精品解析：甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

兰州一中2023-2024-2学期末考试试题 高二数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2答卷前，考生务必将自己的姓名､班级填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号框涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的中点的坐标，再求出关于平面对称的点的坐标即可. 【详解】因为点， 所以的中点， 所以关于平面对称的点的坐标为， 故选：A. 2. 已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（ ） A. 0.6 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据变量间的关系，转化为，由两点分步求解. 【详解】当时，由， 所以. 故选：D 3. 已知5对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为，去掉1对数据后，剩下的4对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为，则（ ） A. B. C. D. 的大小无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由散点图，以及样本中心，即可判断选项. 【详解】由题意可知，，， 所以样本点中心是，所以去掉样本点中心后， 由相关系数的公式得 故选：A 4. 假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为和，其列联表为： 10 18 26 则当取下面何值时，与的关系最弱（ ） A. 8 B. 9 C. 14 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类变量的相关性进行计算求解. 【详解】在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小． 令，得，解得， 所以当时，与的关系最弱，故A，B，D错误. 故选：C． 5. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 6. 已知为随机试验的样本空间，事件满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算可得相互独立，再利用相互独立事件的性质及对立事件的概率公式计算得解. 【详解】由，得，即，则事件相互独立， 事件也相互独立，所以. 故选：D 7. 在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构建空间直角坐标系，令，结合线面角大小及向量法列方程求参数，最后利用棱柱体积公式求体积. 【详解】由题设，构建如下空间直角坐标系，令， 则，所以， 又面的法向量为， 由与平面所成的角为，则， 所以，可得，则， 所以该长方体的体积为. 故选：C 8. 乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.已知某次乒乓球比赛单局赛制为：每两球交换发球权，每赢1球得1分，先得11分者获胜.当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜.若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为.某局打成平后，甲先发球，则“两人又打了4个球且甲获胜”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析出4个球赢球的一方为以下情况，甲乙甲甲，乙甲甲甲，求出两种情况下的概率，相加即可. 【详解】平后，两人又打了4个球，甲获胜，则4个球赢球的一方为以下情况， 甲乙甲甲，乙甲甲甲， 若是甲乙甲甲，则概率为， 若是乙甲甲甲，则概率为， 故两人又打了4个球且甲获胜”的概率为. 故选：B 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 无人机在农业领域的应用对提高农业生产效率，促进农业产业的发展有着极为重要的意义．某地统计了该地近5年的农业无人机保有量，其中用了两种记录方式： 年份代码 1 2 3 4 5 无人机数量（架） 490 510 550 570 580 无人机数量（百架） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表中的数据，可得关于的经验回归方程为，则（ ） A. 与的样本相关系数 B. C. 预测第6年该地农业无人机的保有量约为612架 D. 关于的经验回归方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据正相关得答案；对于B：直接根据公式计算；对于C：直接代入进行预测；对于D：根据代入计算即可. 【详解】对于A：由表格中的数据可知与正相关，所以与的样本相关系数，故A错误； 对于B：. 将代入，得，B正确； 对于C：在中，令，得，所以预测第6年该地农业无人机的保有量约为612架，故C正确； 对于D：因为，所以，故 D 错误. 故选：BC 10. 已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列说法正确的是（ ） -2 1 3 0.25 A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分布列的性质求，再计算的期望，方差，有关概率进行判断. 【详解】由题意：. 所以； 所以； . 故选：ACD 11. 如图，为正方体，边长为1，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 到面的距离为 C. 异面直线与的距离为 D. 异面直线与的夹角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后利用向量法分别判断4个选项即可. 【详解】 选项A： 如图建立空间直角坐标系， 由题意，，，，，，， ，，， ，， 所以， 又因平面，平面，， 所以平面，A正确； B选项： 由A知为平面的法向量， ， 所以到面的距离为， 故B正确， C选项： ，，， 设异面直线与的公共法向量为， 则，， 令，则，， , 则异面直线与的距离为， 故C正确， D选项： ，， ， 所以异面直线与的夹角的余弦值为，夹角为 故D错误， 故选：ABC 第II卷（非选择题） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 随机变量，，若，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】分析可知，结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为，可知， 若， 可得， 所以. 故答案为：. 13. 已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数学期望和方差公式得到，，代入式子利用均值不等式计算得到答案. 【详解】，，故，，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二项分布，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 14. 已知且，设是空间中个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上，表示点间的距离，记集合.若四面体满足：平面，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出三棱锥的六条棱长可得答案. 【详解】因为平面， 所以， 所以都是直角三角形， 又因为， 所以， 则. 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分､2分､3分､4分､5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示. 评分 款式 1分 2分 3分 4分 5分 基础版 基础版1 2 2 3 1 0 基础版2 4 4 5 3 1 豪华版 豪华版1 1 3 5 4 1 豪华版2 0 0 3 5 3 （1）求这四款车得分的平均数； （2）约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由. 款式 性能 基础版 豪华版 合计 一般 优秀 合计 附：. 【答案】（1）3 （2）假设：汽车的性能与款式无关. 由题意，列联表如下： 款式 性能 基础版 豪华版 合计 一般 20 12 32 优秀 5 13 18 合计 25 25 50 则， 所以能在犯错误概率不超过0.05的前提下认为汽车的性能与款式有关. 【解析】 【分析】（1）利用平均数公式求解； （2）根据相关数据完成列联表，再求得，与临界值表对照下结论. 【小问1详解】 解：由题意，这四款车得分的平均数为 ， 所以这四款车得分的平均数为3. 【小问2详解】 略 16. 如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 平面平面， 平面平面， 平面平面， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 . ， 设平面的法向量为，则， 令，解得：， 又，即， 又平面平面； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、，利用可得答案； （2）假设在线段上存在点，设，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设在线段上存在点，使二面角的大小为. 设，则. 设平面的一个法向量为， 则， 令，解得：， 又平面的一个法向量为， ， 即，解得：或（舍去）， 此时， 在线段上存在点，使二面角的平面角的大小为， 此时. 17. 