第二十二章 四边形1- 【通城学典】2024八年级数学暑期升级训练（冀教版）

17 第二十二章　四 边 形1 (满分:100分 时间:60分钟) 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. (永州中考)下列多边形中,内角和等于360° 的是 ( ) A. B. C. D. 2. 奇奇不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如 图所示的四块,为了能在商店配到一块与原 来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻 璃,其编号应该是 ( ) 第2题 A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③ 3. (眉山中考)如图,在△ABC 中,AB=4, BC=6,AC=8,D,E,F 分别为边AB,AC, BC 的中点,则△DEF 的周长为 ( ) 第3题 A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 4. 如图①,直线l1∥l2,直线l3分别交直线l1, l2于点A,B.小嘉在图①的基础上进行尺规 作图,得到图②,并探究得到下面两个结论: ① 四边形ABCD 是邻边不相等的平行四边 形;② 四边形ABCD 是对角线互相垂直的 平行四边形.下列判断中,正确的是 ( ) 第4题 A. ①②都正确 B. ①错误,②正确 C. ①②都错误 D. ①正确,②错误 5. (赤峰中考)如图,剪两张对边平行的纸条, 随意交叉叠放在一起,重合部分构成一个四 边形ABCD.若转动其中一张纸条,则下列 结论一定成立的是 ( ) 第5题 A. 四边形ABCD 周长不变 B. AD=CD C. 四边形ABCD 面积不变 D. AD=BC 6. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 交于 点O,E,F 分别是OB 与OD 的中点,依次连 接点A,E,C,F,A,当四边形AECF 是矩形 时,与线段BE 相等的线段有 ( ) A. 4条 B. 5条 C. 6条 D. 7条 第6题 第7题 7. (东营中考)如图,在平面直角坐标系中,菱形 OABC的边长为26,点B 在x轴的正半轴 上,且∠AOC=60°,将菱形OABC 绕原点O 按逆时针方向旋转60°,得到四边形OA'B'C' (点A'与点C重合),则点B'的坐标是 ( ) A. (36,32) B. (32,36) C. (32,62) D. (62,36) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 18 8. (河北中考)如图,在Rt△ABC 中,AB=4, M 是斜边BC 的中点,以AM 为边作正方形 AMEF.若S正方形AMEF=16,则△ABC 的面 积为 ( ) 第8题 A. 43 B. 83 C. 12 D. 16 答案讲解 9. (常德中考)如图,在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,E, F 分别为AO,DO 上的一点,且 EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则 ∠AED 的度数为 ( ) 第9题 A. 80° B. 90° C. 105° D. 115° 10. 如图,△ABC 和△ACD 是两个完全相同的 三角形,AB=CD,BC=AD,将△ACD 沿 直线l向右平移到△EFG 的位置,点A 对 应点E,且点E,C 不重合,连接BE,CG,有 下面两个结论:① 以B,E,C,G 为顶点的 四边形总是平行四边形;② 当BE 最短时, BC⊥CG.下列判断中,正确的是 ( ) 第10题 A. 只有结论①正确 B. 只有结论②正确 C. 结论①②都正确 D. 结论①②都错误 二、 填空题(每小题3分,共12分) 11. (福建中考)如图,在▱ABCD 中,O 为BD 的 中点,EF过点O 且分别交AB,CD 于点E, F.若AE=10,则CF 的长为 . 第11题 第12题 12. 如图,在边长为2的正方形ABCD 中,E,F 分别是边BC,CD 上的动点,M,N 分别是 EF,AF 的 中 点,则 MN 的 最 大 值 为 . 