第11章 《三角形》专题（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

综合专题讲解 第十一章 三角形 人教版八年级(上) 1 专题目录 专题一：与角平分线有关的模型 专题三：不规则多边形中的角度和 专题二：三角形中常见的数学思想方法 专题四：探索多边形边数及角度问题 专题一：与角平分线有关的模型 类型一：两内角平分线的夹角 例1 如图，在 △ABC 中，P 是 ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线的交点.有位同学得出 ∠BPC＝90°＋ ∠A 的结论，你认为正确吗？请给出理由. ∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB) 分析： 解：正确. 理由如下：∵BP 平分∠ABC，CP 平分 ∠ACB， ∴∠PBC＋∠PCB ＝ (∠ABC＋∠ACB) ＝ (180°－∠A)＝90°－ ∠A.∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB) ＝180°－(90°－ ∠A) ＝90°＋ ∠A. 例2 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，BE 平分 ∠ABC 交 AD 于点 E.若 ∠BED＝45°，则∠C 的度数为____. 90° ∠BED＝∠EAB＋∠EBA ＝ (∠CBA＋∠CAB) 分析： 例3 如图，在 △ABC 中，∠A＝80°，点 O 是∠ABC 和 ∠ACB 的平分线的交点，点 P 是∠BOC 和∠OCB 的平分线的交点. 若∠OPC＝100°，则 ∠ACB 的度数为____. 60° 求∠ACB 求∠ABC ∠OPC = 90°＋ ∠OBC 求∠OBC 分析： 例4 如图，BD，CD 分别是 ∠ABC，∠ACB 的三等分线(∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB)，则∠D 与 ∠A 之间存在的数量关系是__________________. 分析： ∠D＝120°＋ ∠A ∠D＝180°－(∠DBC＋∠DCB) ＝180°－ (∠ABC＋∠ACB) ＝180°－ ∠A 【总结】 若 BD，CD 分别是 ∠ABC，∠ACB 的 n 等分线(∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB)，则∠D 与 ∠A 之间存在的数量关系是 ∠D＝180°－ (180°－∠A). 类型二：　一内角平分线与一外角平分线的夹角 例5 如图，在 △ABC 中，E 是边 BC 延长线上一点，∠ABC 的平分线 BO 与∠ACE 的平分线 CO 交于点 O. 求证： . ∠BOC＝∠ECO－∠OBC ＝ 分析： 例6 (1) 如图，BO 平分△ABC 的外角∠CBD，CO 平分△ABC 的外角 ∠BCE，则 ∠BOC 与 ∠A 的关系为 ； (2) 请就(1)中的结论进行证明. 类型三：两外角平分线的夹角 证明：如图，∵ BO，CO 分别是 △ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的平分线， ∴∠DBC＝2∠1＝∠ACB＋∠A， ∠ECB＝2∠2＝∠ABC＋∠A. ∴2∠1＋2∠2 ＝∠A＋∠A＋∠ABC＋∠ACB ＝∠A＋180°. ∴∠1＋∠2＝ ∠A＋90°. 又∵∠1＋∠2＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2) 例7 如图所示，AB，CD 相交于点 E，CF，BF 分别为∠ACD 和∠ABD 的平分线且相交于点 F， 求证： . 类型四：蝴蝶型两角平分线夹角 ∠F +∠3＝∠A +∠1 ∠F +∠2＝∠D +∠4 ∠1＝∠2，∠3＝∠4 分析： 类型五：三角形一内角平分线与一高的夹角 例8 (金牛区校级期中)如图，AD 是 △ABC 的高，AE 是△ABC 的角平分线，若∠B＝48°， ∠C＝68°，则∠DAE 的度数是 (　　) A. 10° B. 12° C. 14° D. 16° A ∠DAE＝∠CAE-∠CAD ∠CAD＝90°-∠C ∠DAE＝10° 分析： ∠CAB＝180° -∠C -∠B 1.(湖州期末)如图，在 △ABC 中，AE 是 △ABC 的角平分线，D 是 AE 延长线上一点，DH⊥BC 于点 H. 若 ∠B＝30°，∠C＝50°，则 ∠EDH＝ 　. 10° ∠B+∠BAC+∠C＝180° ∠EDH＝10° 分析： 练一练 专题二：三角形中常见的数学思想方法 类型一：方程思想 例1 在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，∠A 的 3 倍与∠B 的 2 倍相等，∠B 的 5 倍与∠C 的 6 倍相等，求∠A：∠B：∠C：∠D. 解得 x＝80°. 所以∠A＝80°，∠B＝120°，∠C＝100°，∠D＝60°. 所以∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶6∶5∶3. 解：设 ∠A 为 x，则 ∠C 为180°﹣x，∠B 为 ， 1.(安庆期末)已知 △ABC 中，∠A 比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C 为 (　　) A. 85° B. 95° C. 100° D. 110° B 练一练 2.(江都区期中)如图，△ABC 的面积为 18，BD＝2DC，AE＝EC，那么阴影部分的面积是_____. 连接 FC 设 S△DFC = x，S△EFC = y S△BFD = 2x，S△AEF = y S△BEC = 9，S△ADC = 6 3x + y = 9， x + 2y = 6 分析： 例2 (平泉市期末)已知：∠MON＝40°，OE 平分∠MON，点 A、B、C 分别是射线 OM、OE、ON 上的动点(A、 B、C 不与点 O 重合)，连接 AC 交射线 OE 于点 D. 设∠OAC＝x°. (1)如图1，若 AB∥ON，则①∠ABO 的度数是 　 　；②当∠BAD＝∠ABD 时，x＝　 　；当∠BAD＝∠BDA 时，x＝　 　. 20° 120 60 类型二：分类讨论思想 图1 E (2)如图2，若 AB⊥OM，则是否存在这样的 x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由. (2) ①当点 D 在线段 OB 上时， ∵OE 是 ∠MON 的角平分线， ∴∠AOB = ∠MON＝20°.∵AB⊥OM，∴∠AOB +∠ABO＝90°.∴∠ABO＝70°. 若∠BAD＝∠ABD＝70°，则 x＝20. 若∠BAD＝∠BDA＝ (180°﹣70°)＝55°，则 x＝35.若∠ADB＝∠ABD＝70°， 则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50. 图2 E D C ②当点 D 在射线 BE 上时， ∵∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°， ∴只有∠BAD＝∠BDA，此时 x＝125． 综上可知，存在这样的 x 的值， 使得 △ADB 中有两个相等的角， 且 x＝20、35、50、125． E D 例3 (武汉校级期中)(1)如图1，将△ABC 纸片沿着 DE 对折，使点 A 落在四边形 BCDE 内点 A′ 的位置，探索∠A，∠1，∠2 之间的数量关系，并说明理由. 类型三：转化思想 ∠1+∠2＝2∠BAC ∠1＝∠BAA′+∠AA′E ∠2＝∠CAA′+∠AA′D ∠1+∠2＝ ∠BAC +∠DA′E ∠BAC＝∠DA′E 图1 分析： 连接 AA′ 1 2 (2)如图2，继续这样的操作，把△ABC 纸片的三个角按(1)的方式折叠，三个顶点都在形内，那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 的度数是　 　. ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A' ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝2(∠B+∠C+∠A)＝360° 图2 分析： 360° (3)如果把 n 边形纸片也做类似的操作，n 个顶点都在形内，那么∠1+∠2+∠3+…+∠2n 的度数为____________ (用含有 n 的代数式表示). ∠1+∠2+∠3+…+∠2n＝2(∠B+∠C+∠A)(n﹣2)＝360°(n﹣2)． 360°(n﹣2) 图2 分析： 4.(凉山州期末)如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝(　　)° A.180 B.270 C.360 D.540 把∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6 全部转化到 ∠2，∠3 所在的四边形中. C 分析： 练一练 专题三：不规则多边形中的角度和 类型一　运用“A字形”结论求角度和 【模型与结论】如图，∠ADE＋∠AED＝∠ABC＋∠C. 1.如图，已知∠A＝40°，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数. 解：∵∠A＝40°， ∴∠1＋∠2 ＝∠3＋∠4 ＝180°－∠A ＝140°.∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°. 练一练 例1【模型推理】如图①，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C. 证明：如图①，连接 AO 并延长. ∵∠3 是 △ABO 的外角， ∴∠1＋∠B＝∠3. ∵∠4 是 △AOC 的外角， ∴∠2＋∠C＝∠4. ∴∠3＋∠4＝∠1＋∠B＋∠2＋∠C， 即∠BOC＝∠BAC＋∠B＋∠C. 类型二　运用“飞镖形”结论求角度和 【模型与结论】如图，∠A＋∠D＝∠B＋∠C. 例2 如图，A，B，C，D，E，F 是平面上的 6 个点，求 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的度数. 解：如图，连接 AF. 易知∠C＋∠D＝∠DAF＋∠CFA， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F ＝∠BAD＋∠DAF＋∠CFA＋∠CFE＋∠E＋∠B＝360°. 类型三　运用“8字形”结论求角度和 专题四：探索多边形边数及角度问题 类型一：剪去一个角问题 例1 (余干县月考)如图，将六边形纸片 ABCDEF 沿虚线剪去一个角(∠BCD)后，得到 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°． (1)求六边形ABCDEF的内角和； (2)求∠BGD的度数． 解：(1)六边形ABCDEF的内角和为： 180°×(6﹣2)＝720°. (2)∵六边形ABCDEF的内角和为720°， 1 +∠2 +∠3 +∠4 +∠5＝460°， ∴∠GBC +∠C +∠CDG＝720°﹣460°＝260°. ∴∠BGD＝360°﹣(∠GBC+∠C +∠CDG)＝100°. 即∠BGD 的度数是 100°. 1.(韶关期末)探索归纳： (1) 如图1，已知△ABC 为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝　 　． (2) 如图2，已知△ABC 中，∠A＝40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1+∠2＝　 　． 270° 220° 图1 图2 图3 练一练 (3) 如图2，根据 (1) 与 (2) 的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2 与 ∠A 的关系是 　 　　 　． 180°+∠A 图1 图2 图3 (4) 如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图 3 形状，试探究 ∠1 +∠2 与 ∠A 的关系，并说明理由． 解：(4)∵△EFP 是由△EFA 折叠得到的， ∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF. ∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF. ∴∠1 +∠2＝360°﹣2(∠AFE+∠AEF). 又∵∠AFE +∠AEF＝180°﹣∠A， ∴∠1 +∠2＝360°﹣2(180°﹣∠A)＝2∠A. 图3 F E 2．(淮阳区期末)将一个凸 n 边形剪去一个角得到一个新的多边形，其内角和为 1620°，求 n 的值． 解：当原多边形不过顶点剪去一个角时， 由 [(n+1)﹣2]·180°＝1620，解得：n＝10； 当原多边形过一个顶点剪去一个角时， 由 (n﹣2)·180°＝1620，解得：n＝11； 当原多边形过两个顶点剪去一个角时， 由 [(n﹣1)﹣2]·180°＝1620°，解得：n＝12． ∴n＝10 或 11 或 12． 类型二：多算、漏算、错算一个角问题 例2 (宝应县校级月考)小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到 1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍. (1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？ (2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？ 解：(1)设这个多边形的边数是 n，重复计算的内角的度数是 x°， 则(n﹣2)·180°＝1840°﹣x°， 180°×n＝2200﹣x°， ∵ n 为正整数， ∴n ＝12. 故这个多边形的边数是 12． (2)设这个多边形的边数是 n，没有计算在内的内角的度数是 x°， 则(n﹣2)·180°＝1840°+x， 180°×n＝2200 + x°， ∵ n 为正整数， ∴n ＝12. ∴漏算的那个内角：180°﹣40°＝140°. 故漏算的那个内角是 140°，这个多边形是十三边形． 3.(通山县校级月考)某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是 1125°，老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少？ 练一练 解：设少加的度数为 x°，此多边形为 n 边形． ∵ 1125 + x＝(n﹣2)×180， ∴ x＝180(n﹣2)﹣1125. ∵ 0＜x＜180， ∴ 0＜180(n﹣2)﹣1125＜180. ∴ 8.25＜n＜9.25. ∴ n＝9，∴x＝135°． ∴ 此多边形是九边形，少加的那个内角的度数是135°． 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有， 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为， 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络， 如有争议， 请联系删改。 声 明 $$