1），（0，2），（1，1），（1，2）} 练习2．用描述法表示函数y＝3x+1图象上的所有点的是（　　） A．{x|y＝3x+1} B．{y|y＝3x+1} C．{（x，y）|y＝3x+1} D．{y＝3x+1} 练习3．集合{x∈N*|x＜3}用列举法可表示为（　　） A．{0，1，2，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3} 练习4．用描述法表示如图中阴影部分的点（含边界）的集合 　 　． 练习5．用列举法表示集合{∈N|x∈N}的结果为 　 　． 练习6．集合{x∈Z|﹣3＜2x﹣1＜3}，用列举法表示是 　 　． 练习7．用描述法表示下列集合： （1）所有被3整除的整数组成的集合； （2）不等式2x﹣3＞5的解集； （3）方程x2+x+1＝0的所有实数解组成的集合； （4）抛物线y＝﹣x2+3x﹣6上所有点组成的集合； （5）集合{1，3，5，7，9}． 题型5 元素与集合关系的判断 例1．以下四个关系式：0∈{0}，∅∈{0}，0.3∉Q，0∈N中，错误的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．若集合A＝{﹣2，1，4，8}，B＝{xy|x∈A，y∈A}，则B中元素的最小值为（　　） A．﹣16 B．﹣8 C．﹣2 D．32 例3．定义：集合A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}．若A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则A﹣B＝（　　） A．{1，2，3} B．{4，5} C．{6，7，8} D．{1，2，3，4，5} 例4．举例说明：设集合M中含有三个元素3，x，x2： （1）求实数x，应满足的条件； （2）若4∈M，求实数x的值． 例5．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+2＝0，x∈R，a∈R}． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A． 练习1．已知集合A＝{t|2t﹣3a+4＞0}，若2∉A，则a的取值范围为（　　） A．{a|a} B．{a|a} C．{a|a} D．{a|a} 练习2．已知集合{x|（x﹣a2）（x﹣1）＝0}的元素之和为1，则实数a所有取值的集合为（　　） A．{0} B．{1} C．{﹣1，1} D．{0，﹣1，1} 练习3．若对任意x∈A，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（　　） A．{1，3} B．{﹣1，0，1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0} 练习4．已知集合A＝{x|x2﹣5x＝0}，则（　　） A．{0}∈A B．5∉A C．{5}∈A D．0∈A 练习5（多选）46．下列说法正确的是（　　） A．方程x2﹣2x+1＝0的解集中有两个元素 B．0∉N C．2∈{x|x是质数} D． 练习6．若集合A＝{x|2mx﹣3＞0，m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 练习7．已知集合A＝{﹣1，a2﹣2a+1，a﹣4}，若4∈A，则a的值可能为（　　） A．﹣1，3 B．﹣1 C．﹣1，3，8 D．﹣1，8 练习8．已知关于x的不等式ax﹣1＞0的解集为M，2∈M且1∉M，则实数a的取值范围是 　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念 【题型解析】 1．判断自然语言描述内容能否组成集合 【解题方法点拨】 在解题过程中，判断自然语言描述内容能否组成集合，通常需要以下步骤．首先，仔细阅读描述内容，确定其标准或特征．其次，检验这些标准是否具体明确，是否能对所有元素进行唯一判断．例如，描述“所有3的倍数小于20的数”能组成集合，因为这些元素可以明确列举为3，6，9，12，15，18．再者，通过反例验证描述内容的标准是否严谨，如描述“所有高个子的学生”因“高”定义不明确，无法组成集合．最后，综合判断描述内容是否具备形成集合的条件． 2．常用数集及其记法 【解题方法点拨】 熟练掌握几个常见数集的符号与含义，能判断给出的数是否属于这些数集． 3．集合的确定性、互异性、无序性 【解题方法点拨】 解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复． 4．列举法表示集合 【解题方法点拨】 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来即可． 5．描述法表示集合 【解题方法点拨】 明确描述对象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述条件：描述条件要准确、简洁，通常用文字或符号来表示集合中的元素特征．统一标准：确保描述的方法能够唯一确定一个集合，避免模糊或歧义的描述． 6．