13. 如图,菱形ABCD 的对角线相交于点O,过 点A 作AE⊥BC 于点E,连接OE. 第13题 (1) ∠CEO ∠BAC(填“>”“<” 或“=”); (2) 若OB=2,菱形ABCD 的面积为4,则 AE 的长为 . 答案讲解 14. 有若干如图①所示的边长为1的 正方形和顶角为α(0°<α<90°)且 腰长为1的等腰三角形,将它们按 照图②所示的方式拼接在一起,围成一圈 且中间能形成一个正n 边形.若n=5,则 α= °;设形成的正n边形的周长为 C,则C与α之间的关系式为 . 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 19 三、 解答题(共58分) 15. (8分)如图,AC,BD 是四边形ABCD 的对 角线,E,F 分别为AD,BC 的中点,G,H 分别为BD,AC 的中点,连接EF,GH.请 你判断EF 与GH 的关系,并说明理由. 第15题 16. (9分)在一个多边形中,一个内角相邻的外 角与其他各内角的度数和为600°. (1) 如果这个多边形是五边形,请求出这个 外角的度数. (2) 是否存在符合题意的其他多边形? 如 果存在,请求出边数及这个外角的度数;如 果不存在,请说明理由. 17. (9分)(湘西州中考)如图,四边形ABCD 是平行四边形,BM∥DN,且分别交对角线 AC 于点M,N,连接MD,BN. (1) 求证:∠DMN=∠BNM; (2) 若∠BAC=∠DAC,求证:四边形BMDN 是菱形. 第17题 18. (10分)如图,在▱ABCD 中,对角线AC, BD 交于点O,过点A 作AE⊥BC 于点E, 延长BC 到点F,使CF=BE,连接DF. (1) 求证:四边形ADFE 是矩形. (2) 连接OF.若AD=6,EC=4,∠ABF= 60°,求OF 的长. 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 20 19. (10分)(绍兴中考)如图,在正方形ABCD 中,G 是对角线BD 上的一点(不与点B,D 重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F 分别为垂 足.连接EF,AG,并延长 AG 交EF 于 点H. (1) 求证:∠DAG=∠EGH; (2) 判断 AH 与EF 是否垂直,并说明 理由. 第19题 答案讲解 20. (12分)某研究性学习小组在探究 矩形的折纸问题时,将一把三角尺 的 直 角 顶 点 绕 着 矩 形 ABCD (AB<BC)对角线的交点O 旋转(如图①→ ②→③),图中M,N 分别为三角尺的直角 边与矩形ABCD 的边CD,BC 的交点. (1) 该学习小组中一名成员意外地发现:在 图①(三角尺的一条直角边与OD 重合) 中,BN2=CD2+CN2;在图③(三角尺的 一条直角边与OC 重合)中,CN2=BN2+ CD2.请你对这名成员在图①和图③中发现 的结论选择其一说明理由. (2) 试探究图②中BN,CN,CM,DM 这 四条线段之间的关系,写出你的结论,并说 明理由. 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 6 21 2 ,EF=9.∴ 点P的运动时间为212÷5= 21 10 (秒).∵ A(0, 3),B(6,0),∴ OA=3,OB=6.∴ 在Rt△AOB 中,AB= OA2+OB2=35.∵ BF=OF-OB=212-6= 9 2 , ∴ 在Rt△BFE 中,BE= BF2+EF2=952 .∴ 21 10a= 35+952 ,解得a=2557 .∴ a的值为2557 . 第17题 第二十二章　四 边 形1 一、 1. B 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. B 8. B 9. C 解析:∵ 四边形ABCD 为正方形,∴ OA=OD, ∠OAD= ∠ODA =45°.∵ EF∥AD,∴ ∠OEF = ∠OAD=∠ODA=∠OFE=45°.∴ ∠AEF=∠DFE= 135°,OE=OF.∵ OA=OD,∴ 易得 AE=DF.在 △AEF 和△DFE 中, AE=DF, ∠AEF=∠DFE, EF=FE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF≌ △DFE(SAS).