专题1.1 集合（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（湖南专用）

专题1.1 集合 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 4 考点一：集合与元素的关系 4 考点二：集合与集合的关系 6 考点三：集合的基本运算 8 考点四：含参数的集合的运算 8 【考纲要求】 1. 理解集合、元素及其关系，掌握集合的表示法。 2. 掌握集合之间的关系（子集、真子集、相等）。 3. 理解集合的运算（交、并、补）。 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 【知识导图】 【知识清单】 1.元素与集合 （1）由某些确定的对象组成的整体叫做集合,简称集。 （2）集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． （3）集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． （4）常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* Z Q R （5）集合的表示法：列举法、描述法． 2.集合间的基本关系 （1）子集：如果集合A的元素都是集合B的元素，那么把集合A叫做集合B的子集.如下图（1） B（A） （2） 记作：AB或BA 任何集合都是它本身的子集 （2） 相等：如果两个集合的元素完全相同，那么就说这两个集合相等，集合A等于集合B， 记作：A=B （3） 真子集：如果集合A为集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，则称集合 A为集合B的真子集，如图（1），记作： 注意： (1)空集是任何非空集合的真子集． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 运算性质 A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A 【考点分类剖析】 考点一：集合与元素的关系 典例分析 例1． 下列关系式：①R;②Q；③|-3|N；⑤0∅.其中正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】直接将所给数字进行常见数集对号入座 【详解】①是分数，在实数范围内，所以是∈符号，正确 ②是无理数，所以是∉符号，正确 ③是正整数，所以应该是∈符号，错误 ④中，空集是不含任何元素的集合，所以错误 例2． 已知集合A={-1,1}，B={0,2}，则集合M={x+y|x∈A，y∈B}中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】按照条件进行相加，列出元素 【详解】M中的元素有-1,1,3这三个 变式探究 1. 已知集合，，则下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 【分析】考察元素与集合关系 【详解】a>2，作为元素时应该是a∈M，作为集合时应该是M的子集，故选择D 2. 用符号“”或“”填空： （1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A； （2）0 ，0 ，－1 ，－1 ，3.14 ， ， ， ， ， ， ， ； （3）0 ，1 ． 【答案】 【分析】根据集合与元素的关系即可逐一求解. 【详解】略 3. 判断下列集合是否为空集 （1）方程的解集； （2）方程的解集 【答案】 （1）是（2）否 【分析】空集是不含任何元素的集合，所以判断两个方程的判别式是否小于零就可以得到结果 【详解】（1）△＜0，所以无解，解集为空集；（2）△＞0，所以解集不是空集 考点二：集合间的基本关系 典例分析 例1. 已知集合A={a,ab,a-b},B={0,|a|,b}，且A=B，则a,b的值为 . 【答案】-1，-1 【分析】根据几何重元素的特性分析 【详解】a=b,所以A={a,a²,0},B={0,|a|,a},所以a=b=-1 例3． 写出集合{a,b,c}的所有子集和真子集. 【答案】子集：∅，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}，真子集： ∅，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c} 【分析】按元素个数分类，不重复不漏写 【详解】子集：∅，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}，真子集： ∅，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c} 变式探究 1．已知集合 ，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用子集求解即可. 【详解】由题知 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4， 即集合的子集个数为个. 故选：C. 2．若集合，若，则（    ） A．1 B． C．或1 D． 【答案】C 【分析】分类讨论，计算检验，即可得到结果. 【详解】当时，，此时满足. 当时，，此时 满足， 故选:C. 3．若集合，，则集合B的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集的公式求解. 【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个. 故选：C 4．（1）设集合，，，则中元素的个数为 ． （2）设，集合，则 ． （3）若集合中只有一个元素，则 ． 【答案】 5 0或 【分析】（1）根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. （2）由已知可得，所以，则，进而求得，可求结论. （3）分析当与两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）因集合，， 当时，的值有：6，7，8，9， 当时，的值有：7，8，9，10， 于是得，所以中元素的个数为5. （2）由题意，可得，所以，则， 所以，所以. （3）当时，有，解得，满足条件； 当时，仅有一根，故，解得， 综上，或. 故答案为：①；②；③或 考点三：集合的基本运算 典例分析 例1. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助数轴，利用集合交集运算规则求交集即可. 【详解】 由图可知，， 故选：C. 例2．集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程求出集合，再求. 【详解】依题意，， 而，所以. 故选：C. 例3. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集和补集运算即可求解. 【详解】根据题意， ，则， 故选：B. 变式探究 1． 已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】化简结合，由交运算的定义即可求解. 