元素与集合关系的判断 集合中元素的特征： （1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合． （2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素． （3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系． 7．判断元素与集合的属于关系 【解题方法点拨】 明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合． 8．元素与集合的属于关系的应用 【解题方法点拨】 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． 9．集合中元素个数的最值 【知识点的认识】 求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决． 【题型目录】 一．判断自然语言描述内容能否组成集合 二．常用数集及其记法 三．集合的确定性、互异性、无序性 四．集合的表示方法 五．元素与集合关系的判断 【典型例题】 题型1 判断自然语言描述内容能否组成集合 例1．以下各组对象不能组成集合的是（　　） A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程x2﹣7＝0的实数解 D．周长为10cm的三角形 【答案】B 【分析】根据集合元素的特点：互异性、确定性、无序性，判断各选项即可． 【解答】解：对于选项A：中国古代四大发明是指指南针、造纸术、印刷术、火药，满足集合元素的特征，构成集合； 对于选项B：地球上的小河流，没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流， 故地球上的小河流不能组成集合． 对于选项C：方程x2﹣7＝0的实数解为±，满足集合元素的特征，构成集合； 对于选项D：周长为10cm的三角形也有明确的判断标准，满足集合元素的特征，构成集合； 故选：B． 【点评】本题考查的是集合元素的特点：互异性、确定性、无序性．特别是在元素的确定性上经常会考查问题，比如多高才算高个子、多长才算很长、多小才算很小等规律值得同学们总结归纳和思考，属基础题． 例2．下列各组对象 ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O的距离等于1的点的全体； ④正三角形的全体； ⑤的近似值的全体． 其中能构成集合的组数有（　　） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】A 【分析】根据集合元素的“确定性”，可知A项中的对象不符合集合的定义．而其它各项都有明确的定义，符合集合元素的特征，由此可得正确选项． 【解答】解：①“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合； ②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合； ③“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定，能构成集合； ④“正三角形的全体”的对象是确定，能构成集合； ⑤“的近似值的全体的对象”不确定，不能构成集合； 故③④正确． 故选：A． 【点评】本题给出几组对象，要我们找出不能构成集合的对象，着重考查了集合的定义和集合元素的性质等知识，属于基础题． 例3．下列选项能组成集合的是（　　） A．当红的影视明星 B．所有不等于1的实数 C．身体较高的男生 D．非常接近于1的正数 【答案】B 【分析】集合中的元素具有确定性，由此能求出正确选项． 【解答】解：在A中，当红的影视明星没有确定性，不能组成集合，故A错误； 在B中，所有不等于1的实数能级成集合，故B正确； 在C中，身体较高的男生没有确定性，不能组成集合，故C错误； 在D中，非常接近于1的正数没有确定性，不能组成集合，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查集合的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意集合中元素的确定性的合理运用． 练习1．下列对象能组成集合的是（　　） A．非常小的正数 B．世界上著名的数学家 C．2014年参加仁川亚运会的国家 D．的近似值 【答案】C 【分析】题目中的四句自然语言，其中选项A、B、D中描述的对象都是不确定的，违背了集合中元素的确定性． 【解答】解：非常小的正数是不确定的，所以构不成集合，选项A不正确； 世界上著名的数学家是不确定的，所以选项B不正确； 2014年参加仁川亚运会的国家是确定的，能构成集合，所以选项C正确； 的近似值不确定，所以选项D不正确． 故选：C． 【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，解答此题的关键就是掌握集合中元素的三个特性，即确定性、互异性和无序性，属基础题． 练习2．下列对象不能组成集合的是（　　） A．不超过20的质数 B．π的近似值 C．方程x2＝1的实数根 D．函数y＝x2，x∈R的最小值 【答案】B 【分析】分析四个答案中所列的对象是否满足集合元素的确定性和互异性，即可得到答案． 【解答】解：A、一不超过20的质数，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合； B、π的近似值，无法确定元素，不满足集合元素的确定性和互异性，故不可以构造集合； C、方程x2＝1的实数根为﹣1，1，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合； D、函数y＝x2，x∈R的最小值为0，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合； 故选：B． 【点评】本题以判断对象能否构成集合为载体考查了集合元素的性质，熟练掌握集合元素的确定性和互异性，是解答的关键． 练习3．下列各组对象能组成一个集合的是（　　） ①某中学高一年级所有聪明的学生； ②在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点； ③所有不小于3的正整数； ④的所有近似值． A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据集合元素的明确性，可得①④当中的对象不明确，故不能构成集合；而②③当中的对象符合集合元素的性质，可以构成集合． 【解答】解：对于①，“某中学高一年级所有聪明的学生”，其中聪明没有明确的定义，故不能构成集合； 对于②，“在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点”，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“所有不小于3的正整数”，符合集合的定义，能构成集合； 对于④，“的所有近似值”，对近似的精确度没有明确定义，故不能构成集合． 综上所述，只有②③能构成集合，①④不能构成集合． 故选：C． 【点评】本题给出几组对象，要求我们找出能构成集合元素的对象，着重考查了集合元素的性质和集合的定义等知识，属于基础题． 练习4．给出以下四个对象，其中能构成集合的有（　　） ①教2011届高一的年轻教师； ②你所在班中身高超过1.70米的同学； ③2010年广州亚运会的比赛项目； ④1，3，5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】题目中给出了用自然语言描述的四类对象，要判断哪一个描述能够构成集合，就要紧扣集合中元素的确定性，描述的对象是确定的，可以构成集合，描述的对象不确定则不能构成集合． 【解答】解析：因为未规定年轻的标准，所以①不能构成集合； 由于②③④中的对象具备确定性、互异性，所以②③④能构成集合． 故选：C． 【点评】本题考查了集合中元素的确定性，集合中元素有三个特性，即确定性、互异性和无序性，确定性的考查主要体现在判断用自然语言描述的对象能否构成集合问题，解答时只要仔细斟酌应该不会出错，此题是基础题． 题型2 常用数集及其记法 例1．下列元素与集合的关系表示正确的是（　　） ①﹣1∈N*；②∉Z；③∈Q；④π∈Q A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】认识常用数集的表示符号及元素和集合的关系． 【解答】解：对于①：﹣1不是自然数，故﹣1∉N*，故①错误； 对于②：是无理数不是整数，Z表示整数集合∴∉Z，故②正确； 对于③：是有理数，Q表示有理数集，∴∈Q，故③正确； 对于④：π是无理数，Q表示有理数集，∴π∉Q，故④错误． 故选：B． 【点评】本题考查对数集的认识，属于基础题 例2．下列正确的命题的个数有（　　） ①1∈N；②∈N*；③∈Q；④2+∉R；⑤∉Z． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系进行判断． 【解答】解：对于①，N是一个集合，∴1∈N，正确． 对于②：是无理数，∴∉N*；不正确． 对于③：是有理数，Q是有理数集，∈Q，正确． 对于④：R是实数集，∴2+∈R，不正确． 对于⑤：Z是整数集，∴＝2∈Z．不正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题． 例3．给出下列关系： ，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用实数的理论和元素与集合之间的关系即可得出． 【解答】解：（1），正确； （2）∵是无理数，∴∉Q，因此（2）不正确； （3）∵|﹣3|＝3∈N，∴（3）正确； （4）∵∉Z，∴（4）不正确． 综上可知：正确命题的个数为2． 故选：B． 【点评】正确理解实数集及元素与集合之间的关系是解题的关键． 练习1．给出下列关系： ①∈R；②∈Q；③﹣3∉Z；④﹣∉N， 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据数集的含义，分别判断即可得出结论． 【解答】解：是实数，①正确； 是无理数，②错误； ﹣3是整数，③错误； ﹣是无理数，不是自然数，④正确． 故选：B． 【点评】本题考查了元素与集合的关系，属基础题． 练习2．下列关系中：①； ②； ③|﹣3|∉N+； ④．其中正确的是　①②　（填序号）． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用元素与集合的关系判断选项的正误即可． 【解答】解：因为R是实数集，所以①正确； 是无理数，所以，正确； |﹣3|＝3，|﹣3|∉N+，不正确； ，因为是无理数，所以④不正确． 判断正确的是：①②． 故答案为：①②． 【点评】本题是基础题，考查元素与集合关系，考查基本知识的应用． 练习3．在下列表达式中，①0∉N；②∅⊂{0}；③π∈Q；④{1}∈{0，1}，其中正确的为 　②　（填写所有正确的序号）． 【答案】②． 【分析】根据集合的概念与表示、集合的包含关系和元素与集合的关系，对各项逐一判断，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意，因为0是自然数，所以①0∉N错误； 因为空集是任何非空集合的真子集，故②∅⊂{0}正确； 因为π不是有理数，所以③π∈Q错误； 因为{1}⊂{0，1}，所以④{1}∈{0，1}错误． 综上所述，其中的真命题是②． 故答案为：②． 【点评】本题主要考查集合的概念与表示、集合的包含关系等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题． 练习4．用符号∈或∉填空：3.1 　∉　N，3.1 　∉　Z，3.1 　∉　N*，3.1 　∈　Q，3.1 　∈　R． 【答案】∉；∉；∉；∈；∈． 【分析】由元素与集合的关系求解即可． 【解答】解：因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数， 所以3.1∉N；3.1∉Z；3.1∉N*；3.1∈Q；3.1∈R． 故答案为：∉；∉；∉；∈；∈． 【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题． 练习5．下列关系中，正确的是　①②⑥　． ①； ②； ③|﹣20|∉N*； ④； ⑤﹣5∉Z； ⑥0∈N． 【答案】①②⑥． 【分析】根据元素与集合的关系进行判断即可． 【解答】解：①，正确； ②，正确； ③因为|﹣20|＝20∈N*，则|﹣20|∉N*，错误； ④因为；则，错误； ⑤﹣5∉Z，错误； ⑥0∈N．正确； 所以正确的是①②⑥． 【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题． 题型3 集合的确定性、互异性、无序性 例1．若以集合{a，b，c，d}的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（　　） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用集合中元素的互异性，直接判断选项多边形的边长构成的结合的元素个数即可得到结果． 【解答】解：因为集合中的元素是互异的，也是无序的，所以平行四边形的边长构成的集合只有2个元素； 菱形的边长构成的集合只有1个元素；矩形的边长构成的集合只有2个元素； 满足题意的可能是梯形． 故选：A． 【点评】本题考查集合中元素的特征互异性的应用，基本知识的考查． 例2．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（　　） A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2 【答案】C 【分析】分别由1﹣a＝4，a2﹣a+2＝4，求出a的值，代入观察即可． 【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3， ∴a2﹣a+2＝14， ∴A＝{2，4，14}； 若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1， a＝2时，1﹣a＝﹣1， ∴A＝{2，﹣1，4}； a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍）， 故选：C． 【点评】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，本题是一道基础题． 例3．由实数所组成的集合，最多含（　　）个元素． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义和开平方、立方的方法，应对对x分x＞0，x＝0，x＜0三种情况分类讨论，根据讨论结果可得答案． 【解答】解：当x＞0时，x＝|x|＝，＝﹣x＜0，此时集合共有2个元素， 当x＝0时，x＝|x|＝＝＝﹣x＝0，此时集合共有1个元素， 当x＜0时，＝|x|＝﹣x，＝﹣x，此时集合共有2个元素， 综上的，此集合最多有2个元素， 故选：A． 【点评】本题考查了元素与集合关系的判断及根式的化简求值，其中解答本题的关键是利用分类讨论思想，对x分三种情况进行讨论． 例4．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}． （1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值； （2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围； （3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 【答案】（1）a＝0或a＝时； （2）{a|a≤}． （3）{a|a≥或a＝0}． 