放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中，. （1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率； （2）已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 【答案】（1）适宜，， （2）（i）0.778；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据散点图可判断适宜作为该机场飞往地航班放行准点率关于年份数的经验回归方程类型，再根据所给数据求出关于的线性回归方程，即求出，，从而得到关于的回归方程，再代入计算可得； （2）（i）根据全概率公式计算可得；（ii）根据条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 由散点图判断适宜作为该机场飞往地航班放行准点率关于年份数的经验回归方程类型. 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 该机场飞往地航班放行准点率关于的线性回归方程为， 因此关于年份数的回归方程为， 所以当时，该机场飞往地航班放行准点率y的预报值为 ， 所以2023年该机场飞往地航班放行准点率的预报值为. 【小问2详解】 设“该航班飞往地”，“该航班飞往地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”， 则，，， ，，. （i）由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （ii）该航班飞往地的概率为 ， 即若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地的概率约为. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 【答案】（1） （2）减区间为，增区间为 （3）3 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，即可求切线； （2）利用导数值的正负的来判断函数的单调区间； （3）利用隐零点结合分离参变量法来求最值，并估算答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为，又， 所以函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为. 因为，所以， 令，解得，令，得. 所以的减区间为，增区间为. 【小问3详解】 因为对任意的，都有，所以， 令， 由（2）知，在上单调递增， ， 则在区间上存在唯一的零点，即， 所以当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 所以，又因为， 则 所以，所以整数的最大值为3. 19. 某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图： （1）从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望； （2）以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求证：当时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大. 【答案】（1）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 （2）证明：由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为： . 设“抽取的名学生中每天的运动时间不低于40分钟的人数”为，则， ， 设， 则当“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大时， 有， 即， 化简得，解得， 因为且，所以时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大. 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样得到抽取的12名学生中位于和的人数，得到可能取值和对应的概率，得到分布列，计算出数学期望； （2）由频率分布直方图求解出每天的运动时间不低于40分钟的频率，得到，故，令，得到不等式组，计算出答案. 【小问1详解】 因为体育活动时间位于和的频率分别为0.28和0.2， 所以抽取的12名学生中位于的有人， 位于的有人， 所以随机变量所有可能取值为，且服从超几何分布， 故， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州一中2023-2024-2学期末考试试题 高二数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2答卷前，考生务必将自己的姓名､班级填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号框涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（ ） A. 0.6 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.4 3. 已知5对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为，去掉1对数据后，剩下的4对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为，则（ ） A. B. C. D. 的大小无法确定 4. 假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为和，其列联表为： 10 18 26 则当取下面何值时，与的关系最弱（ ） A. 8 B. 9 C. 14 D. 19 5. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知为随机试验的样本空间，事件满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ） A. B. 6 C. D. 8. 乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.已知某次乒乓球比赛单局赛制为：每两球交换发球权，每赢1球得1分，先得11分者获胜.当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜.若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为.某局打成平后，甲先发球，则“两人又打了4个球且甲获胜”的概率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 无人机在农业领域的应用对提高农业生产效率，促进农业产业的发展有着极为重要的意义．某地统计了该地近5年的农业无人机保有量，其中用了两种记录方式： 年份代码 1 2 3 4 5 无人机数量（架） 490 510 550 570 580 无人机数量（百架） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表中的数据，可得关于的经验回归方程为，则（ ） A. 与的样本相关系数 B. C. 预测第6年该地农业无人机的保有量约为612架 D. 关于的经验回归方程为 10. 已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列说法正确的是（ ） -2 1 3 0.25 A. B. C. D. 11. 如图，为正方体，边长为1，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 到面的距离为 C. 异面直线与的距离为 D. 异面直线与的夹角为 第II卷（非选择题） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 随机变量，，若，则___________. 13. 已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为______． 14. 已知且，设是空间中个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上，表示点间的距离，记集合.若四面体满足：平面，且，则__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分､2分､3分､4分､5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示. 评分 款式 1分 2分 3分 4分 5分 基础版 基础版1 2 2 3 1 0 基础版2 4 4 5 3 1 豪华版 豪华版1 1 3 5 4 1 豪华版2 0 0 3 5 3 （1）求这四款车得分的平均数； （2）约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由. 款式 性能 基础版 豪华版 合计 一般 优秀 合计 附：. 16. 如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 17. 放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中，. （1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率； （2）已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 19. 某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图： （1）从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望； （2）以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求证：当时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $