第11章 三角形 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

小结与复习 第十一章 三角形 人教版八年级（上） 1 知识结构图 三角形 与三角形有关的线段 三角形内角和 三角形外角和 多边形内角和 多边形外角和 三角形的边 高 中线 角平分线 知识回顾 1. 三角形的分类 底和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 按边分 三边都不相等的三角形 等腰三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 按角分 2. 三角形三边的大小关系： 结论1 三角形两边的和_____第三边. 结论2 三角形两边的差_____第三边. 第三边取值范围：_________＜第三边＜_________ 大于 小于 两边之差 两边之和 三角形中的线段 概念 图形 中线 高线 角平分线 顶点和对边上垂足之间的线段 顶点和对边中点之间的线段 角的平分线被三角形所截的线段 3. 三角形的中线、高线、角平分线 4. 三角形的内角和定理与外角的性质 (1) 三角形的内角和等于______； (2) 三角形的一个外角____与它不相邻的两个内角的和； 180° 等于 大于 (3) 三角形的一个外角____和它不相邻的任何一个内角. 5. 多边形内角和、外角和 n 边形内角和等于 (n - 2)×180°(n≥3，且 n 为整数). n 边形的外角和等于 360°. 正 n 边形的每个内角的度数是 正 n 边形的每个外角的度数是 考点一 三角形三边关系 例1 (武汉江夏期中)在△ABC 中，AB = 3cm，BC = 7 cm，若 AC 的长度为整数，则 AC 的长可能是( ) A. 10 cm B. 5 cm C. 4 cm D. 2 cm B 7 - 3＜AC＜3 + 7 4＜AC＜10 第三边取值范围：两边之差＜第三边＜两边之和. 总结 分析： 考点讲练 例2 等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，求另 两边长. 6 为底边长 (16 - 6)÷2 = 5 另外两边长 5、5 6 为腰长 16 - 6 - 6 = 4 另外两边长 6、4 分析： 解：由于题中没有指明边长为 6 的边是底还是腰， 故应分两种情况讨论： ①当 6 为底边长时，腰长为 (16 - 6)÷2 = 5，这时另两边长分别为 5，5，符合三边关系； ②当 6 为腰长时，底边长为 16 - 6 - 6 = 4，这时另两边长分别为 6，4，符合三边关系. 综上所述，另两边长为 5，5 或 6，4. 1．(德阳)八一中学九年级 2 班学生小冲和小锐的家到学校的直线距离分别是 5 km 和 3 km. 那么小冲、小锐两家的直线距离不可能是 ( ) A.1 km B.2 km C.3 km D.8 km 2．(抚州)已知等腰三角形两边的长分别为 a，b，且满足 |a－3|＋(b－7)2＝0.则这个等腰三角形的周长为____. 17 A 链接中考 考点二 三角形的重要线段 例3 如图，CD 为△ABC 的 AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大 3 cm，BC = 8 cm，求边 AC 的长． 解：∵ CD 为△ABC 的 AB 边上的中线， ∴ AD = BD． ∵△BCD 的周长比△ACD 的周长大 3 cm， ∴ (BC + BD + CD)－(AC + AD + CD) = 3． ∴ BC－AC = 3． ∵ BC = 8 cm， ∴ AC = 5 cm． 解：∵ 点 E 是 AD 的中点， ∴ S△DBE = S△ABD，S△DCE = S△ADC. ∴ S△DBE + S△DCE = S△ABC = ×24 = 12，即 S△BCE = 12. ∵ 点 F 是 CE 的中点，∴ S△BEF = S△BCE = ×12 = 6. 例4 如图，D 是△ABC 的边 BC 上任意一点，E、F 分别是线段 AD、CE 的中点，且△ABC 的面积为 24，求△BEF 的面积． 3. (贵阳)如图，在△ABC 中有四条线段 DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是 △ABC 的中线，则该线段是( ) A. 线段 DE B. 线段 BE C. 线段 EF D. 线段 FG B 真题链接 4.(浙江)如图，已知 AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，∠BEF 的平分线与 ∠DFE 的平分线相较于点 P，求证：∠P = 90°. AB∥CD ∠BEF +∠DFE = 180° PE、PF 分别是角平分线 ∠PEF +∠PFE = 90° ∠P = 90° 分析： 解：∵AB∥CD， ∴∠BEF + ∠DFE = 180°. ∵PE、PF 分别∠BEF 、∠DFE 的平分线， ∴∠PEF = ∠BEF，∠PFE = ∠DFE. ∴∠PEF +∠PFE = (∠BEF + ∠DFE) = 90°. ∴∠P = 180°-(∠PEF +∠PFE) = 90°. 考点三 三角形内角和定理和外角的性质 例5 如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠BAC = 63°，求∠DAC 的度数． 解：设∠1 =∠2 = x，则∠4 =∠3 = 2x. ∵∠BAC = 63°， ∴∠2 +∠4 = 117°，即 x + 2x = 117°. ∴ x = 39°. ∴∠3 = ∠4 = 78°， ∠DAC = 180° - ∠3 - ∠4 = 24°. 例6 “三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中四边形 ABCD 是长方形，F 是 DA 延长线上一点，G 是 CF 上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F. 请写出 ∠ECB 和 ∠ACB 的数量关系，并说明理由． A B C D G E F 解：∠ACB＝3∠ECB. 理由如下： 在 △AGF 中， ∠AGC＝∠F＋∠GAF＝2∠F. ∵∠ACG＝∠AGC， ∴∠ACG＝2∠F. ∵AD∥BC， ∴∠ECB＝∠F. ∴∠ACB＝∠ACG＋∠BCE＝3∠F. 故∠ACB＝3∠ECB. A B C D G E F 5．(烟台)一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为 3 : 1，则这个正多边形是 ( ) A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 C 链接中考 1.∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数. (1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°； (2)∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4. 解：(1)∵∠C＝54° ，∴∠A＋∠B＝180°－54°＝126° ①. ∵∠A－∠B＝16° ②，由 ①② 解得∠A＝71°，∠B＝55°. (2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x， 则 2x + 3x + 4x = 180° ， 解得 x＝20°. ∴∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°. 练一练 考点四 多边形的内角和与外角和 例7 当一个多边形的边数增加时，它的内角和与外角和的差是 ( ) A. 增大 B. 不变 C. 变小 D. 以上都有可能 A 内角和： (n - 2)×180°(n≥3，且 n 为整数) 外角和：360° 内角和 - 外角和 = 180°n - 720° 分析： 解：∵ 五边形的内角和是 540°， ∴ 每个内角为 540°÷5 = 108°. ∴∠E =∠B =∠BAE = 108°. 又∵∠1 =∠2，∠3 =∠4， 由三角形内角和定理可知 ∠1 =∠2 =∠3 =∠4 = (180°－108°)÷2 = 36°， ∴∠CAD =∠BAE－∠1－∠3 = 108°－36°－36° = 36°. 例8 如图，五边形 ABCDE 的内角都相等，且∠1 =∠2，∠3 =∠4．求∠CAD 的度数． 1. (荆州公安期中)如图，在△ABC 中 ， ∠1=∠2=∠3. (1)求证 ：∠ABC =∠EDF； (1)证明： ∵∠EDF 是 △ABD 的一个外角， ∴∠EDF =∠1+∠ABD. ∵∠1 =∠2， ∴∠EDF =∠2 +∠ABD ， 即∠ABC =∠EDF. 真题链接 (2) 解：∵∠DEF 是△ACE 的一个外角， ∴∠DEF =∠3 + ∠CAE. ∵∠1 =∠3， ∴∠DEF =∠1 +∠CAE =∠BAC. 由(1)得∠EDF =∠ABC = 45°， ∵∠DFE = 50°， ∴∠DEF = 180° -∠EDF -∠DFE = 85°. ∴∠BAC = 85°. (2) 若∠ABC = 45°，∠DFE = 50°，求 ∠BAC 的度数. 2. (河北中考改编)如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE 与 BD 的交点为 C，且 ∠CAB，∠CBA，∠E 保持不变，为了舒适，需调整 ∠D 的大小，使 ∠EFD = 110°，则图中 ∠D 应减少多少度? 解:如图，延长 EF，交 CD 于点 G. ∵∠CAB = 50°，∠CBA = 60°， ∴∠ACB = 180° - 50° - 60° = 70°. ∴∠ECD = ∠ACB = 70°. ∵∠DGF =∠DCE +∠E，∠E = 30°， ∴∠DGF = 70° + 30° = 100°. ∵∠EFD = 110°，∠EFD =∠DGF +∠D， ∴∠D = 10°. 而图中∠D = 20°，∴∠D 应减少 10°. 基础练习 2. 若 (a - 1)2 + | b - 2 | = 0，则以 a，b 为边长的等腰三角形的周长为 . 5 1. 以长度分别为 3、4、x - 5 的线段为边可以组成一个三角形，那么 x 的取值范围是 . 6 ＜ x ＜ 12 课堂练习 3. 如图，在△ABC 中，两条角平分线 BE 和 CD 相交于点 O，若∠BOC = 132°， 那么∠A 的度数是 . 84° 4.(汉阳期中)如图，正六边形 A1A2A3A4A5A6 内部有一个正五边形 B1B2B3B4B5，且 A3A4∥B3B4，直线 l 经过点 B2，B3，则图中 α 的大小是_____. 48° 5. 如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，∠1 =∠2 = 60°，AB 与 DE 有怎样的位置关系？AD 与 BC 有怎样的位置关系？为什么？ 解：AB∥DE，AD∥BC. 理由如下： ∵ 六边形 ABCDEF 的内角都相等， ∴ 六边形 ABCDEF 的每一个内角都是 120°. ∴∠C =∠EDC =∠FAB = 120°. ∵∠1 =∠2 = 60°， ∴∠EDA =∠DAB = 60°. ∴ AB∥DE. ∵∠C = 120°，∠2 = 60°， ∴∠2 +∠C = 180°. ∴ AD∥BC. 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有， 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为， 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络， 如有争议， 请联系删改。 声 明 $$