【分析】（1）由题意得ax2﹣3x+2＝0只有一个根，对a是否为0进行分类讨论，然后结合一次方程及二次方程根的存在条件可求； （2）由题意得ax2﹣3x+2＝0至少有一个根，对a是否为0进行分类讨论，然后结合一次方程及二次方程根的存在条件可求； （3）由题意得ax2﹣3x+2＝0至多一个根，对a是否为0进行分类讨论，然后结合一次方程及二次方程根的存在条件可求； 【解答】解：（1）当a＝0时，原方程可化为﹣3x+2＝0，得x＝，符合题意． 当a≠0时，方程ax2﹣3x+2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9﹣8a＝0，得a＝． 所以当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素． （2）由题意得，当， 即a＜且a≠0时方程有两个实根， 又由（1）知，当a＝0或a＝时方程有一个实根．所以a的取值范围是a≤． （3）由（1）知，当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素． 当集合A中没有元素，即A＝∅时， 由题意得，解得a＞． 综上得，当a≥或a＝0时，集合A中至多有一个元素． 【点评】本题主要考查了集合元素性质的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题． 练习1．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6﹣a∈A，那么a为（　　） A．2 B．2或4 C．4 D．0 【答案】B 【分析】根据题意，分析可得，满足当a∈A时，必有6﹣a∈A的有2、4，从而得到a的值． 【解答】解：集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6﹣a∈A， a＝2∈A，6﹣a＝4∈A，∴a＝2， 或者a＝4∈A，6﹣a＝2∈A，∴a＝4， 综上所述，a＝2，4． 故选：B． 【点评】本题考查了集合中元素的三要素﹣﹣确定性，互异性和无序性，解题中要注意对所解答案的检验，属于基础题． 练习2．已知集合A中含有三个元素1，a+b，a，集合B中含有三个元素0，，b，且两集合中元素相同，求a﹣b的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，有的意义，可得a≠0，而可得{1，a+b，a}中必有a+b＝0，进而可得：①或②；分别解①②可得a、b的值，进而计算可得答案． 【解答】解：由题意可知a≠0，则只能a+b＝0， 则有以下对应关系：①或②； 由①得a＝﹣1，b＝1，符合题意； ②无解； 则a﹣b＝﹣2． 【点评】本题考查集合相等的意义，注意从元素的特点进行分析，即在本题中，根据的意义，可得a≠0，而可得在{1，a+b，a}中必有a+b＝0． 练习3．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a+b，0}，求a2016+b2017的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用集合相等的性质列方程组，结合集合中元素的互异性，能求出结果． 【解答】解：由，可得a≠0，a≠1（否则不满足集合中元素的互异性）． 因为含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a+b，0}， 所以或解得或 经检验a＝﹣1，b＝0满足题意． 所有a2016+b2017＝（﹣1）2016＝1． 【点评】本题考查代数式的值的求法，考查集合相等、集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 练习4．已知集合A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m为　3　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据集合的互异性进行解答． 【解答】解：由题意知，m＝2或m2﹣3m+2＝2， 解得m＝2或m＝0或m＝3， 经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性， 当m＝3时，满足题意． 故答案为：3 【点评】本题考查了元素与集合关系的判断．通过对集合中元素构成的特点及元素个数这个条件求参数的取值，属于基础题． 练习5．已知集合A＝{a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，求实数a的取值集合． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用元素和集合的关系，因为1∈A，所以分别讨论三个式子，然后求解a． 【解答】解：因为1∈A，所以 ①若a+2＝1，解得a＝﹣1，此时集合为{1，0，1}，元素重复，所以不成立，即a≠﹣1． ②若（a+1）2＝1，解得a＝0或a＝﹣2，当a＝0时，集合为{2，1，3}，满足条件，即a＝0成立． 当a＝﹣2时，集合为{0，1，1}，元素重复，所以不成立，即a≠﹣2． ③若a2+3a+3＝1，解得a＝﹣1或a＝﹣2，由①②知都不成立． 所以满足条件的实数a的取值集合为{0}． 【点评】本题主要考查元素和集合的关系的应用，要注意利用元素的互异性对所求集合进行检验． 题型4 集合的表示方法 例1（多选）．集合{1，3，5，7，9}用描述法可表示为（　　） A．{x|x是不大于9的非负奇数} B．{x|x＝2k+1，k∈N，且k≤4} C．{x|x≤9，x∈N*} D．{x|0≤x≤9，x∈Z} 【答案】AB 【分析】根据题中集合元素的特征可直接判断． 【解答】解：根据题意，集合{1，3，5，7，9}中的元素为不大于9的非负奇数， 题中选项A、B均可表示， 故选：AB． 【点评】本题考查集合的表示法，属于基础题． 例2．用描述法表示所有偶数组成的集合 　{x|x＝2n，n∈Z}　． 【答案】{x|x＝2n，n∈Z}． 【分析】根据描述法的定义即可求出． 【解答】解：描述法为：{x|x＝2n，n∈Z}． 故答案为：{x|x＝2n，n∈Z}． 【点评】本题考查了集合的表示方法，属于基础题． 例3．集合{x|﹣3＜2x﹣1＜3，x∈Z}用列举法表示为（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1} D．{1} 【答案】C 【分析】直接求出集合中的元素即可． 【解答】解：{x|﹣3＜2x﹣1＜3，x∈Z}＝{x|﹣1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}． 故选：C． 【点评】本题主要考查了集合列举法与描述法的转化，属于基础题． 例4．请按要求完成下列各小题： （1）请用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合； （2）请用描述法表示不等式x﹣10＞0的解集； （3）若集合A＝{x|x2﹣6x+5＝0}，写出集合A的所有子集． 【答案】（1）{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}； （2）{x|x＞10}； （3）集合A的所有子集为∅，{1}，{5}，{1，5}． 【分析】根据集合的表示法可解（1），（2），由集合子集的定义可解（3）． 【解答】解：（1）用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}； （2）用描述法表示不等式x﹣10＞0的解集为{x|x＞10}； （3）集合A＝{x|x2﹣6x+5＝0}＝{1，5}，集合A的所有子集为∅，{1}，{5}，{1，5}． 【点评】本题考查集合的表示法，集合子集的定义，属于基础题． 练习1．用列举法可将集合{（x，y）|x∈{0，1}，y∈{1，2}}表示为（　　） A．{0，1} B．{（1，2）} C．{（0，1），（1，2）} D．{（0，1），（0，2），（1，1），（1，2）} 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系及描述法的定义即可得出正确的选项． 【解答】解：集合{（x，y）|x∈{0，1}，y∈{1，2}}表示为{（0，1），（0，2），（1，1），（1，2）}． 故选：D． 【点评】本题考查了集合的描述法和列举法的定义，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题． 练习2．用描述法表示函数y＝3x+1图象上的所有点的是（　　） A．{x|y＝3x+1} B．{y|y＝3x+1} C．{（x，y）|y＝3x+1} D．{y＝3x+1} 【答案】C 【分析】根据集合描述法定义可解决此题． 【解答】解：根据集合描述法定义可得函数y＝3x+1图象上的所有点的集合是{（x，y）|y＝3x+1}， 故选：C． 【点评】本题考查集合描述法定义，考查数学抽象能力，属于基础题． 练习3．集合{x∈N*|x＜3}用列举法可表示为（　　） A．{0，1，2，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3} 【答案】B 【分析】根据集合描述列举出集合元素即可． 【解答】解：由{x∈N*|x＜3}＝{1，2}． 故选：B． 【点评】本题考查了集合的表示，是基础题． 练习4．用描述法表示如图中阴影部分的点（含边界）的集合 　　． 【答案】． 【分析】利用图中的阴影部分的点（含边界）的坐标满足的条件即为集合的元素的公共属性． 【解答】解：图中的阴影部分的点设为（x，y）， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了集合的描述法的定义，是基础题． 练习5．用列举法表示集合{∈N|x∈N}的结果为 　{1，2，3，6}　． 【答案】{1，2，3，6}． 【分析】由集合的元素属于非负整数集计算即可． 【解答】解：集合{∈N|x∈N}， 因为x∈N，分母不能为0， 可得x的结果为3，6，7，8， 所以集合{∈N|x∈N}为{1，2，3，6}． 故答案为：{1，2，3，6}． 【点评】本题考查元素与集合的关系、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 练习6．集合{x∈Z|﹣3＜2x﹣1＜3}，用列举法表示是 　{0，1}　． 【答案】{0，1}． 【分析】解一元一次不等式，利用列举法求解即可． 【解答】解：集合{x∈Z|﹣3＜2x﹣1＜3}＝{0，1}，故用列举法表示是{0，1}． 故答案为：{0，1}． 【点评】本题考查集合的表示，根据描述法求出集合元素等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 练习7．用描述法表示下列集合： （1）所有被3整除的整数组成的集合； （2）不等式2x﹣3＞5的解集； （3）方程x2+x+1＝0的所有实数解组成的集合； （4）抛物线y＝﹣x2+3x﹣6上所有点组成的集合； （5）集合{1，3，5，7，9}． 【答案】（1）{x|x＝3k，k∈Z}； （2）{x|x＞4，x∈R}； （3）{x|x2+x+1＝0，x∈R}； （4）{（x，y）|y＝﹣x2+3x﹣6}； （5）{x|x＝2n﹣1，1≤n≤5且n∈N*}． 【分析】根据已知条件，结合集合表示法的定义，即可依次求解． 【解答】解：（1）所有被3整除的整数组成的集合为{x|x＝3k，k∈Z}； （2）不等式2x﹣3＞5的解集为{x|x＞4，x∈R}； （3）方程x2+x+1＝0的所有实数解组成的集合为{x|x2+x+1＝0，x∈R}； （4）抛物线y＝﹣x2+3x﹣6上所有点组成的集合为{（x，y）|y＝﹣x2+3x﹣6}； （5）集合{1，3，5，7，9}为{x|x＝2n﹣1，1≤n≤5且n∈N*}． 【点评】本题主要考查集合表示法的定义，属于基础题． 题型5 元素与集合关系的判断 例1．以下四个关系式：0∈{0}，∅∈{0}，0.3∉Q，0∈N中，错误的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素和集合的关系判断即可． 【解答】解：N为自然数集，Q为有理数集． 根据元素和集合的关系可知：0∈{0}，0∈N，0.3∈Q， 集合和集合之间的关系不能用“∈”， 故∅∈{0}和0.3∉Q错误． 故选：B． 【点评】本题考查了元素与集合的关系，是基础题． 例2．若集合A＝{﹣2，1，4，8}，B＝{xy|x∈A，y∈A}，则B中元素的最小值为（　　） A．﹣16 B．﹣8 C．﹣2 D．32 【答案】A 【分析】由已知结合元素与集合的关系即可求解． 【解答】解：由题意得，（xy）min＝﹣2×8＝﹣16． 故选：A． 【点评】本题考查集合中的元素，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题． 例3．定义：集合A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}．若A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则A﹣B＝（　　） A．{1，2，3} B．{4，5} C．{6，7，8} D．{1，2，3，4，5} 【答案】A 【分析】由已知定义，结合元素与集合关系即可求解． 【解答】解：因为A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}， 若A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}， 则A﹣B＝{1，2，3}． 故选：A． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题． 例4．举例说明：设集合M中含有三个元素3，x，x2： （1）求实数x，应满足的条件； （2）若4∈M，求实数x的值． 【答案】（1）x≠0且x≠3且x≠1且且； （2）x＝4或x＝2或x＝﹣2． 【分析】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可； （2）若4∈M，则x＝4或x2＝4，进而求解即可得答案． 【解答】解：（1）根据集合中元素的互异性，可知， 即x≠0且x≠3且x≠1且且； （2）若4∈M，则x＝4或x2＝4，解得：x＝4或x＝2或x＝﹣2， 若x＝4，则M＝{3，4，16}，满足题意； 若x＝2，则M＝{3，2，4}，满足题意； 若x＝﹣2，则M＝{3，﹣2，4}，满足题意； 故x＝4或x＝2或x＝﹣2． 【点评】本题考查元素与集合关系的应用，属于基础题． 例5．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+2＝0，x∈R，a∈R}． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A． 【答案】（1）； （2）a的值为0或， 当a＝0时，集合A＝{1}，当时，集合A＝{2}． 【分析】（1）根据A是空集，可知，解不等式组即可； （2）根据A中只有一个元素，分a＝0和a≠0两种情况进行讨论． 【解答】解：（1）因为A是空集，所以，即， 解得， 所以a的取值范围为； （2）当a＝0时，集合A＝{x|﹣2x+2＝0}＝{1}，符合题意， 当a≠0时，Δ＝0即4﹣8a＝0，解得， 此时集合A＝{2}， 综上所述，a的值为0或， 当a＝0时，集合A＝{1}，当时，集合A＝{2}． 【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题． 练习1．已知集合A＝{t|2t﹣3a+4＞0}，若2∉A，则a的取值范围为（　　） A．{a|a} B．{a|a} C．{a|a} D．{a|a} 【答案】A 【分析】由已知结合元素与集合的关系即可判断． 