【详解】， 故 ， 故答案为： 2．已知全集为全体实数，集合，集合. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得； （2）根据补集、并集的定义计算可得. 【详解】（1）由，即，解得， 所以， 又， 所以. （2）因为全集为全体实数， 所以或，或， 所以 或. 3．已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由交集的定义求解 ； （2）由补集的定义求解 ； （3）由补集和并集的定义求解. 【详解】（1），，， 则有 ； （2）； （3），. 考点四：利用集合的运算求参数 典例分析 例1　 设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由于处理较繁琐，可先求时实数m的取值范围，再取相反情况即可. 【详解】若时， 则当时，，解得； 当时，，解得， 由可得或，解得或， 又，所以或， 综上可得当时，或， 所以当时，m的取值范围是. 故答案为：. 例2 设全集，，，， ， ． 【答案】 【分析】当时，分或求解，最后检验；根据，代入求解. 【详解】, 时，（舍）， 时，解得， 当时，，此时，不满足条件， 当时，，满足条件. ； 当时， , 【点睛】本题考查根据集合的运算结果求参数和集合的运算，意在检验对基础知识的掌握情况，本题的易错点是时，还需代入检验集合的互异性，以及是否满足条件. 变式探究 1. 已知全集U＝{1，2，a2－2 a＋3}，A＝{1，a}，＝{3}，则实数a等于 ． 【答案】2. 【分析】由集合的基本性质可列出方程，求得a的值，分别将a代入集合A，通过集合的基本性质确定a的范围. 【详解】因为＝{3}，所以a2－2a＋3＝3，解得a＝0或a＝2. 当a＝0时，，，不满足题意，故舍去； 当a＝2时，，，满足题意，所以成立， 故答案为：2. 【点睛】本题考查集合间的运算以及集合的基本性质，求出参数值一定要代入集合进行验证，防止出现多解的情况. 2. 设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）当时，解出集合，再由集合的交集和并集的定义，即可求解. （2）求出，由，得，再分类讨论是否为空集，由此求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以，. （2）由题意得，或， 因为，所以， 若，则； 若，则，且， 因为， 或， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 4 考点一：集合与元素的关系 4 考点二：集合与集合的关系 5 考点三：集合的基本运算 5 考点四：含参数的集合的运算 5 【考纲要求】 1. 理解集合、元素及其关系，掌握集合的表示法。 2. 掌握集合之间的关系（子集、真子集、相等）。 3. 理解集合的运算（交、并、补）。 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 【知识导图】 【知识清单】 1.元素与集合 （1）由某些确定的对象组成的整体叫做集合,简称集。 （2）集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． （3）集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． （4）常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* Z Q R （5）集合的表示法：列举法、描述法． 2.集合间的基本关系 （1）子集：如果集合A的元素都是集合B的元素，那么把集合A叫做集合B的子集.如下图（1） B（A） （2） 记作：AB或BA 任何集合都是它本身的子集 （2） 相等：如果两个集合的元素完全相同，那么就说这两个集合相等，集合A等于集合B， 记作：A=B （3） 真子集：如果集合A为集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，则称集合 A为集合B的真子集，如图（1），记作： 注意： (1)空集是任何非空集合的真子集． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 运算性质 A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A 【考点分类剖析】 考点一：集合与元素的关系 典例分析 例1． 下列关系式：①R;②Q；③|-3|N；⑤0∅.其中正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2． 已知集合A={-1,1}，B={0,2}，则集合M={x+y|x∈A，y∈B}中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式探究 1. 已知集合，，则下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 2. 用符号“”或“”填空： （1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A； （2）0 ，0 ，－1 ，－1 ，3.14 ， ， ， ， ， ， ， ； （3）0 ，1 ． 3. 判断下列集合是否为空集 （1）方程的解集； （2）方程的解集 考点二：集合间的基本关系 典例分析 例1. 已知集合A={a,ab,a-b},B={0,|a|,b}，且A=B，则a,b的值为 . 例2. 写出集合{a,b,c}的所有子集和真子集. 变式探究 1．已知集合 ，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若集合，若，则（    ） A．1 B． C．或1 D． 3．若集合，，则集合B的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（1）设集合，，，则中元素的个数为 ． （2）设，集合，则 ． （3）若集合中只有一个元素，则 ． 考点三：集合的基本运算 典例分析 例1. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 例2．集合，，则（    ） A． B． C． D． 例3. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 变式探究 1．已知集合，，则 ． 2．已知全集为全体实数，集合，集合. (1)求； (2)求. 3．已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 考点四：利用集合的运算求参数 典例分析 例1　 设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 例2 设全集，，，， ， ． 变式探究 1. 已知全集U＝{1，2，a2－2 a＋3}，A＝{1，a}，＝{3}，则实数a等于 ． 2. 设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$