∴ ∠FDE=∠EAF=15°.∴ ∠ADE= ∠ADF- ∠FDE =45°-15°=30°.在 △AED 中, ∠EAD=45°,∠EDA=30°,∴ ∠AED=180°-45°- 30°=105°. 10. A 解析:∵ AB=CD,BC=AD,∴ 四边形ABCD 是平行四边形.∴ AD∥BC.由平移的性质,得EG∥AD, EG=AD,∴ EG∥BC,EG=BC.∴ 以B,E,C,G 为顶点 的四边形总是平行四边形.∴ 结论①正确.当BE 最短 时,BE⊥AC,∴ ∠BEC=90°.∴ ∠BEG=∠BEC+ ∠CEG>90°.∵ 四 边 形 BEGC 是 平 行 四 边 形, ∴ ∠BCG=∠BEG.∴ ∠BCG>90°.∴ BC 与CG 不垂 直.∴ 结论②错误. 二、 11. 10 12. 2 13. (1) = 解析:∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ OA= OC,AB =BC.∴ ∠BAC = ∠BCA.∵ AE ⊥BC, ∴ ∠AEC=90°.∴ OE= 12AC=OC.∴ ∠CEO= ∠BCA.∴ ∠CEO=∠BAC. (2) 45 5 解析:∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ OA=OC, OB=OD=2,BD⊥AC.∴ BD=2OB=4.∵ S菱形ABCD= 1 2AC ·BD=4,即12×AC×4=4 ,∴ AC=2.∴ OC= 1 2AC=1. 在 Rt△BOC 中,由 勾 股 定 理,得 BC= OB2+OC2= 22+12= 5.∵ S菱形ABCD=2S△ABC= 2×12BC ·AE=BC·AE=4,即 5AE=4,∴ AE= 45 5 . 14. 72 C=360°α 三、 15. EF 与GH 互相平分 理由:如图,连接EG,GF, FH,EH.∵ E,F 分别为AD,BC 的中点,G,H 分别为 BD,AC 的中点,∴ EG 是△ADB 的中位线,FH 是 △ACB 的中位线.∴ EG= 12AB ,EG∥AB,FH = 1 2AB ,FH∥AB.∴ EG=FH,EG∥FH.∴ 四边形 EGFH 为平行四边形.∴ EF 与GH 互相平分. 第15题 16. (1) 设这个外角的度数是x,则(5-2)×180°- (180°-x)+x=600°,解得x=120°.∴ 这个外角的度数 是120°.(2) 存在.设多边形的边数为n,这个外角的度数 是y,则(n-2)×180°-(180°-y)+y=600°.整理,得 y=570°-90°n.∵ 0°<y<180°,即0°<570°-90°n< 180°,∴ 13 3<n< 19 3. 又∵ n 为正整数,∴ n=5或n= 6.∴ 存在符合题意的其他多边形,边数为6,这个外角的 度数为570°-90°×6=30°. 17. (1) 如图,连接BD,交AC 于点O.∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ OB=OD.∵ BM∥DN,∴ ∠MBO= ∠NDO.又∵ ∠BOM=∠DON,∴ △BOM≌△DON (ASA).∴ BM=DN.∴ 四边形BMDN 是平行四边 形.∴ BN∥DM.∴ ∠DMN=∠BNM.(2) ∵ 四边形 ABCD 是 平 行 四 边 形,∴ BC∥AD.∴ ∠BCA = ∠DAC.又∵ ∠BAC=∠DAC,∴ ∠BAC=∠BCA. ∴ AB=BC.∴ 四边形ABCD 是菱形.∴ AC⊥BD,即 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 MN⊥BD.由(1)知,四边形BMDN 是平行四边形.∴ 四 边形BMDN 是菱形. 第17题 18. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB∥DC 且 AB=DC.∴ ∠ABE=∠DCF.在△ABE 和△DCF 中, AB=DC, ∠ABE=∠DCF BE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,∴ △ABE≌△DCF(SAS).∴ AE= DF,∠AEB=∠DFC.∴ AE∥DF.∴ 四边形ADFE 是 平行四边形.∵ AE⊥BC,∴ ∠AEF=90°.∴ 四边形 ADFE 是矩形.