【解答】解：因为集合A＝{t|2t﹣3a+4＞0}， 若2∉A，则4﹣3a+4≤0，解得a． 故选：A． 【点评】本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题． 练习2．已知集合{x|（x﹣a2）（x﹣1）＝0}的元素之和为1，则实数a所有取值的集合为（　　） A．{0} B．{1} C．{﹣1，1} D．{0，﹣1，1} 【答案】D 【分析】分a＝0和a≠0以及a＝±1分别求解集合，进而求解结论． 【解答】解：（x﹣a2）（x﹣1）＝0可得x＝1或x＝a2， 当a＝0时，集合{x|（x﹣a2）（x﹣1）＝0}＝{0，1}，此时元素之和为1，满足题意； 当a＝±1时，集合{x|（x﹣a2）（x﹣1）＝0}＝{1}，此时元素之和为1，满足题意； 当a≠0且a≠±1时，集合{x|（x﹣a2）（x﹣1）＝0}＝{a2，1}，此时元素之和为1+a2≠1，不满足题意； 故满足题意的a＝0或a＝±1． 故选：D． 【点评】本题考查的知识要点：集合的性质的应用，函数和方程的关系． 练习3．若对任意x∈A，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（　　） A．{1，3} B．{﹣1，0，1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0} 【答案】D 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：由题意分析即可． 【解答】解：对于选项A：因为3∈{1，3}，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为0∈{﹣1，0，1}，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如2∈{x|x＞1}，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意x∈{x|x＞0}，均有{x|x＞0}，符合题意，故D正确． 故选：D． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合关系的判断，属于基础题． 练习4．已知集合A＝{x|x2﹣5x＝0}，则（　　） A．{0}∈A B．5∉A C．{5}∈A D．0∈A 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断． 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣5x＝0}＝{0，5}，则0∈A，5∈A，{0}⊆A，{5}⊆A． 故选：D． 【点评】本题考查元素与集合关系的判断，属于基础题． 练习5（多选）46．下列说法正确的是（　　） A．方程x2﹣2x+1＝0的解集中有两个元素 B．0∉N C．2∈{x|x是质数} D． 【答案】CD 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断选项即可． 【解答】解：方程x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，解得x＝1，即方程x2﹣2x+1＝0的解集中有一个元素，选项A错误； ∵0是自然数，∴0∈N，选项B错误； ∵2是质数，∴2∈{x|x是质数}，选项C正确； ∵是有理数，∴∈Q，选项D正确． 故选：CD． 【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题． 练习6．若集合A＝{x|2mx﹣3＞0，m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合元素与集合的关系可得关于m的不等式，即可求解． 【解答】解：因为集合A＝{x|2mx﹣3＞0，m∈R}，其中2∈A且1∉A， 所以，解得． 故选：A． 【点评】本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题． 练习7．已知集合A＝{﹣1，a2﹣2a+1，a﹣4}，若4∈A，则a的值可能为（　　） A．﹣1，3 B．﹣1 C．﹣1，3，8 D．﹣1，8 【答案】D 【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解． 【解答】解：由题意若a2﹣2a+1＝4，解得a＝3或a＝﹣1，若a﹣4＝4，解得a＝8， 当a＝﹣1时，A＝{﹣1，4，﹣5}满足题意， 当a＝3时，A＝{﹣1，4，﹣1}违背了集合中元素间的互异性， 当a＝8时，A＝{﹣1，4，49}满足题意， 综上所述，a的值可能为﹣1，8． 故选：D． 【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题． 练习8．已知关于x的不等式ax﹣1＞0的解集为M，2∈M且1∉M，则实数a的取值范围是 　{a|}　． 【答案】{a|}． 【分析】由已知结合元素与集合的关系即可求解． 【解答】解：由题意得，，解得． 故答案为：{a|}． 【点评】本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$