(2) 由(1)知,四边形ADFE 是矩形, ∴ EF=AD=6,∠AEB=∠AEF=∠DFE=90°. ∵ EC=4,∴ BE=CF=EF-EC=2.∴ BF=BE+ EF=8.在 Rt△ABE 中,∠ABE=60°,∴ ∠BAE= 30°.∴ AB=2BE=4.∴ DF=AE= AB2-BE2= 2 3.∵ ∠DFE =90°,∴ 在 Rt△BDF 中,BD = BF2+DF2= 82+(23)2=2 19.∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ OB=OD.又∵ ∠DFB=90°,∴ OF= 1 2BD= 19. 19. (1) 在正方形 ABCD 中,AD⊥CD,GE⊥CD, ∴ ∠ADE=∠GEC=90°.∴ AD∥GE.∴ ∠DAG= ∠EGH.(2) AH 与EF 垂直.理由:如图,连接GC 交EF 于点O.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD=CD, ∠ADC=∠BCD=90°.∵ BD 为正方形ABCD 的对角 线,∴ ∠ADG=∠CDG=45°.又∵ DG=DG,AD=CD, ∴ △ADG ≌ △CDG (SAS).∴ ∠DAG = ∠DCG. ∵ ∠ECF=90°,GE⊥CD,GF⊥BC,∴ 四边形FCEG 为 矩形.∴ OE=OC.∴ ∠OEC=∠OCE.∴ ∠DAG= ∠OEC.由 (1),得 ∠DAG = ∠EGH,∴ ∠EGH = ∠OEC.∴ ∠EGH + ∠GEH = ∠OEC+ ∠GEH = ∠GEC=90°.∴ ∠GHE=180°-(∠EGH+∠GEH)= 90°.∴ AH⊥EF. 第19题 20. (1) 答案不唯一,如选择在图①中发现的结论,理由: 如图①,连接DN.∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ OB= OD.又∵ ∠DON=90°,∴ ON 所在直线是BD 的垂直 平分线.∴ BN=DN.∵ ∠BCD=90°,∴ DN2=CD2+ CN2.∴ BN2=CD2+CN2.(2) BN2+DM2=CM2+ CN2.理由:如图②,延长 NO 交AD 于点P,连接PM, MN.∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠ADC=∠BCD=90°, OB=OD,AD∥BC.∴ ∠BNO=∠DPO,∠NBO=∠PDO.在 △BON 和△DOP 中, ∠BNO=∠DPO, ∠NBO=∠PDO, OB=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BON≌ △DOP(AAS).∴ ON=OP,BN=DP.∵ ∠MON= 90°,∴ OM 所在直线是PN 的垂直平分线.∴ PM= MN.∵ ∠ADC=∠BCD=90°,∴ PM2=DP2+DM2, MN2=CM2+CN2.∴ DP2+DM2=CM2+CN2. ∴ BN2+DM2=CM2+CN2. 第20题 第二十二章　四 边 形2 一、 1. D 2. B 3. A 4. A 5. C 6. B 7. A 8. C 9. C 10. C 解析:∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ OB=OD, OA=OC,AC⊥BD.∵ AE=CF,∴ OE=OF.∵ OB= OD,∴ 四边形BFDE 是平行四边形.又∵ EF⊥BD, ∴ 四边形BFDE 是菱形.故方案甲对.∵ 四边形ABCD 是菱 形,∴ OB=OD,AC⊥BD,∠BDA=∠BDC. ∴ ∠DOE=∠DOF=90°.∵ DE,DF 分别是∠ADO 和 ∠CDO 的 平 分 线,∴ ∠EDO= 12 ∠ADO ,∠FDO= 1 2∠CDO.∴ ∠EDO=∠FDO.在△DOE 和△DOF 中, ∠EDO=∠FDO, DO=DO, ∠DOE=∠DOF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DOE≌△DOF(ASA).∴ OE= OF.又∵ OB=OD,∴ 四边形BFDE 是平行四边形.又 ∵ BD⊥EF,∴ 四边形BFDE 是菱形.故方案乙对. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